14. FEJEZET: Gúla
Feladat: 14.1. (SM)
Írjuk be az
1,2,3,…,16 számokat az
1. ábrán látható tizenhat gömbbe úgy, hogy a tetraéder (háromszög alapú gúla) élein található négy-négy szám összege mindenütt
30 legyen!
1. ábra
Feladat: 14.2. (M)
Megadunk két halmazt. Döntsük el, hogy megegyeznek-e (,,
="), egyik része-e a másiknak (,,
⊂", ,,
⊃") vagy diszjunktak vagy egyik reláció sem teljesül rájuk.
a) | tetraéderek | háromoldalú gúlák; |
b) | szabályos tetraéderek | szabályos háromoldalú gúlák; |
c) | tetraéderek | négyoldalú gúlák
|
Feladat: 14.3. (M)
Az
1. ábrán megszerkesztettük az
ABC háromszöget, majd
A,
B és
C középponttal rajzoltuk egy-egy kört. E körök egy-egy páronkénti metszéspontja
Da
,
Db
és
Dc
.
Felhajthatók-e az oldalsó háromszögek, hogy tetraédert kapjunk?
1. ábra
Feladat: 14.4. (M)
Az alábbi táblázat soraiban megadtuk az élhosszakat. Tippeljük meg minden egyes sor esetén, hogy van-e az adatoknak megfelelő tetraéder, majd szerkesszük meg a megfelelő tetraéderek kiterített hálóját és készítsük is el a tetraédereket!
|
AB |
BC |
CA |
AD |
BD |
CD | Van-e (I/N)? |
1. |
12 |
12 |
8 |
5 |
6 |
5 | |
2. |
8 |
5 |
8 |
5 |
12 |
12 | |
3. |
12 |
5 |
8 |
5 |
8 |
12 | |
4. |
12 |
12 |
8 |
5 |
8 |
5 | |
5. |
8 |
5 |
12 |
5 |
8 |
12 | |
Feladat: 14.5.
Van-e olyan tetraéder, amelyben a lapok területe cm
2
-ben:
Feladat: 14.6. (M)
I. Berangesz fáraó olyan háromszög alapú piramist szeretne építtetni családja örök nyughelyéül, amelynek alapja, és egyik oldallapja egymással egybevágó szabályos háromszög alakú, magassága pedig a lehető legnagyobb. Készítsük el papírból a piramis makettjét! Szerkesszük meg hálóját a síkon! (A szabályos háromszögek oldalai legyenek
6 cm hosszúak, a piramist pedig tekintsük háromszög alapú gúlának.)
Feladat: 14.7. (M)
II. Berangesz fáraó négyszög alapú piramist tervez magának. Eredetileg úgy képzelte, hogy a piramis alapja
100 cvimedli oldalhosszúságú négyzet lesz, oldallapjai pedig egybevágó szabályos háromszög alakúak, de a földmérők szerint az építmény így épp nem férne el a fáraó kedvenc szigetén. Berangesz módosította a tervet: a négyzet alapot olyan
100 cvimedli oldalhosszúságú rombuszra cserélte, amelynek két szemközti csúcsánál
105∘
-os szöge van, és az egyik ilyen csúcsnál találkozó két oldallap szabályos háromszög alakú.
Készítsük el papírból a piramis makettjét! Jelöljük a méretarányt! Írjuk le a szerkesztés lépéseit is!
Feladat: 14.8. (M)
III. Berangesz fáraó négyzet alapú piramist tervez magának. A csúcsa az alap egyik csúcsa felett lesz, és legrövidebb oldaléle (ami egyben a testmagassága) egyenlő hosszú lesz az alapél hosszával.
a) Készítsük el papírból a piramis makettjét! Írjuk le a szerkesztés lépéseit is!
b) Berangesz két fia az apjukéval és egymáséval egyforma alakú, de a térben esetleg másképpen elrendezett emlékművet építene magának, és ezeket úgy illesztenék egymás mellé, hogy a közös nagy emlékműnek kívülről mindegyik oldallapja ugyanolyan legyen. Lehetséges-e ez?
