3. FEJEZET: Városok Viadala, 2000--2009
2000 Junior, 1. forduló tavasz
Feladat: 3.1.
Lehet-e két szomszédos pozitív egész szorzata egyenlő két
szomszédos páros pozitív szám szorzatával?
V. Poizvolov, 3 pont
Feladat: 3.2.
Az
ABCD négyszög területe 1,
BC és
AD párhuzamosak, arányuk
1:2. Legyen az
AC átló felezőpontja
K, a
DK és
AB
egyenesek metszéspontja
L. Határozzuk meg a
BCKL négyszög
területét.
MG. Sonkin, 4 pont
Feladat: 3.3.
Egy n-szög alapú hasáb csúcsait három színnel színezzük úgy, hogy
minden csúcs esetén az onnan kiinduló három él végpontjai három
különböző színűek legyenek.
(a) Igazoljuk, hogy ha
n 3-mal osztható, akkor létezik ilyen
színezés.
(b) Bizonyítsuk be, hogy ha létezik megfelelő színezés, akkor
n
osztható 3-mal.
A. Sapovalov, 2+3 pont
Feladat: 3.4.
Egy kocka csúcsaihoz írhatunk-e olyan pozitív egészeket, hogy
minden él két végén levő szám közül egyik osztója legyen a
másiknak, de más számpár esetén ez a tulajdonság ne teljesüljön?
A. Sapovalov, 5 pont
2000 Senior, 1. forduló tavasz
Feladat: 3.5.
Az
ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja
p. A
PAB
és
PCD háromszögek területének összege egyenlő a
PAD és
PCD
háromszögek területének összegével. Bizonyítsuk be, hogy
P az
AC, vagy
BD átló felezőpontja.
3 pont
Feladat: 3.6.
Vegyünk egy kockát és két szemköztes oldalát jelöljük meg egy-egy
pöttyel, másik két szemköztes oldalát jelöljük meg két-két
pöttyel, a maradék két szemköztes oldalt jelöljük meg három-három
pöttyel. Nyolc ilyen kockából építünk egy
2×2-es kockát.
Az így kapott nagy kocka oldalain levő pöttyök száma lehet-e hat
szomszédos szám?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 3.7.
Legyenek
n és
k pozitív egészek. Bizonyítsuk be az alábbi
egyenlőtlenséget:
1k
+
2k
+..+
nk
≤
n2k
-(n-1
)k
nk
-(n-1
)k
.
|
L. Emeljanov, 4 pont
Feladat: 3.8.
(a) Létezik-e valós számoknak olyan végtelen sorozata, amelyben
bármely 10 szomszédos elem összege pozitív, de minden
n esetén
az első
10n+1 szomszédos elem összege negatív?
(b) Létezik-e ugyanilyen sorozat, amelynek tagjai egészek?
AK. Tolpygo, 3+3 pont
2000 Junior, 2. forduló tavasz
Feladat: 3.9.
Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós megoldásait:
(x+1
)21
+(x+1
)20
(x-1)+(x+1
)19
(x-1
)2
+....+(x-1
)21
=0.
|
RM. Kuznec, 3 pont
Feladat: 3.10.
Egy négyszög két párhuzamos oldalának hossza egy-egy egész szám.
Bizonyítsuk be, hogy a négyszög egybevágó háromszögekre
darabolható.
A. Sapovalov, 3 pont
Feladat: 3.11.
Adott egy kör és a belsejében egy rögzített
A pont. Határozzuk
meg azon
C pontok mértani helyét, amelyekre létezik
ABCD
téglalap úgy, hogy
B és
D a körön vannak.
M. Panov, 6 pont
Feladat: 3.12.
Adok és Veszek elosztanak egymás között 100 pénzérmét. Minden
lépésben Adok kiválaszt néhány érmét, majd Veszek eldönti, hogy
ezeket melyikőjük kapja. Ezt a lépést ismételgetik mindaddig,
amíg elfogy mind a 100, vagy valamelyikőjük már 9-szer kapott. Ez
utóbbi esetben a megmaradt érmék mind a másikhoz kerülnek.
Legfeljebb hány pénzérmét tud Adok megszerezni?
A. Sapovalov, 7 pont
Feladat: 3.13.
Legfeljebb hágy huszár helyezhető el egy
5×5-ös
sakktáblán úgy, hogy mindegyik pontosan kettőt támadjon?
M. Gorelov, 7 pont
Feladat: 3.14.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző pontosan
egyszer játszik egymás ellen. A győzelemért 1, a döntetlenért
0,5, a vereségért 0 pont jár. A bajnokság végén visszatekintve
minden mérkőzés "meglepetés", amelynek nyertese összesen kevesebb
pontot szerzett, mint ellenfele. Bizonyítsuk be, hogy a
"meglepetés" partik száma biztosan kevesebb, mint a bajnokság
összes mérkőzései számának háromnegyede.
S. Tokarev, 10 pont
2000 Senior, 2. forduló tavasz
Feladat: 3.15.
Legyenek
m és
n relatív prím pozitív egészek. Legfeljebb
mekkora lehet
m+2000n és
n+2000m legnagyobb közös osztója?
S. Zlobin, 3 pont
Feladat: 3.16.
Az
O középpontú kör
AC és
BD húrjainak metszéspontja
K.
Az
AKB és
CKD háromszögek köré írt körök középpontjai rendre
M és
N. Bizonyítsuk be, hogy
OM=KN.
A. Zaszlavszkij, 5 pont
Feladat: 3.17.
Peter egyszemélyes játékot játszik egy pakli kártyával.
