4. FEJEZET: Lineáris függvény
Ahol külön nem jelezzük, ott a függvények értelmezési tartománya a valós számok lehető legbővebb részhalmaza.
Feladat: 4.1.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a)
a(x)=0;
b)
b(x)=-3;
c)
c(x)=x+2,5;
d)
d(x)=
1
3
x-3;
e)
e(x)=-2x+5;
f)
f(x)=-
1
2
x+1.
g) Hogyan helyezkednek el az a)-f) feladatrészekben kapott függvénygörbékhez képest az
A1
(2;1)
A2
(6;-3)
A3
(-4;-1)
A4
(10000;20000)
A5
(-10000;20000)pontok? (Melyik pont van az adott görbe ,,felett", a görbe ,,alatt", vagy esetleg rajta a görbén?)
h) A
P(3;y) pont második koordinátáját nem ismerjük. Mit állíthatunk
y-ról, ha a
P pont rajta van az a)-f) feladatrészekben adott függvény grafikonján? Adjunk választ külön-külön mind a hat esetre!
Mely
y értékekre lesz
P a görbe ,,felett", illetve a görbe ,,alatt" az a) - f) esetekben?
i) Oldjuk meg a h) feladatrészt
P helyett a
Q(-4;y) pontra is!
j) Oldjuk meg a h)-i) feladatokat, ha most a
P,
Q pontok első koordinátáit nem ismerjük. Legyen például
P(x;5) és
Q(x;-4)!
Feladat: 4.2.
Ábrázoljuk az
f(x)=mx függvény grafikonját, ha
a)
m=-4
b)
m=-1
c)
m=0,5
d)
m=2.
Mi a kapott függvénygörbék közös jellemzője?
Feladat: 4.3.
Ábrázoljuk az
f(x)=x+b függvény grafikonját, ha
a)
m=-2
b)
m=0
c)
m=0,7
d)
m=3.
Mi a kapott függvénygörbék közös jellemzője?
Feladat: 4.4.
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(0;2) pontot, majd ezen keresztül az 1 meredekségű
e egyenest (ez az egyenes az
x tengelyt a
B pontban metszi). Ezután változtassuk az
A pont helyzetét az
y tengelyen (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el) úgy, hogy a rajta átmenő
e egyenes meredeksége ne változzzék! Mi jellemzi az így kapott egyeneseket? Hogyan mozog a
B pont?
Feladat: 4.5.
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
y=-2x+b egyenletű egyenest, ahol
b=-4. Ezután
b értékét változtassuk rendre
b=-1;
b=2;
b=5-re. (Ezt mi a Geogebra programban, egy csúszka segítségével végezzük el.) Mi jellemzi az így kapott egyeneseket?
Feladat: 4.6.
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel a
y=mx+1 egyenletű egyenest, ahol
m=-0,5. Ezután változtassuk
m értékét! Legyen rendre
a)
m=0,5
b)
m=1
c)
m=1,5
d)
m=2!
(Ezt mi a Geogebra programban, egy csúszka segítségével végezzük el.) Mi jellemzi az így kapott egyeneseket?
Feladat: 4.7.
Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben a
h(x)=c(x-2) alakú függvényeket, ahol rendre
a)
c=-1
b)
c=0
c)
c=1
d)
c=2!
(Ezt mi a Geogebra programban, egy csúszka segítségével végezzük el.)
a) Mi jellemzi az így kapott egyeneseket?
b) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg az egyenesek illeszkedésével kapcsolatban?
c) Igaz-e a sejtés tetszőleges
c valós szám esetén?
Feladat: 4.8.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
x∈[-5;2],
a(x)=3.
b)
x∈[-4;3[,
b(x)=-
1
2
x+1.
c)
c(x)={
3x,
ha
x≥0;
0,
ha
x<0.
d)
d(x)={
2
3
x-
1
3
,
ha
5<x≤8;
x-2,
ha
8<x≤11.
e)
e(x)={
1
3
x-
2
3
,
ha
2<x≤5;
x-4,
ha
5<x≤8.
f)
f:x→x+3,
ha
x∈{-1;0;1;2;3;4}.