Feladat: 14.9. (M)
V. Berangesz fáraó piramisa négyzet alapú, oldallapjai szabályos háromszögek, magassága pedig
70 cvimedli. A piramis belsejébe csak a középpontja alatt fúrt függőleges kútból fölmászva lehet eljutni. A kútba egyenes alagút vezet le, melynek iránya a vízszintessel
60∘
-ot zár be, felső bejárata pedig a piramis egyik sarkától
77 cvimedli távolságra található a szemközti sarokkal épp ellenkező irányban (lásd az
1. ábrát).
1. ábra
Milyen hosszú az alagút?
Feladat: 14.10.
VI. Berangesz fáraó piramisa olyan szabályos hatoldalú gúla , amelynek szomszédos oldallapjai 150o-os szöget zárnak be egymással. Készítsük el papírból a piramis makettjét! Írjuk le a szerkesztés lépéseit, és indokoljuk a szerkesztés helyességét!
Feladat: 14.11.
VIII. Berangesz fáraó piramisa olyan szabályos nyolcoldalú gúla, amelynek oldalélei 80 cvimedli hosszúak, míg az alap két szemköztes csúcsa között a piramis felületére fektetett legrövidebb kötél hossza 140 cvimedli.
a) Készítsük el papírból a piramis makettjét! Legyen az ábrán
1 cm
=10 cvimedli. Írjuk le a szerkesztés lépéseit, és indokoljuk a szerkesztés helyességét!
b) Szerkesszümk a piramis testmagasságával egyenlő hosszú szakaszt!
Feladat: 14.12. (M)
Kornis Kristóf feladata
Egy négyzet alapú gúla mind a nyolc éle egyenlő. Össze lehet-e állítani hat ilyen gúlából egy kockát, úgy hogy összeérjenek az alappal szemköztes csúcsuknál?
Feladat: 14.13. (M)
Az
ABCDE négyszög alapú gúla
ABCD alapjának adatai (a távolságok cm-ben értendők):
AB=2,
BC=22,
CD=6,
DA=2,
ABC∠=CDA∠=
90∘
,
BCD∠=
45∘
,
DAB∠=
135∘
.
Adott még három oldalél hossza:
AE=3,
BE=4,
CE=5. Szerkesszünk a
DE oldaléllel egyenlő hosszúságú szakaszt!
Feladat: 14.14.
Nagy Szerkesztő a következőképpen bizonyítja, hogy bármely háromszögben a három magasságvonal egy közös ponton halad át.
Bizonyítás: tekintsük a tetszőleges
DA
DB
DC
háromszöget, erről fogjuk megmutatni, hogy magasságvonalai egy ponton mennek át.
1. lépés Rajzoljuk be a háromszög
AB,
BC,
CA középvonalait:
AB párhuzamos
DA
DB
-vel,
DA
C=
CDB
és hasonló összefüggések igazak
a
BC,
CA középvonalakra és a
DB
DC
ill.
DC
DA
oldalakra.
2. lépés Képzeljük el, hogy az
ABC,
ABDC
,
BCDA
,
CADB
háromszögek egy
ABCD gúla kiterített hálóját alkotják.
3. lépés Hajtsuk fel az
ABDC
,
BCDA
,
CADB
oldallapokat (forgatás
AB,
BC, ill.
CA körül), hogy a
DC
,
DA
,
DB
pontok a tér valamely
D pontjában egyesüljenek.
4. lépés A forgatás közben a forgó
DC
pontnak az alapsíkon való vetülete az eredeti
DC
pontból az
AB-re bocsájtott merőleges egyenesen mozog. Mivel
AB∥
DA
DB
így ez ez egyenes épp a
DA
DB
DC
háromszög
DC
-ből induló magasságvonala. A többi csúcs is egy-egy magasságvonal felett forog.
5. lépés Ezek szerint a magasságvonalak mind átmennek a gúla
D csúcsának a
DA
DB
DC
síkra való merőleges vetületén. Az állítást bizonyítottuk.
Helyes-e a bizonyítás?
Feladat: 14.15.