Némelyik lap felfele, a többi lefele néz. Péter akkor veszít, ha
minden lap lefele néz. Amíg van a pakliban felfele néző lap addig
a következőt teszi: kivesz a pakliból néhány egymás után
következő lapot, amelyek közül az első és az utolsó felfele néz
(ez a két lap lehet azonos is), majd a pakliba ezt az egész részt
megfordítva visszateszi az eredeti helyére. Bizonyítsuk be, hogy
Péter mindig veszt.
A. Sapovalov, 5 pont
Feladat: 3.18.
Egy konvex poliéder minden csúcsának koordinátái egész számok,
egyik éle sem párhuzamos valamely koordinátatengellyel. Tekintjük
az
x=m egyenletű egyeneseket, ahol
m egész. Az ilyen
egyeneseknek a poliéderrel vett metszeteit összeadjuk. Ugyanígy
az
y=n egyeneseknél, ahol
n egész. Bizonyítsuk be, hogy ez a
két összeg egyenlő.
G. Galperin, 5 pont
Feladat: 3.19.
Mi a legnagyobb
N szám, amelyre létezik
N szomszédos pozitív
egész úgy, hogy a
k-adik egész jegyeinek összege osztható
k-val minden
1≤k≤N esetén?
S. Tokarev, 7 pont
Feladat: 3.20.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző pontosan
egyszer játszik egymás ellen. A győzelemért 1, a döntetlenért
0,5, a vereségért 0 pont jár. A bajnokság végén visszatekintve
minden mérkőzés "meglepetés", amelynek nyertese összesen kevesebb
pontot szerzett, mint ellenfele.
(a) Bizonyítsuk be, hogy a "meglepetés" partik száma biztosan
kevesebb, mint a bajnokság összes mérkőzései számának
háromnegyede.
(b) Bizonyítsuk be, hogy háromnegyednél nem írhattunk volna
kisebb számot.
S. Tokarev, 6+6 pont
2000 Junior, 1. forduló, ősz
Feladat: 3.21.
Egy
4×4-es táblázat minden mezőjében van egy szám.
Tetszőleges mező oldalszomszédos mezőin levő számok összege 1.
Határozzuk meg a táblázatban levő 16 szám összegét.
R. Zenodarov, 3 pont
Feladat: 3.22.
Az
ABCD paralelogramma
CD oldalának felezőpontja
M,
B
merőleges vetülete az
AM egyenesen
H. Bizonyítsuk be, hogy
BCH egyenlőszárú háromszög.
M. Volcskevics, 3 pont
Feladat: 3.23.
a) 100 különböző számot írtak fel egy táblára.
Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük 8 szám úgy, hogy
átlaguk a táblán található számok közül választott bármely 9 szám
átlagától különbözik.
b) 100 számot írtak fel egy táblára. Bármely 8 számhoz
találunk a táblán 9 számot úgy, hogy a 8 szám átlaga és a 9 szám
átlaga egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a táblán levő összes szám
egyenlő.
A. Sapovalov, 2+4 pont
Feladat: 3.24.
32 látszólag egyforma érme közül 30 valódi, 2 hamis. A valódi
érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással megegyező, de a
valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék két egyenlő súlyú
csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4 méréssel?
A. Sapovalov, 5 pont
2000 Senior, 1. forduló, ősz
Feladat: 3.25.
Az
ABC háromszög köréírt körének
AM és
AN húrjai
BC-t
rendre
K és
L pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy ha
KLMN húrnégyszög, akkor
ABC egyenlőszárú háromszög.
V. Zhgun, 3 pont
Feladat: 3.26.
Az
a,b,c,d pozitív egészekre
ad-bc>1. Bizonyítsuk be, hogy az
a,b,c,d számok közül legalább egy nem osztható
(ad-bc)-vel.
A. Spivak, 3 pont
Feladat: 3.27.
Egy ötszög alapú, nem feltétlenül egyenes hasáb minden oldallapja
bezár valamely szomszédos lapjával
f nagyságú szöget. Mekkora
lehet
f?
A Sapovalov, 4 pont
Feladat: 3.28.
2N látszólag egyforma érme közül
2N-2 valódi, 2 hamis. A
valódi érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással
megegyező, de a valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék
két egyenlő súlyú csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4
méréssel, ha (a)
N=16; (b)
N=11?
A. Sapovalov, 3+2 pont
2000 Junior, 2. forduló, ősz
Feladat: 3.29.
Egy
n×n-es táblázat mezőibe különböző számokat
írtunk. Minden sorban aláhúztuk a legkisebb számot és ezek mind
különböző oszlopokba kerültek. Bekarikáztuk minden oszlopban a
legkisebb számot és a bekarikázott számok mind különböző sorokba
kerültek. Bizonyítsuk be, hogy az aláhúzott számok éppen a
bekarikázottak.
V. Klepcyn, 3 pont
Feladat: 3.30.
Az
ABC háromszögben
AB=AC. Az
A csúcson keresztül
párhuzamost húztunk
BC-vel. Az
ABC háromszögön kívül
rajzoltunk egy kört, amely érinti ezt az egyenest,
BC és
AB
egyeneseket, továbbá az
ABC háromszög beírt körét. Ennek a
körnek a sugara 1. Határozzuk meg az
ABC háromszög beírt
körének sugarát.
RK. Gordin, 3 pont
Feladat: 3.31.
Az
a,b,c,d pozitív egészek legkisebb közös többese
a+b+c+d.
Bizonyítsuk be, hogy a 3 és 5 közül legalább az egyik osztja
abcd-t.
V. Senderov, 4 pont
Feladat: 3.32.
Hányféleképpen jelölhető ki egy
8×8-as sakktáblán 31
mező úgy, hogy nincs két oldalszomszédos kijelölt mező?
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 3.33.
