11. FEJEZET: Kör és pont
Antiparalelek
Feladat: 11.1.
Definíció. Egy
ABC háromszög síkjában levő
XY szakaszt akkor és csak akkor nevezünk
a háromszög
BC oldalával antiparalel szakasznak, ha
- egyik végpontja az
AB oldalegyenesen van, a másik végpontja az
AC oldalegyenesen, továbbá
- az
A-ból induló szögfelezőre vett tükörképe párhuzamos a
BC oldal egyenesével.
Hasonlóan definiáljuk a másik két oldallal antiparalel szakaszt is.
a) A definícióban nem mondtuk meg, hogy a belső vagy a külső szögfelezőre tükrözünk. Számít-e, hogy melyikre?
Mutassuk meg, hogy
b) a
BC oldallal antiparalel szakaszok mind párhuzamosak egymással.
c) ha
XY antiparalel a
BC oldallal, akkor vagy mindkét végpontja az
A-ból induló, a háromszöggel azonos ,,oldalon" levő félegyenesre esik, vagy az
A pont mindkét végpontját elválasztja a háromszögtől. Utóbbi esetben az antiparalel eshet teljesen a háromszög belsejébe, metszheti a
BC oldalt, vagy eshet a
BC oldalegyenesnek
A-val ellentétes oldalára.
Feladat: 11.2. (M)
Adott az
ABC háromszög és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha az
AXY és az
ACB háromszögek - a csúcsok ilyen sorrendjében - hasonlóak. (Tehát a két háromszög különböző körüljárású és az
A-nál levő szögek azonosak, továbbá például az
X-nél levő szög egyenlő a
C-nél levő szöggel.)
Feladat: 11.3. (SM)
Adott az
ABC háromszög és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha
B,
X,
C és
Y egy körön van.
Feladat: 11.4. (M)
Legyen
ABC háromszög hegyesszögű,
M a magasságpontja. Bizonyítandó, hogy a háromszög talpponti háromszögének oldalai antiparalelek a szemközti oldallal.
Feladat: 11.5. (M)
Adott az
ABC háromszög, és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha merőleges a
KA egyenesre, ahol
K a háromszög köréírt körének középpontja.
Feladat: 11.6. (S)
Adott az
ABC háromszög, és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha
AX·AB=AY·AC.
Feladat: 11.7. (M)
Legyen
ABC egy hegyesszögű háromszög. Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög területének kétszerese egyenlő a talpponti háromszög kerületének és a köréírt kör sugarának szorzatával.
Feladat: 11.8. (S)
Legyen
ABC egy hegyesszögű háromszög. Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög területe egyenlő a talpponti háromszög kerületének és a Feuerbach kör sugarának szorzatával.
Feladat: 11.9. (M)
Tekintsük azt az
ABC háromszöget, amelynek
A,
B,
C csúcsa rendre egy
XYZ háromszög
YZ,
ZX,
XY oldalához írt kör középpontjai. Bizonyítsuk be, hogy például az
XY szakasz antiparalel az
ABC háromszög
AB oldalával.
Feladat: 11.10. (M)
Tekintsük azt a háromszöget, amelynek csúcsai az
ABC háromszög oldalaihoz írt körök középpontjai. Bizonyítsuk be, hogy ennek a háromszögnek a területe egyenlő az
ABC háromszög kerületének és köréírt köre sugarának szorzatával.
Feladat: 11.11. (M)
Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög
BC oldalával antiparalel szakaszok felezőpontjai egy
A-n átmenő egyenes pontjait adják ki - épp az
A pont kivételével.
Definíció. Ezt az egyenest a háromszög
A-ból induló
szimediánjának nevezzük.
Megjegyzés. Az
ABC háromszög
A-ból induló nevezetes vonalai közül a magasságvonal és a sugáregyenes tükrös az
A-ból induló szögfelező(k bármelyiké)re. Az
A-ból induló két oldal is tükrös a szögfelező(k)re. Maga a (két) szögfelező önmaga tükörképe. Viszont a súlyvonalnak eddig hiányzott a szögfelezőre vonatkozó tükörképe: ez éppen a szimedián.
