17. FEJEZET: Prímek eloszlása
Feladat: 17.1.
Két pozitív egész szám különbsége és a szorzata is prím. Melyik ez
a két szám?
Feladat: 17.2.
Két prímszám különbsége 1995. Határozzuk meg az összegük osztóit!
Feladat: 17.3.
Hol van a legnagyobb hézag 1-től 100-ig a prímek között?
Feladat: 17.4.
Hány ikerprím van 1 és 100 között? És hány trikerprím (azaz három
szomszédos páratlan szám, amelyek mind prímek)? Vannak-e ilyenek
még 100 fölött?
Feladat: 17.5.
Adjunk meg
a) 10
b)
n
egymást követő pozitív egész számot, melyek
egyike sem prím!
Feladat: 17.6.
Mutassuk meg, hogy van olyan 1-nél nagyobb egész szám, amely az
első 100 prímszám egyikével sem osztható!
Feladat: 17.7.
Igazoljuk, hogy végtelen sok prímszám van!
Feladat: 17.8.
Az alábbi műveletek eredménye mind prímszám:
2+1=3
2·3+1=7
2·3·5+1=31Igaz-e, hogy az
első
n prímszám szorzatánál eggyel nagyobb szám minden
n
esetén prím?
Feladat: 17.9.
Mutassuk meg, hogy végtelen sok
a)
4k+3
b)
3k+2alakú prímszám van (
k∈Z)!
Feladat: 17.10.
Tekintsük az alábbi számokat:
21
+1=3
22
+1=5
24
+1=17
28
+1=129.
Általában a
2
2n
+1 alakú számokat
(
n∈N) Fermat-számoknak nevezik. Mutassuk meg, hogy
bármely két Fermat-szám relatív prím!
(Fermat azt hitte, hogy
2
2n
+1 értéke mindig prím. Ezt Euler
cáfolta meg 1732 körül, megmutatva, hogy
2
25
+1 nem prím.)
Feladat: 17.11.
A Fermat-számok segítségével adjunk új bizonyítást arra, hogy
végtelen sok prímszám van!
Feladat: 17.12. [
32]
Bizonyítsuk be, hogy ha három 3-nál nagyobb prímszám számtani
sorozatot alkot, akkor a sorozat különbsége osztható hattal!
Feladat: 17.13. (M) [
32]
Tíz 3000-nél kisebb prímszám számtani sorozatot alkot. Melyek ezek
a számok?
Feladat: 17.14.
Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számokból álló végtelen
hosszú számtani sorozatban végtelen sok összetett szám
van!
Feladat: 17.15. (M) [
32]
Bizonyítsuk be, hogy öt egymás utáni egész szám közül mindig ki
lehet választani egy olyat, amely az összes többihez relatív
prím!
Feladat: 17.16. (M)
Készítsünk algoritmust, ami eldönti egy számról, hogy prím-e.
Feladat: 17.17. (M)
Készítsünk algoritmust, ami megszámolja a prímszámokat egy adott
számig.
Feladat: 17.18. (M)
Készítsünk algoritmust, ami kiírja fájlba a prímszámokat egy adott
számig.
Feladat: 17.19. (M)
Készítsünk algoritmust, ami
4n+1 alakú prímszámokat keres (
n∈N).
Feladat: 17.20. (M)
Készítsünk algoritmust, ami
4n+1 alakú prímszámokat keres és
fájlba menti őket (
n∈N).
Feladat: 17.21. (M)
Készítsünk algoritmust, ami a megtalált
4n+1 alakú prímszámokat
felbontja két négyzetszám összegére. (
n∈N).
Feladat: 17.22. (M)
Készítsünk algoritmust, ami Fermat-féle prímeket keres.
Fermat-prímnek nevezünk egy számot, ha felírható
2n
+1 alakban,
ahol
n kettőhatvány (
n=
2k
,
k∈N).
Feladat: 17.23. (SM)
Készítsünk algoritmust, ami Mersenne-prímeket keres. A
Mersenne-prím olyan prímszám, ami felírható
2p
-1 alakban, ahol
p prímszám.
Feladat: 17.24.
Jelölje
p(n) az
n-edik prímet. Írjunk programot, amely
beolvassa
n értékét és kiírja
p(n)-t!
Feladat: 17.25. (S)
Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amelynek egyik
kezdőszelete sem összetett szám? (Pld a
137 kezdőszeletei:
1,
13,
137.)
Feladat: 17.26. (S)
Melyik az a 10 legkisebb egymást követő pozitív egész, amelyek
egyike sem prím?
Feladat: 17.27.
Megadandó pozitív prímekből álló 10-tagú számtani sorozat.
Feladat: 17.28. (SM) [
52]
Keressünk különböző prímszámokból álló
3×3-as bűvös
négyzetet!