Egy kétkarú mérleg bal serpenyőjébe helyeztünk 1111 grammot.
Ezek után egyesével teszünk mérősúlyokat a serpenyők
valamelyikébe; először egy 1 grammost, majd mindig az előzőnek a
kétszeresét. Néhány súly elhelyezése után egyensúlyba kerül a
mérleg. A bal, vagy a jobb serpenyőbe került a 16 grammos súly?
AV. Kalinin, 6 pont
Feladat: 3.34.
A Városok Viadala idei tavaszi második fordulójában a senior
kategóriában 6 feladatot tűztek ki. Valamelyik országban minden
feladatot éppen 1000 diák oldotta meg, de közülük senki sem
oldotta meg mind a 6 feladatot. Legaláb hány induló volt ebben az
országban a Városok Viadala idei tavaszi második fordulójában a
senior kategóriában?
R. Zenodarov, 7 pont
Feladat: 3.35.
Egy diáknak van 100 kártyája, rajtuk a számok 1-től 100-ig,
továbbá nagyon sok kártyája + illetve = jelekkel. A számkártyák
legfeljebb egyszeri használatával legfeljebb hány igaz egyenlőség
rakható ki a kártyákkal?
R. Zenodarov, 8 pont
2000 Senior, 2. forduló, ősz
Feladat: 3.36.
Az
a,b,c,d pozitív egészek legkisebb közös többese
a+b+c+d. Bizonyítsuk be, hogy a 3 és 5 közül legalább az egyik
osztja
abcd-t.
V. Senderov, 3 pont
Feladat: 3.37.
Határozzuk meg a legnagyobb
n számot, amelyre létezik olyan
szabályos
n-szög, melynek minden csúcsa egy kocka felületén
helyezkedik el, de nem mind egy lapon.
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 3.38.
Az
ABC háromszögben
AB=c,
BC=a,
CA=b,
a<b<c.
Kijelöljük a
B' és
A' pontokat rendre a
B és
A kezdőpontú
BC és
AC félegyeneseken úgy, hogy
BB'=AA'=c. Kijelöljük a
C" és
B" pontokat rendre a
C és
B kezdőpontú
CA és
BA
félegyeneseken úgy, hogy
CC"=BB"=a. Mekkora az
A'B' és
C"B"
szakaszok aránya?
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 3.39.
Legyenek
a1
,
a2
,...,
an
nem 0 egészek, amelyekre
a1
+
1
a2
+
1
a3
+⋱
1
an
+
1
x
=x
|
teljesül mindazon
x értékekre,
amelyekre a bal oldal értelmezhető.
(a) Bizonyítsuk be, hogy
n páros.
(b) Mi a legkisebb
n, amelyhez léteznek ilyen
a1
,
a2
,...,
an
számok?
M. Skopenkov, 3+4 pont
Feladat: 3.40.
Egy
m×n-es táblázat minden mezője fehér vagy fekete.
Minden mezőre a sorában és oszlopában álló vele azonos színű
mezők száma kisebb, mint a tőle különböző színű mezők száma.
Bizonyítsuk be, hogy minden sorban és oszlopban a fehér és fekete
mezők száma egyenlő.
A. Sapovalov, 6 pont
Feladat: 3.41.
(a) Néhány 1 cm oldalú fekete négyzetet gombostűztünk rá egy fehér
síkra egy tűvel, amelynek vastagsága 0,1 cm. A négyzetek együtt
egyetlen fekete sokszöget alkotnak. Lehet-e ennek a sokszögnek a
kerülete 1 km? (A tű nem érintheti egyetlen négyzetnek sem a
kerületét.)
(b) Oldjuk meg az előző feladatot, ha a tű vastagsága 0. (Egyetlen
pontnak képzeljük.)
(c) Néhány 1 cm oldalú fekete négyzetet helyeztünk egy fehér
síkra. A négyzetek együtt fekete sokszöget alkotnak, de ebben
lehet lyuk, vagy állhat több részből is. A fekete rész kerületének
és területének aránya lehet-e több, mint 100000?
magyar feladat, 5 pont
2000 Junior, ősz
Feladat: 3.42.
Egy
4×4-es táblázat minden mezőjében van egy szám.
Tetszőleges mező oldalszomszédos mezőin levő számok összege 1.
Határozzuk meg a táblázatban levő 16 szám összegét.
R. Zenodarov, 3 pont
Feladat: 3.43.
Az
ABCD paralelogramma
CD oldalának felezőpontja
M,
B
merőleges vetülete az
AM egyenesen
H. Bizonyítsuk be, hogy
BCH egyenlőszárú háromszög.
M. Volcskevics, 3 pont
Feladat: 3.44.
a) 100 különböző számot írtak fel egy táblára.
Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük 8 szám úgy, hogy
átlaguk a táblán található számok közül választott bármely 9 szám
átlagától különbözik.
b) 100 számot írtak fel egy táblára. Bármely 8 számhoz
találunk a táblán 9 számot úgy, hogy a 8 szám átlaga és a 9 szám
átlaga egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a táblán levő összes szám
egyenlő.
A. Sapovalov, 2+4 pont
Feladat: 3.45.
32 látszólag egyforma érme közül 30 valódi, 2 hamis. A valódi
érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással megegyező, de a
valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék két egyenlő súlyú
csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4 méréssel?
A. Sapovalov, 5 pont
2001 Junior, 1. forduló, tavasz
Feladat: 3.46.
A pozitív egész
n szám helyettesíthető
a×b-vel, ahol
a,b pozitív egészek,
a+b=n. Megkaphatjuk-e néhány ilyen
helyettesítést követően a 22-ből indulva a 2001-et?
V. Klepcyn, 3 pont
Feladat: 3.47.