Bizonyítsuk be az utóbbi állítást.
Megjegyzés. A háromszög három csúcsán átmenő magasságvonalak egy ponton mennek át. Ugyanez igaz a sugáregyenesekre, a súlyvonalakra és a sugáregyenesekre is. Vajon igaz-e a szimediánokra is? Ezt a kérdést a
11.12. feladat segítségével fogjuk megválaszolni.
Feladat: 11.12. (M)
Az
ABC háromszög magasságpontjának az oldalakra vett tükörképei a háromszög köréírt körön vannak, tehát a tükörképek által alkotott háromszög oldalfelező merőlegesei éppen a sugáregyenesek.
Hogyan általánosítható ez az állítás?
Szelő-tétel, körre vonatkozó hatvány
Feladat: 11.13. (SM)
Adott a
k kör és a belsejében a
P pont. A
P ponton átmenő
egyik szelő az
A1
és
A2
pontokban, a másik szelő a
B1
és
B2
pontokban metszi a
k kört. Milyen algebrai összefüggés
írható fel a
PA1
,
PA2
,
PB1
,
PB2
szakaszok hosszai
között?
Feladat: 11.14. (M)
Írjunk fel a
11.13. feladatnak megfelelő
összefüggést, ha
P a
k kör külsejében van!
Feladat: 11.15. (M)
Legyenek a
P ponton át húzott szelőnek és a
k kör közös
pontjai
A1
és
A2
. Írjuk fel a
PA1
·
PA2
szorzat
értékét
r és
d függvényeként, ahol
r a
k kör sugara, míg
d a
P pont és
k középpontjának távolsága!
Feladat: 11.16. (S)
Szelő-tétel, érintős alak
Mutassuk meg, hogy ha
P a
k kör külső pontja és a
PT egyenes
T-ben érinti
k-t, míg egy másik
P-n átmenő egyenes az
A1
,
A2
pontokban metszi
k-t, akkor
PT2
=
PA1
·
PA2
.
Feladat: 11.17. (M)
Adott a
P ponton áthaladó egymástól különböző
a,
b egyenesen
két-két pont:
A1
és
A2
, illetve
B1
és
B2
. Igaz-e, hogy
ha az
a illetve a
b egyenesen előjelesen számolva (az irányításokat figyelembe véve)
PA1
·
PA2
=
PB1
·
PB2
, akkor az
A1
,
A2
,
B1
,
B2
pontok egy körön vannak?
Feladat: 11.18.
Adott egy egyenes és rajta három pont:
P,
A1
és
A2
.
Határozzuk meg mindazon
T pontok mértani helyét a síkon,
melyekhez van olyan
A1
-en,
A2
-n és
T-n átmenő kör, amelyet
érint a
PT egyenes!
Feladat: 11.19.
Adott a
k kör és egy
s szakasz. Határozzuk meg azon pontok
mértani helyét a síkban, amelyekből a
k körhöz húzott érintő
hossza megegyezik
s hosszával!
Feladat: 11.20.
Adott a
k kör és egy szakasz, melynek hossza
s. Határozzuk meg
azon pontok mértani helyét a síkban, amelyeknek a
k körre
vonatkozó hatványa
-
s2
!
Feladat: 11.21.
a) Adottak a
k1
,
k2
körök. Szerkesztendő 10 olyan
pont, amelyekből a két körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő
hosszúak!
b) Az Euklidesz, Cabri vagy másik dinamikus geometriai
szoftver segítségével rajzoljuk ki azon pontok mértani helyét,
amelyekből a két körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak!
Feladat: 11.22.
Adottak a
k1
,
k2
körök. Határozzuk meg azon pontok mértani
helyét, amelyeknek a két körre vonatkozó hatványa egyenlő!
Bizonyítsuk is az állítást!