Feladat: 4.9.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=
x-2
x-2
b)
b(x)=
x2
-4
x-2
c)
c(x)=
x2
+4x+4
x+2
, (
x∈[-3;4]),
d)
d(x)=
x2
+9-(x+2
)2
5-4x
e)
e(x)=
3x+4
(x-1
)2
-(1-x
)2
.
Feladat: 4.10.
Mi az
1. ábrán látható
a-
d függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 4.11.
Az
x és
y mennyiségek egyenesen arányosak egymással. Melyik grafikon ábrázolhatja ezt a függvénykapcsolatot? Mennyi az arányossági tényező az egyes esetekben?
1. ábra
Feladat: 4.12.
Adjunk meg olyan képleteket, amelyek segítségével a Celsius-hőmérő, a Fahrenheit-hőmérő és a Réaumur-hőmérő értékeit átválthatjuk!
- A Celsius-skálán
0∘
C jelöli a víz fagyáspontját,
100∘
C a forráspontját;
- ugyanezen értékek a Fahrenheit-skálán
32∘
F, ill.
242∘
F;
- ugyanezen értékek a Réaumur-skálán
0∘
R, ill.
80∘
R;
- továbbá mindhárom skála lineáris beosztású.
Egyenesen arányosak a Celsius-, a Fahrenheit-, illetve a Réaumur-fokban mért értékek?
Feladat: 4.13.
Határozzuk meg, hogy milyen hőmérsékletnél lesz a Fahrenheit-fokban mért hőmérséklet mérőszáma
a) 10-szer;
b) 5-ször;
c) 2-szer
akkora, mint a Celsius-fokban mért hőmérséklet mérőszáma. A kapott eredmények alapján először becsüljük meg, majd számítsuk is ki, hogy milyen hőmérsékletnél lesz a Fahrenheit-fokban és a Celsius-fokban mért hőmérséklet mérőszáma egyenlő. Milyen érdekességet tapasztalunk?
Feladat: 4.14.
Közös koordinátarendszerben megrajzoltuk az egy helyről induló, egyenletes sebességgel haladó kerékpár, motorkerékpár és személygépkocsi út-idő grafikonját.
Jellemezzük a görbéket!
1. ábra
a) Melyik görbe melyik járműhöz tartozik?
b) Mekkora az egyes járművek átlagsebessége?
c) Mi a járművek indulási sorrendje?
d) Mikor találkoztak egymással az egyes járművek?
Feladat: 4.15.
Egy
r sugarú körbe írt szabályos háromszög kerülete
k.
a) Hogyan függ
r-től a
k értéke? Határozzuk meg a függvénykapcsolatot!
b) Egyenes arányosság-e a kapott függvény?
Oldjuk meg a feladatot háromszög helyett az
r sugarú körbe írt szabályos
n-szöggel, ha
b) n = 4;
c) n = 6;
d) n = 8;
e) n = 12.
Feladat: 4.16.
Az
f függvény képe a derékszögű koordináta rendszerben az
A és
B ponton átmenő egyenes,
A(-2;2),
B(4;8).
a) Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát!
b) Mely pontban metszi az egyenes az
x és melyikben az
y tengelyt?
Feladat: 4.17.
Írjunk fel először
s=At, majd
s=At+B alakú lineáris út-idő kapcsolatot az alábbi, két mérési adatpárt tartalmazó táblázat alapján, s magyarázzuk meg a kapott eredményt:
Feladat: 4.18.
Van-e olyan
f(x)=ax+b alakú függvény, amelyre teljesül, hogy
a)
f(0)=-3 és
f(4)=5;
b)
f(-1)=5 és
f(4)=5;
c) a függvénygörbe áthalad az
A(-6;1),
B(9;6) pontokon;
d) a függvénygörbe áthalad az
A(-6;1),
B(9;6),
C(21;8) pontokon?
e) Változtassuk meg a d) feladatban
C második koordinátáját úgy, hogy az
f(x) függvénygörbe áthaladjon mindhárom ponton!
f) Mely pontban metszik az így kapott görbék az
x tengelyt?
Feladat: 4.19.
Az országút mentén fekvő
A és
B városok távolsága
210 km. Reggel
8 órakor elindul
A-ból
B-felé egy kerékpáros
v1
=15 km/h átlagsebességgel,
9 órakor
B-ből
A-felé egy másik kerékpáros,
v2
=30 km/h átlagsebességgel.
a) Ábrázoljuk a két kerékpáros mozgását út - idő grafikonon!
b) Mikor találkoznak a kerékpárosok?
c) Oldjuk meg az előző feladatokat akkor is, ha a kerékpáros
A-ból nem
B város felé, hanem azzal ellentétes irányban indul el!