Az
ABC háromszög
AB,BC és
CA oldalainak felezőpontjai
rendre
F,E és
D. Ha a
DE,EF és
FD szakaszok valamelyike
hosszabb, mint
AD,BE és
CF valamelyike, akkor bizonyítsuk be,
hogy
ABC tompaszögű háromszög.
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 3.48.
Egy boltban 20 kg sajt volt eladásra és a vevők sorban álltak
sajtért. Az első tíz vevő mindegyikének vásárlása után a
következőt kiáltotta az eladó: "Ha minden további ember az eddig
vásárolt sajtok átlagát kéri, akkor még éppen 10 embert tudok
kiszolgálni." Lehet, hogy minden alkalommal igazat mondott? Ha
igen, akkor mennyi sajt maradt, miután az első tíz vevő már
vásárolt?
IG. Rybnikov, 4 pont
Feladat: 3.49.
Az asztalon van 5 egybevágó háromszög alakú papírlap. Mindegyiket
eltolhatjuk önmagával párhuzamosan tetszőleges irányba, de nem
forgathatjuk.
(a) Igaz-e, hogy bármelyik letakarható a többi négy segítségével?
(b) Bizonyítsuk be, hogy bármelyik lefedhető a többi négy
segítségével, ha a háromszögek szabályosak.
A. Sapovalov, 3 pont
Feladat: 3.50.
Egy
15×15-ös táblára 15 figurát helyeztünk úgy, hogy
nincs kettő egy sorban vagy egy oszlopban. Minden figurát
elmozdítunk: két mezőt vízszintesen és egy mezőt függőlegesen,
vagy két mezőt függőlegesen és egy mezőt vízszintesen. Bizonyítsuk
be, hogy ez után biztosan lesz olyan sor, vagy oszlop, amelyben
két figura lesz.
S. Berlov, 5 pont
2001 Senior, 1. forduló, tavasz
Feladat: 3.51.
Egy busz 12 óra 20-kor indul 100 km-es útjára. A buszba
helyezett számítógép 13, 14, 15, 16, 17 és 18 órakor a következőt
jelzi: A busz egy óra múlva érkezik el céljához, feltéve, hogy az
út hátra levő részében a busz átlagsebessége ugyanakkora lesz,
mint az eddigi átlagsebesség. Lehetséges, hogy a számítógép nem
téved? Ebben az esetben hány km-t tesz meg a busz 18 óráig?
IG. Rybnikov, 3 pont
Feladat: 3.52.
Egy
n jegyű szám köbe
m jegyű. Lehet-e, hogy
n+m=2001?
G. Galperin, 4 pont
Feladat: 3.53.
Az
ABC háromszög
AB és
BC oldalain van rendre
X és
Y. Az
AY és
CX szakaszok metszéspontja
Z,
AY=YC,
AB=ZC. Bizonyítsuk be, hogy
BXZY húrnégyszög.
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 3.54.
Egy
3×100-as táblára két játékos felváltva helyez el
2×1-es dominókat. Az első játékos mindig
1×2-es
téglalapokra teszi, a második mindig
2×1-esekre. Az
veszít, aki már nem tud tenni. Melyik játékos tud biztosan
győzni? Mi a nyerő stratégia?
V. Truskov, 5 pont
Feladat: 3.55.
Egy szabályos tetraéder éleinek hossza 1 centiméter. Felszínén 9
pontot jelöltünk ki. Bizonyítsuk be, hogy található ezen pontok
között kettő, amelyek térbeli távolsága legfeljebb 5 milliméter.
V. Proizvolov, 5 pont
2001 Junior, 2. forduló, tavasz
Feladat: 3.56.
Egy vállalatnál az alkalmazottak 10%-a kapja a bérek 90%-át.
A vállalat több ágazattal rendelkezik. Lehetséges-e, hogy minden
ágazaton belül az alkalmazottak tetszőlegesen választott 10%-a
legfeljebb az ágazatra jutó bérek 11%-át kapja?
M. Vyalyi, 3 pont
Feladat: 3.57.
Három kupac kavicsunk van, ezekben 51, 49 és 5 kavics. Tetszőleges
két kupacot egyesíthetünk. Ha egy kupacban páros sok kavics van,
akkor két ugyanakkora kupacra bonthatjuk. Elérhető-e ilyen
lépésekkel, hogy 105 darab kupacunk legyen, mindegyikben 1 kavics?
V. Klepcyn, 5 pont
Feladat: 3.58.
A
KMN∠ szögtartományban adott az
A pont.
KM és
MN egy-egy pontja rendre
B és
C,
CBM∠=ABK∠ és
BCM∠=ACN∠. Bizonyítsuk be, hogy a
BCM háromszög
köré írt kör középpontja az
AM egyenesen van.
A. Zaszlavszkij, 5 pont
Feladat: 3.59.
Egy konvex sokszöget háromszögekre bontottunk egymást nem
metsző átlóival. A sokszög minden csúcsához odaírjuk, hogy hány
háromszögnek lett csúcsa. Az átlókat ezután letörlik, de a
számokat látjuk. Ez alapján megállapítható-e, mely átlók
szerepeltek a felbontásban?
S. Zajcev, 5 pont
Feladat: 3.60.
Egy sakktáblán van egy fekete és egy fehér figura. Egy lépésban
valamelyik figura átlép a saját mezőjével oldalszomszédos mezők
közül az egyik üresre. A lépéseknek olyan sorozatát szeretnénk,
hogy közben a két figurának a sakktáblán való összes lehetséges
elhelyezkedése létrejöjjön.
(a) Lehetséges ez, ha a figuráknak felváltva kell lépni?
(b) Lehetséges ez, ha a figuráknak nem kell felváltva lépni?
