19. FEJEZET: Racionális és irracionális számok
Feladat: 19.1. [
108]
Ha
a)
1
7
b)
1
52
tizedestört alakjának felírnánk több mint 100
tizedesjegyét, akkor mi állna a 100. helyen?
Feladat: 19.2.
Számoljuk ki
1
7
,
2
7
,
3
7
,
4
7
,
5
7
és
6
7
tizedestört alakját
és tegyünk megfigyelést!
Számoljuk ki
1
13
értékét! Melyik tört tizedestört
alakját lehet ennek alapján azonnal megmondani az alábbiak közül:
a)
2
13
;
b)
3
13
;
c)
4
13
?
Feladat: 19.3.
Válasszuk ki az alábbi törtek közül azokat, amelyek tizedestört
alakja véges!
3
40
31
7
21
60
3
1024
1
2005
7
1250
.
Feladat: 19.4.
Határozzuk meg, hogy az alábbi törtek tizedestört alakjában hány
jegy van a tizedesvessző után!
2
5
3
8
7
125
1
5120
4
512
.
Feladat: 19.5.
Az alábbi törtek tizedestört alakja periodikus. Adjunk felső
becslést a periódus hosszára!
1
9
1
11
2
19
123
2005
.
Feladat: 19.6.
Igaz-e, hogy minden racionális szám tizedestört alakja periodikus
vagy véges?
Feladat: 19.7.
Melyek azok a racionális számok, amelyek tizedestört alakja véges?
Feladat: 19.8.
Van-e olyan tizedestört, amelyik nem periodikus?
Feladat: 19.9.
A négyzetszámokból a következő tizedestörtet készítjük:
Mi ennek a számnak a
a) 100-adik
b) 1000-edik tizedesjegye?
c) Ismétlődő tizedestört-e a fenti szám?
Feladat: 19.10.
a) Adott a síkon egy négyzet. Szerkesszünk kétszer akkora
területű négyzetet körzővel és vonalzóval!
b) Hányszorosa lesz az így kapott négyzet oldala az
eredeti négyzetének?
Feladat: 19.11.
Adott a síkon egy szakasz. Képzeljünk el egy kockát, melynek ez a
szakasz az oldaléle. Szerkesszünk a kocka testátlójával egyenlő
hosszú szakaszt! Milyen hosszú a testátló, ha az adott szakasz
hossza 1 egyég?
Feladat: 19.12.
Van-e olyan négyzetszám, amelynek a
a)
kétszerese
b) háromszorosa
c)
négyszerese
d) hatszorosa
e)
tizenkétszerese
is négyzetszám?
Feladat: 19.13.
Bizonyítsuk be, hogy a
2 irracionális, azaz nem írható
fel két egész szám hányadosaként!
Feladat: 19.14.
Melyek azok az
n pozitív egészek, amelyekre
n
irracionális?
Feladat: 19.15.
Adott a síkon az egységnyi hosszúságú szakasz. Szerkesszünk
a)
2
b)
n
hosszúságú szakaszt körzővel és vonalzóval!
Feladat: 19.16.
Döntsük el az alábbi számokról, hogy racionálisak vagy
irracionálisak!
a)
22
b)
2+3
c)
169
d)
23.
Feladat: 19.17.
Az alábbi állítások közül melyek igazak?
a) Két racionális szám összege mindig racionális;
b) Két irracionális szám összege mindig irracionális;
c) Egy racionális és egy irracionális szám összege mindig
irracionális;
d) Két racionális szám szorzata mindig racionális;
e) Egy racionális és egy irracionális szám szorzata
mindig irracionális;
f) Két irracionális szám szorzata mindig irracionális.
Feladat: 19.18.
Igazoljuk, hogy tetszőlegesen adott hat irracionális szám közül
mindig kiválasztható három úgy, hogy bármely kettő összege
irracionális!
Feladat: 19.19.
Igaz-e, hogy tetszőlegesen adott
a) hét
b) öt
c) négy
irracionális szám közül mindig
kiválasztható három úgy, hogy bármely kettő összege irracionális?
Feladat: 19.20. (M)
Készítsünk algoritmust, ami közönséges tört alakból tizedes tört
alakba tud átváltani.
Feladat: 19.21. (M)
Készítsünk algoritmust, ami közönséges tört alakból tizedes tört
alakba tud átváltani és megtalálja a tizedestört alak periódusát
is!
Feladat: 19.22.
Készítsünk algoritmust, ami tizedes törtet tovább nem
egyszerűsíthető közönséges tört alakba tud átváltani, ha
a) az adott tizedestört véges;
b) a tizedestört a periódusával és az az előtti résszel
adott.