Feladat: 4.20.
Az
f függvény képe a derékszögű koordináta rendszerben az
AB szakaszból áll,
A(-5;-2),
B(4;16). Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát!
Feladat: 4.21.
Az
1. ábrán a
f(x)=ax-2a+1 függvény grafikonja látható az
a=-1.5 esetben. Változtassuk
a értékét! Rajzoljuk meg közös koordinátarendszerben az alábbi értékeknek megfelelő eseteket!
a)
a=-2,5;
b)
a=-0,5;
c)
a=0,5;
d)
a=1,5.
(Használhatjuk a Geogebra programot is.)
a) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg az egyenesek illeszkedésével kapcsolatban?
b) Igaz-e a sejtés tetszőleges
a valós szám esetén?
Feladat: 4.22.
Vegyük fel a derékszögű koordináta-rendszerben az
A(3;2) pontot, valamint az
O origón és az
A ponton átmenő a egyenest. Szerkesszünk az origóban merőlegest
a-ra, így kapjuk a
b egyenest; ezen pedig úgy vegyük fel a
B pontot, hogy
OA=OB teljesüljön (
1. ábra). (A
B pont két lehetséges helyzetéből mi azt választottuk, amikor az
AOB irányított szög
90∘
.) Ezután változtassuk az
A pont helyzetét! (A szerkesztést a Geogebra program segítségével végezzük el.)
a) Hogyan módosul az
a és
b egyenesek egyenlete, valamint a
B pont két koordinátája?
b) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg az
a és
b egyenesek meredekségével kapcsolatban?
Feladat: 4.23.
Melyik igaz és melyik hamis az alábbi állítások közül a derékszögű koordináta-rendszerben?
a) Ha két egyenes párhuzamos, akkor meredekségük megegyezik.
b) Ha
x és
y egyenesen arányos mennyiségek, akkor a két mennyiség közötti függvénykapcsolat képe egy egyenes.
c) Ha az
x és
y mennyiségek közötti függvénykapcsolat képe egy egyenes, akkor
x és
y egyenesen arányos mennyiségek.
d) Az
f(x)=mx+b függvénykapcsolat képe minden
m és
b esetén egyenes.
e) Minden egyenes egyenlete
y=mx+b alakú.
f) Bármely egyenesnek van meredeksége.
g) Ha két merőleges egyenes meredeksége
m1
és
m2
, akkor
m1
·
m2
=-1.
h) Ha az
m1
és az
m2
meredekségű egyenes merőleges egymásra, akkor
m1
·
m2
=-1.
Feladat: 4.24.
Mekkora szöget zárnak be az
x, illetve az
y tengellyel az alábbi egyenesek?
a)
y=x;
b)
y=-x+2;
c)
x=-2;
d)
y=
1
3
x-1;
e)
y=-3x+1,5.
Feladat: 4.25.
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(0;-3) és
B(4;3) pontokat, majd vegyük fel az
A és
B pontot összekötő
e egyenest.
a) Határozzuk meg az
e egyenes egyenletét!
b) Változtassuk a koordináta-rendszerben a
B pont helyzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el). Határozzuk meg az így kapott egyenes egyenletét!
c) Változtassuk az
A pont helyzetét az
y tengelyen, s határozzuk meg az ekkor kapott egyenesek egyenletét is!
d) Most
A és
B a koordináta-rendszer tetszőleges rácspontjai lehetnek. Adjuk meg az
A és
B pontot összekötő egyenes egyenletét, s miközben a pontok helyzetét változtatjuk, elemezzük az egyenes egyenletének a változását!
Feladat: 4.26.
Ábrázoljuk az alábbi ponthalmazokat a derékszögű koordináta-rendszerben:
a)
x=3, ha
x≤-4;
b)
x=3, ha
y≤-4;
c)
x+y<1;
d)
(x-y)(x-1)=0;
e)
(x-1
)2
+(y-1
)2
=0;
f)
x-1
y-1
=0;
g)
y-x
y+1
≥0.