A. Sapovalov, 3+4 pont
Feladat: 3.61.
Az
ABC háromszög magasságvonalai
AD,BE és
CF. Az
AEF,
BFD és
CDE háromszögek magasságpontjai rendre
K,M és
N.
Bizonyítsuk be, hogy
KMN és
DEF egybevágó háromszögek.
A. Akopjan, 7 pont
Feladat: 3.62.
Aladár választ egy 9-nél nagyobb, 100-nál kisebb egész számot.
Balambér szeretné ezt kitalálni, számokat tippelhet. Ha Balambér
eltalálja Aladár számát, vagy az egyik jegyét eltalálja a másik
jegyétől pedig csak egy számban tér el tippje, akkor Aladár azt
mondja "forró", egyébként "hideg"-et mond. Például ha Aladár a
65-öt választotta, akkor forrót pontosan a következő tippek esetén
mond: 65, 64, 66, 55, 75.
(a) Bizonyítsuk be, hogy Balambérnak nem lehet olyan stratégiája,
amellyel legfeljebb 18 tipp után biztosan kitalálhatná Aladár
számát.
(b) Keressünk olyan stratégiát, amivel legfeljebb 24 tippel mindig
kitalálható Aladár száma.
(c) Van olyan stratégia, amelyhez legfeljebb 22 tipp kell?
2+3+3 pont
2001 Senior, 2. forduló, tavasz
Feladat: 3.63.
Keressünk olyan 2001 fokú
P(x) polinomot, amelyre minden
valós
x számra
P(x)+P(1-x)=1.
3 pont
Feladat: 3.64.
Egy legalább 5 fős osztályban minden tantárgyból vagy ëlégtelen",
vagy "megfelelt" minősítést kap a diák. A diákok közül választott
legalább 5 fős csoportot véve, a csoportbeli elégtelenek legalább
80%-át a csoport legfeljebb
20%-a kapta. Bizonyítsuk be,
hogy az osztálybeli elégtelenek legalább
75%-át egyetlen diák
kapta.
M. Vyalyi, 5 pont
Feladat: 3.65.
Az
ABC háromszög magasságvonalai
AD,BE és
CF. Az
AEF,
BFD és
CDE háromszögek magasságpontjai rendre
K,M és
N. Bizonyítsuk be, hogy
KMN és
DEF egybevágó háromszögek.
A. Akopjan, 7 pont
Feladat: 3.66.
Legyenek
A és
B két darab
n×m-es táblázat, melyeknek
minden mezőjében 0 vagy 1 áll. Mindkét táblázatban ugyanannyi
1-es található. Mindkét táblázat minden sorában a számok nem
csökkennek balról jobbra és ugyanez igaz az oszlopokra fentről
lefele. Minden
1≤k≤m esetén, a felső
k sorban álló
számok összege nem kisebb az
A táblázatban, mint a
B-ben.
Bizonyítsuk be, hogy minden
1≤l≤n esetén, a bal szélső
l oszlopban álló számok összege legalább annyi a
B
táblázatban, mint az
A-ban.
A. Kanel, 5 pont
Feladat: 3.67.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző
pontosan egyszer játszott egymással. Győzelemért 1, döntetlenért
0,5, vereségért 0 pont jár. Minden versenyző kiszámolja az általa
legyőzött versenyzők pontjainak összegét és az őt legyőző
versenyzők pontjainak összegét.
(a) Lehetséges-e, hogy minden versenyző esetén az első szám
nagyobb, mint a második?
(b) Lehetséges-e, hogy minden versenyző esetén az első szám
kisebb, mint a második?
AK. Tolpygo, 4+4 pont
Feladat: 3.68.
Bizonyítsuk be, hogy megadható 2001 olyan poliéder, amelyekre
teljesül:
- semely háromnak nincs közös pontja,
- bármely kettőnek van közös határpontja, viszont nincs közös
belső pontja.
A. Kanel, 8 pont
Feladat: 3.69.
Egy kör mentén van néhány doboz, bennük valahány kavics, akár 0 is
lehet. Egy lépésben a következőt tehetjük: az egyik dobozból
kivesszük az összes kavicsot és az óra járásával megegyező irányba
indulva egyesével beletessszük őket a dobozokba.
(a) Tegyük fel, hogy az első lépés után mindig azt a dobozt kell
kiürítenünk, amelyikbe a legutolsó lépés utolsó kavicsa került.
Bizonyítsuk be, hogy néhány lépés után az eredeti helyzetet kapjuk
vissza.
(b) Ha minden lépésben tetszőlegesen választhatunk dobozt,
elérhető-e bármely kiindulási helyzetből az összes lehetséges
elosztás valamilyen megfelelő lépéssorozattal?
V. Gurovic, 4 pont
2001 Junior, 1. forduló, ősz
Feladat: 3.70.
Az
ABCD négyszögben
AD és
BC párhuzamos, az
AB szakasz
egy pontja
K. Párhuzamost húzunk
A-n keresztül
KC-vel és
B-n keresztül
KD-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a két vonal
CD-n metszi egymást.
V. Bugajenko, 4 pont
Feladat: 3.71.
Klotild összeszorozta az első
n pozitív egész számot, Kázmér
pedig összeszorozta az első
m páros pozitív egész számot.
Klotild és Kázmér így ugyanazt kapta eredményül. Bizonyítsuk be,
hogy valamelyikük hibásan számolt.
V. Senderov 4 pont
Feladat: 3.72.
Kolja megtudta, hogy négy azonosnak tűnő pénzérméje közül
kettő hamis. Az is kiderült, hogy a valódi érmék súlya azonos, a
hamisaké is egymással megegyező, viszont a hamisak könnyebbek. Egy
kétkarú mérleggel, két méréssel megbizonyosodhat róla Kolja, hogy
valóban két érméje hamis?