A két kör mely elhelyezkedése esetén nincs ilyen pont?
Feladat: 11.23.
Adottak a
k1
,
k2
,
k3
körök, amelyek közül bármelyik kettő
két pontban metszi egymást. Rajzoljuk meg a két közös pontot
összekötő egyenest! Tegyünk megfigyelést az így kapott három
egyenessel kapcsolatban, majd bizonyítsuk be az észrevételt!
Feladat: 11.24.
Adottak a
k1
,
k2
,
k3
körök, amelyek közül semelyik kettő
sem koncentrikus. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét,
amelyeknek a három körre vonatkozó hatványa egyenlő!
a) A körök mely elhelyezkedése esetén mondhatjuk
biztosan, hogy egyetlen ilyen pont van?
b) Adjuk meg a körök egy olyan elhelyezkedését, amikor
nincs ilyen pont!
c) Lehetséges-e, hogy végtelen sok ilyen pont van?
Feladat: 11.25.
Adottak a
k1
,
k2
körök, melyek nem koncentrikusak és közös
pontjaik száma
a) 2
b) 1
c) 0.
Adjunk meg egy, az előzőektől különböző,
k3
kört úgy, hogy a
k1
,
k2
,
k3
körök közül bármelyik kettőnek ugyanaz az
egyenes legyen a hatványvonala!
Feladat: 11.26.
Adottak a
k1
,
k2
körök, melyek nem koncentrikusak és közös
pontjaik száma
a) 2
b) 1
c) 0.
Adott még a sík egy olyan
P pontja is, amely az adott körök
egyikére sem illeszkedik. Adjunk meg egy, az előzőektől különböző,
k3
kört
P-n át úgy, hogy a
k1
,
k2
,
k3
körök közül
bármelyik kettőnek ugyanaz az egyenes legyen a hatványvonala!
Feladat: 11.27.
Adott az
A és a
B pont, továbbá az ezeket nem tartalmazó
k
kör. Van-e olyan pont, amelynek bármely - az
A és
B pontokon
átmenő - körre vonatkozó hatványa ugyanakkora, mint a
k körre
vonatkozó hatványa?
Feladat: 11.28.
Adottak a
k1
,
k2
körök. Szerkesztendő 10 olyan pont,
amelyekből a
k1
-hez húzott érintő kétszer akkora, mint a
k2
körhöz húzott érintő!
Feladat: 11.29.
Adottak a
k1
,
k2
körök. Határozzuk meg azon pontok mértani
helyét, amelyekből a
k1
-hez húzott érintő kétszer akkora, mint
a
k2
körhöz húzott érintő!
Feladat: 11.30. (M)
Két kör Steiner hatványa
Mutassuk meg, hogy a
K,
L körökhöz és azok
H hasonlósági középpontjához hozzárendelhető egy
Λ szám a következő tulajdonsággal: ha a
H pontot tartalmazó tetszőleges
h egyenesen a
K,
L körök
UK
,
VK
pontja a
K-t
L-re képező
H centrumú nagyításnál
nem egymásnak megfelelő pontpár, akkor
HUK
·
HUL
=Λ.
Vegyes feladatok
Feladat: 11.31. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben teljesül az alábbi
összefüggés:
ahol
ρ a háromszög beírt körének sugarát ,
r a körülírt kör
sugarát,
d pedig a két középpont távolságát jelöli!
Feladat: 11.32. (M) [
34]
Adott két kör és egy pont. Szerkesztendő az adott pontot tartalmazó egyenes, amelyből a körök egyenlő hosszú húrokat metszenek le.
Feladat: 11.33. (SM) [
165]
Adott az
ABC háromszög. A háromszög
X belső pontjára jelölje
A1
az
AX egyenesnek a háromszög körülírt körének az
A csúcstól különböző metszéspontját. Igazoljuk az
egyenlőtlenséget, ahol
r a beírt kör sugara. Mely
X-re áll fenn az egyenlőség?