Gúlát felező sík
Egy háromszögalapú gúla csúcsa
A, az
A-ból az alapra bocsájtott merőleges egyenes talppontja
T (tehát
AT a gúla testmagassága). Az
AT szakasz
M pontján át a gúla
BCD alapsíkjával párhuzamos sík a gúla
AB,
AC,
AD éleit rendre a
B'
,
C'
,
D'
pontokban metszi. Határozzuk meg az
AM
AT
arány értékét, ha
a)
AB'
AB
=
1
2
;
b)
T
B'
C'
D'
TBCD
=
1
2
;
c)
V
AB'
C'
D'
VABCD
=
1
2
.
d)
AB'
AB
=
1
64
;
e)
T
B'
C'
D'
TBCD
=
1
64
;
f)
V
AB'
C'
D'
VABCD
=
1
64
.
g) Értelmezzük és válaszoljuk meg az a)-f) kérdéssel analóg problémákat négyszögalapú gúla esetén!
Feladat: 14.16.
Az
1. ábrán egy szabályos négyoldalú gúla kiterített hálóját láthatjuk.
A gúla oldallapjain felvettük bizonyos pontokat és vonalakat. Ha az oldallapokat felhajtjuk, hogy igazi gúlává álljanak össze, akkor ezek a vonalak és pontok kikerülnek a térbe. Szerkesszük meg ezen térbeli vonalak és pontok alapsíkon való merőleges vetületét egy megfelelően nagyított ábrán.
1. ábra
Az
ABE oldallapon két súlyvonalat, a
BCE oldalon egy középvonalat, a
CDE oldallapon egy-egy
C-ből ill.
D-ből induló és a szemköztes oldalélig futó szakaszt rajzoltunk be, míg
DAE-n egy tetszőleges pontot vettünk fel.
Feladat: 14.17.
Az
1. ábrán egy szabályos négyoldalú gúla kiterített hálóját láthatjuk.
Bele szeretnénk rakni egy kockát a gúlába úgy, hogy a kocka egyik lapja a gúla alapján feküdjön, a kocka szemközti lapjának csúcsai pedig a gúla oldaléleire illeszkedjenek. Szerkesszük meg a kocka alapsíkra illeszkedő csúcsait egy megfelelően nagyított ábrán!
1. ábra
Feladat: 14.18.
Adott egy szabályos tetraéder éle. Szerkesszük meg a gúla
a) testmagasságát;
b) körülít gömbjének sugarát;
c) beírt gömbjének sugarát;
d) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.19.
Adott egy szabályos háromoldalú gúla alapéle és oldaléle. Szerkesszük meg a gúla
a) testmagasságát;
b) körülít gömbjének sugarát;
c) beírt gömbjének sugarát;
d) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.20.
Adott egy szabályos négyoldalú gúla alapéle és oldaléle. Szerkesszük meg a gúla
a) testmagasságát;
b) körülít gömbjének sugarát;
c) beírt gömbjének sugarát;
d) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.21.
A gizai Kheopsz piramis közelítőleg olyan négyzet alapú gúla alakú, melynek magassága
146,6 méter, alapéle pedig
230,6 méter. Határozzuk meg a piramis
a) oldalélének hosszát;
b) térfogatát!
Feladat: 14.22.
Egy szabályos tatraéder élének hossza
10 cm. Számítsuk ki a gúla
a) testmagasságát;
b) térfogatát;
c) körülít gömbjének sugarát;
d) beírt gömbjének sugarát;
e) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.23.
Egy szabályos háromoldalú gúla alapélének hossza
10 cm, míg az oldaléle
13 cm-es. Számítsuk ki a gúla
a) testmagasságát;
b) térfogatát;
c) körülít gömbjének sugarát;
d) beírt gömbjének sugarát;
e) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.24.
Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének hossza
10 cm, míg az oldaléle
13 cm-es. Számítsuk ki a gúla
a) testmagasságát;
b) térfogatát;
c) körülít gömbjének sugarát;
d) beírt gömbjének sugarát;
e) éleit érintő gömbjének sugarát!
Feladat: 14.25.
Határozzuk meg a szabályos tatraéder élének hosszát, ha tudjuk, hogy a tetraéder
a) testmagassága
b) körülít gömbjének sugara;
c) beírt gömbjének sugara;
d) éleit érintő gömbjének sugara
10 cm hosszú!
Feladat: 14.26.
Határozzuk meg az
1000 cm
3
térfogatú szabályos tatraéder élének hosszát!