2. FEJEZET: Egész rész
Feladat: 2.1. (SM)
(Ausztria, 73). Oldjuk meg az
1-|x+1|=
[x]-x
|x-1|
|
egyenletet!
Feladat: 2.2.
(Anglia, 75). Oldjuk meg a
[13]+[23]+…+[
x3
-13]=400
|
egyenletet a természetes számok halmazán!
Feladat: 2.3.
(Kanada, 81). Mutassuk meg, hogy az
[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345
|
egyenletnek nincs megoldása!
Feladat: 2.4.
(Svájc, 82). Az
n természetes szám minden értékére adjuk meg az
x2
-[
x2
]=
x2
egyenlet
[1;n] intervallumba eső megoldásainak számát!
Feladat: 2.5.
(Ausztria, 74). Mutassuk meg, hogy minden
n természetes számra fennáll az
összefüggés!
Feladat: 2.6.
(Zsűri, Belgium, 79). Mely természetes számok nem állíthatók elő
[n+n+
1
2
] alakban, ahol
n természetes szám?
Feladat: 2.7.
(Jugoszlávia??, 83). Mutassuk meg, hogy az
a1
=2,
an+1
=[
3
2
an
] n∈N
|
összefüggésekkel definiált
an
sorozatban végtelen sok páros és végtelen sok páratlan szám van!
Feladat: 2.8.
(Ausztria-Lengyelország, 79). Keressük meg minden
n∈N számhoz
k∈
Z+
legnagyobb olyan értékét, amelyre a
[(3+11
)2n-1
] szám osztható
2k
-nal!
Feladat: 2.9.
(Zsűri, ??, 79). Mutassuk meg, hogy minden
n természetes szám esetén fennáll az
egyenlőtlenség, de minden
ε>0 értékhez van olyan
n természetes szám, amelyre
Feladat: 2.10.
(USA?, 75).
a) Mutassuk meg, hogy minden nemnegatív
x,
y számra fennáll az
egyenlőtlenség!
b) Igazoljuk, hogy a
(5m)!(5n)!
m!n!(3m+n)!(3n+m)!
|
kifejezés értéke bármely
m,n∈N szám esetén egész!
Feladat: 2.11.
(USA?, 81) Mutassuk meg, hogy az
[nx]≥
[x]
1
+
[2x]
2
+…+
[nx]
n
|
egyenlőtlenség bármely
x≥0 és
n∈N számra teljesül!
Feladat: 2.12.
(??, 83) Mutassuk meg, hogy ha az
a,
b,
c számok olyanok, hogy minden
n természetes számra teljesül az
[na]+[nb]=[nc] összefüggés, akkor
a és
b legalább egyike egész!