N. Konstantinov 4 pont
Feladat: 3.73.
Egy kelet-nyugati hajózási útvonalon 10 vitorlás szeli a vizet.
Közülük 5 indul keletről, 5 indul nyugatról. Minden hajó mindig
ugyanazzal a sebességgel halad. Ha két hajó találkozik, akkor
mindkettő megfordul és az ellenkező irányban folytatja útját. Hány
ilyen forduló lesz mire az összes hajó kikötőbe ér?
A. Nyikolajev 4 pont
Feladat: 3.74.
A síkon adott legalább négy pont. Ha a pontok bármelyikét
letöröljük, a megmaradó ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus.
Következik-e ebből, hogy a kiindulási ponthalmaz is tengelyesen
szimmetrikus?
A. Sapovalov 4 pont
2001 Senior, 1. forduló, ősz
Feladat: 3.75.
Egy ötszög valamely csúcsából merőlegest bocsátunk a szemközti
oldalra, így kapjuk az ötszög magasságát. Ha egy csúcsot a
szemközti oldal felezőpontjával kötjük össze a mediánt kapjuk.
Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy ötszög mind az öt magassága és
mind az öt mediánja ugyanolyan hosszú, akkor az ötszög szabályos.
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 3.76.
Megadható 1000 szomszédos egész, amelyek között nincs
prímszám, például: 1001!+2, 1001!+3, ..., 1001!+1001. Megadható
1000 szomszédos egész úgy, hogy köztük pontosan 5 prím legyen?
V. Galperin, 4 pont
Feladat: 3.77.
Egy kelet-nyugati hajózási útvonalon 10 vitorlás szeli a
vizet. Közülük 5 indul keletről, 5 indul nyugatról. Minden hajó
mindig ugyanazzal a sebességgel halad, és eddig még nem
találkozott szembe egymással semely két hajó. Ha két hajó
találkozik, akkor mindkettő megfordul és az ellenkező irányban
folytatja útját. Hány ilyen forduló lesz, mire az összes hajó
kikötőbe ér?
A. Nyikolajev 4 pont
Feladat: 3.78.
Egy torta teteje négyzet alakú és ezt olyan csokoládé
háromszöglapok díszítik, amelyeknek páronként nincs közös pontja.
Minden esetben felvágható a torta konvex darabokra úgy, hogy
minden darabon pontosan egy csokiháromszög legyen?
A. Kanel-Belov, 4 pont
Feladat: 3.79.
Egy
8×8-as sakktáblán három színes bástya áll. Bármely
bástya elmozdítható a sorában és oszlopában egy üres mezőre, ha
közben nem ugrik át másik bástyát. Kezdetben a bal alsó sarokban
áll a fehér bástya, a közvetlenül fölötte és a jobb oldalán álló
mezőn áll rendre a fekete és a vörös bástya. Célunk, hogy néhány
lépés múlva a fehér bástya a jobb felső sarokban legyen, a
közvetlenül bal oldalán álló és alatta levő mezőre kerüljön rendre
a fekete és a vörös bástya. Eljuthatunk-e a célhoz, ha közben
végig minden bástyát támadja valamelyik másik?
A. Sapovalov, 4 pont
2001 Junior, 2. forduló, ősz
Feladat: 3.80.
Megadható-e 100 pozitív egész
a1
<
a2
<...<
a100
úgy, hogy
minden
1<k<100 esetén
ak-1
és
ak
legnagyobb közös
osztója nagyobb legyen, mint
ak
és
ak+1
legnagyobb közös
osztója?
A. Sapovalov 4 pont
Feladat: 3.81.
Egy kört
2n ívre oszt
2n pontja,
n>2. Az ívek hossza három
féle lehet, szomszédos ívek hossza különböző. A
2n pontot
felváltva pirosra és kékre színeztük. Bizonyítsuk be, hogy az így
kialakult kék és piros
n-szögek kerülete és területe is
ugyanakkora.
V. Proizvolov 5 pont
Feladat: 3.82.
Egy
(n-2)×n -es tábla minden sorában az 1, 2, ...,
n
számok állnak,
n>2. Minden oszlopon belül a számok különbözőek.
Bizonyítsuk be, hogy ez a táblázat kiegészíthető egy
n×n
-es táblázattá úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban az
1,2,...,n számok szerepeljenek.
S. Mikhajlov 5 pont
Feladat: 3.83.
Egy szabályos
(2n+1) szöget egymást nem metsző átlóival
háromszögekre bontunk,
n>1. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett
háromszögek közül legalább három egyenlő szárú.
R. Zenodarov 5 pont
Feladat: 3.84.
Sándor egy
8×8-as sakktábla valamely mezőjére helyez egy
bástyát. Ezek után egyesével helyez fel további bástyákat. Minden
éppen elhelyezett bástya a korábbiak közül páratlan sokat támad
közvetlenül. Legfeljebb hány bástyát tehet a táblára Sándor?
A. Sapovalov 6 pont
Feladat: 3.85.
Néhány szám áll egymás után sorban. Róbert kiválaszt két olyan
szomszédos számot, melyek közül a bal oldali a nagyobb, kicseréli
őket és mindkettőt megszorozza kettővel. Bizonyítsuk be, hogy
Róbert véges sok ilyen műveletet végezhet egymás után.
A. Sapovalov 8 pont
Feladat: 3.86.
Tudjuk, hogy
2333
egy 101 jegyű szám, melynek első jegye 1.
Hány olyan
2k
alakú szám van, amelynek az első jegye 4, ha
1≤k≤332?
G. Galperin 8 pont
2001 Senior, 2. forduló, ősz
Feladat: 3.87.
Adott a síkon két háromszög, az egyik csúcsai pirosak, a
másiké kékek. Az
O pont mindkét háromszög belsejében van úgy,
hogy az
O pont távolsága a legtávolabbi piros ponttól is kisebb,
mint a legközelebbi kék ponttól. Lehetséges-e, hogy a piros és
kék pontok mind egy körön legyenek?
P. Kozelnyikov, 4 pont
Feladat: 3.88.
Megadható-e 100 pozitív egész
a1
<
a2
<...<
a100
úgy, hogy
minden
1<k<100 esetén
ak-1
és
ak
legkisebb közös
többszöröse nagyobb legyen, mint
ak
és
ak+1
legkisebb
közös többszöröse?
A. Sapovalov 4 pont
Feladat: 3.89.
Egy
8×8-as táblázat mezőiben állnak az 1, 2, 3, ...,
64. Szomszédos számok oldalszomszédos mezőkön helyezkednek el. Az
egy átlóban elhelyezkedő számok összegének mi a lehetséges
legkisebb értéke?
A. Sapovalov, 6 pont
Feladat: 3.90.
Legyen
F1
egy tetszőleges konvex négyszög.
k≥2
esetén úgy kapjuk
Fk
-t
Fk-1
-ből, hogy szétvágjuk egy
átlója mentén, majd az egyik részt megfordítjuk és újra
összeragasztjuk a darabokat. Legfeljebb hány páronként nem
hasonló négyszög lehet az
{
Fk
} sorozatban?
I. Tokareva, 6 pont
Feladat: 3.91.
Legyenek
a és
d pozitív egészek. Tetszőleges pozitív egész
n esetén
a+nd néhány egymás utáni jegye éppen
n.
Bizonyítsuk be, hogy
d 10-nek valamely hatványa.
A. Sapovalov, 7 pont
Feladat: 3.92.
Egy sorban egymás mellett áll 23 doboz. Minden
1≤k≤23
esetén van olyan doboz, amelyben éppen
k golyó van. Egy
lépésben megduplázhatjuk egy dobozban a benne levő golyók számát
úgy, hogy egy olyan dobozból vesszük ki a golyókat, amelyben több
van. Bármely kezdő helyzetből indulva elérhető, hogy a
k-dik
dobozban éppen
k golyó legyen?
R. Zenodarov, 7 pont
Feladat: 3.93.
Egy háromszög csúcsainak koordinátái:
(
x1
,
y1
),
(
x2
,
y2
),
(
x3
,
y3
). Bármely
h és
k egészekre, nem lehet mindkettő 0,
a háromszögnek nincs közös pontja az
(
x1
+h,
y1
+k),
(
x2
+h,
y2
+k),
(
x3
+h,
y3
+k) csúcsú háromszöggel.
(a) Lehet-e a háromszög területe
1
2
-nél
nagyobb?
(b) Legfeljebb mekkora lehet a háromszög területe?
E. Cserepanov, 3+6 pont
2002 Junior, 1. forduló, tavasz
Feladat: 3.94.
Adott két pozitív egész
a<b. Egyértelműen meghatározható-e
a és
b, ha tudjuk, hogy egy
49×51-es és egy
99×101-es tábla is lefedhető
a×b méretű téglalapokkal?
S. Doricsenkó 4 pont
Feladat: 3.95.
Van-e olyan háromszög, amely felvágható 4 konvex sokszögre:
egy-egy 3, 4, 5, és 6 szögre?
A. Zaszlavszkij 5 pont
Feladat: 3.96.
Legyenek
x és
y pozitív egészek. Tudjuk, hogy
x2
+xy+
y2
osztható 10-zel. Bizonyítsuk be, hogy osztható 100-zal is.
V. Proizvolov 5 pont
Feladat: 3.97.
Az
ABCD négyszög minden oldala érint egy kört. Az érintési
pontok az
AB,
BC,
CD,
DA oldalakon rendre
K,
L,
M és
N. Legyen
S a
KM és
LN szakaszok metszéspontja.
Bizonyítsuk be, hogy ha
SKBL húrnégyszög, akkor
SNDM is
húrnégyszög.
A. Akopjan 5 pont
Feladat: 3.98.
(a) Adott 128 érme, súlyuk kétféle lehet, mindkettő fajtából 64
van. Hogyan választható ki két különböző súlyú érme egy kétkarú
mérleggel, ha legfeljebb 7-szer mérhetünk? (b) Adott 8 érme,
súlyuk kétféle lehet, mindkettő fajtából 4 van. Hogyan
választható ki két különböző súlyú érme egy kétkarú mérleggel, ha
legfeljebb 2-szer mérhetünk?
A. Sapovalov 3+3 pont
2002 Senior, 1. forduló, tavasz
Feladat: 3.99.
Legyenek
x és
y pozitív egészek. Tudjuk, hogy
x2
+xy+
y2
osztható 10-zel. Bizonyítsuk be, hogy osztható
100-zal is.
V. Proizvolov 4 pont
Feladat: 3.100.
Az
ABC és
A'B'C' háromszögek egybevágóak, de ellentétes
körüljárásúak. Bizonyítsuk be, hogy az
AA',
BB' és
CC'
szakaszok felezőpontjai egy egyenesen vannak.
V. Bugajenko, 5 pont
Feladat: 3.101.
Van 6 különböző súlyú sajtunk. Bármely kettő közül tudjuk,
melyik a könnyebb. Ismert, hogy valamely három sajt összesen
ugyanolyan súlyú, mint a másik három. Hogyan választható ki ez a
két hármas csoport, ha egy kétkarú mérleggel kétszer mérhetünk?
A. Sapovalov, 5 pont
Feladat: 3.102.
Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasábot szeretnénk egymást
nem fedő, különböző méretű szabályos háromszögekkel becsomagolni.
A hasáb élei mentén a háromszögeket meghajthatjuk.
L. Emelianov, 6 pont
2002 Junior, 2. forduló, tavasz
Feladat: 3.103.
Legyenek
a,b,c egy háromszög oldalai. Bizonyítsuk be, hogy
V. Senderov, 4 pont
Feladat: 3.104.
Egy
23×23-as táblán a következő játékot játszuk. A kezdő
játékosnak két fehér figurája van, amelyek kezdetben a bal alsó
és jobb felső sarokban vannak. A második játékosnak két fekete
figurája van, amelyek kezdetben a jobb alsó és bal felső sarokban
vannak. A játékosok felváltva lépnek. Minden lépésben a soron
következő játékos a saját figurái közül valamelyiket az éppen
elfoglalt mezőjének valamely üres oldalszomszédjára tolhatja. A
kezdő játékos nyer, ha két figurája oldalszomszédos mezőkre kerül.
Megakadályozhatja-e a második játékos, hogy az első győzzön?
E. Zinin, P. Kozelnyikov, 4 pont
Feladat: 3.105.
Az
ABCD konvex négyszög
BC és
CD oldalainak felezőpontjai
rendre
E és
F. Az
AE,
AF és
EF szakaszok
ABCD-t négy
háromszögre vágják, ezek területeinek mérőszámai szomszédos
pozitív egészek. Határozzuk meg, legfeljebb mekkora lehet a
BAD
háromszög területe.
S. Sesztakov, 6 pont
Feladat: 3.106.
Egymás mellett sorakozik
n lámpa, néhány világít. Percenként a
világító lámpák elalszanak és azok az eddig nem égő lámpák,
amelyeknek pontosan egy szomszédjuk égett, kigyulladnak. Mely
n
esetén létezik olyan helyzet, ahonnan indulva mindig égni fog
legalább egy lámpa?
A. Gorbacsov, 7 pont
Feladat: 3.107.
Egy hegyesszögű háromszöget egy egyenes két részre vág, ezek
nem feltétlenül háromszögek. Az egyik darabot újra szétvágjuk egy
egyenes mentén és így tovább. Néháy vágás után észrevettük, hogy
minden darabunk háromszög. Lehet-e mindegyik tompaszögű?
G. Galperin, 7 pont
Feladat: 3.108.
Pozitív egészek szigorúan monoton növekedő sorozatában a 2002-dik
elemtől kezdve minden elem osztója az előtte levő elemek
összegének. Bizonyítsuk be, hogy valahonnan kezdve minden elem
éppen az őt megelőző elemek összege.
A. Sapovalov, 7 pont
Feladat: 3.109.
Néhány dominót láncban elhelyeztünk a szokásos szabályok
szerint. Minden lépésben a lánc egy olyan részletét
megfordíthatjuk, amelynek első és utolsó száma azonos. Bizonyítsuk
be, hogy ha két lánc ugyanazokból a dominókból áll és a végeiken
ugyanazok a számok vannak, akkor a fent leírt lépések sorozatával
egyik a másikká alakítható.
A. Sapovalov, 8 pont
2002 Senior, 2. forduló, tavasz
Feladat: 3.110.
Az
ABC háromszögben tg
α, tg
β és tg
γ
egészek. Határozzuk meg, mekkora az értékük?
A. Zaszlavszkij, 4 pont
Feladat: 3.111.
Az
y=
x3
függvény grafikonján van az
A pont, az
y=
x3
+|x|+1 függvény grafikonján van a
B pont. Lehet-e
AB≤
1
100
?
A. Spivak, A. Hacsaturjan, 4 pont
Feladat: 3.112.
Pozitív egészek szigorúan monoton növekedő sorozatában a 2002-dik
elemtől kezdve minden elem osztója az előtte levő elemek
összegének. Bizonyítsuk be, hogy valahonnan kezdve minden elem
éppen az őt megelőző elemek összege.
A. Sapovalov, 5 pont
Feladat: 3.113.
Egy előadás nézői egyetlen sorban ülnek, minden szék foglalt, de
senki sem a saját helyén ül. Egy rendező megkérhet két egymás
mellett ülő embert, hogy cseréljenek helyet, ha egyikőjük sem ül a
saját helyén. Minden kiindulási helyzetből elérhető ilyen
cserékkel, hogy a nézők a saját helyükre kerüljenek?
A. Sapovalov, 5 pont
Feladat: 3.114.
A hegyesszögű
ABC háromszög magasságai
AA',
BB' és
CC'.
Legyenek
OA
,
OB
és
OC
rendre az
AB'C',
BA'C', és
CA'B' háromszögek beírt köreinek középpontjai. Az
ABC
háromszög beírt köre az
AB,
BC és
CA oldalakat rendre a
TC
,
TA
és
TB
pontokban érinti. Bizonyítsuk be, hogy a
TA
OC
TB
OA
TC
OB
hatszög szabályos.
L. Emeljanov, 6 pont
Feladat: 3.115.
Egy pakli kártya 52 lapját elrendeztük egy
13×4-es
táblázatban. Bizonyítsuk be, hogy azonos figurák azonos sorban
vannak, ha a táblázat bármely két oldalszomszédos mezőjében álló
kártyák vagy színben, vagy figurában megegyeznek.
A. Sapovalov, 7 pont
Feladat: 3.116.
Vannak-e olyan
a és
b irracionális számok,
a>1,
b>1,
amelyekre
⌊
am
⌋=⌊
bn
⌋ nem
teljesülhet pozitív egész
m és
n számok esetén?
V. Senderov, A. Spivak, 8 pont