5. FEJEZET: Szélsőértékek
Feladat: 5.1.
(NDK, 73).
Adjuk meg az összes olyan pozitív számokból álló
(x;y) számpárt, amelyre az
f(x;y)=
x4
y4
+
y4
x4
-
x2
y2
-
y2
x2
+
x
y
+
y
x
|
függvény értéke maximális, és adjuk is meg
f maximális értékét!
Feladat: 5.2.
(Zsűri, Svájc, 79). Határozzuk meg az
x2
y2
z2
u szorzat maximális értékét az
x, y, z, u≥0, 2x+xy+z+yzu=1
|
feltételek mellett!
Feladat: 5.3.
(NDK, 78; Csehszlovákia, 80). Adottak az
a1
<
a2
<…<
an
valós számok.
Határozzuk meg az összes olyan
x valós számot, amelyre az
f(x)=|x-
a1
|+|x-
a2
|+…+|x-
an
|
|
függvény értéke minimális és adjuk is meg a minimumot!
Feladat: 5.4.
(Zsűri, NDK, 79). Minden rögzített
n≥2 pozitív egész esetén adjuk meg az
x1
x2
…
xn
szorzat minimális és maximális értékét az alábbi feltételek mellett:
xi
≥
1
n
(i=1, 2,…,n),
x1
2
+
x2
2
+…+
xn
2
=1!
|
Feladat: 5.5.
(Zsűri, Svájc, 79).
Adott az
n>2 egész és az
a>0 valós szám. Határozzuk meg az
összeg maximális értékét az alábbi feltételek mellett:
xi
≥0 (i=1, 2,…,n),
x1
+
x2
+…+
xn
=a.
|
Feladat: 5.6.
(???, 79). Adottak az
a1
<
a2
<…<
an
pozitív számok. Ezek mely
(
b1
;
b2
;…;
bn
) permutációjára lesz maximális a
szorzat?
Feladat: 5.7.
(Csehszlovákia, 63). Írjuk fel
2k-t minden
k pozitív egész esetén két egymáshoz relatív prím szám összegeként úgy, hogy azok szorzata a lehető legnagyobb legyen!
Feladat: 5.8.
(Csehszlovákia, 83). Határozzuk meg minden
n pozitív egészre és minden
a∈[0;n] valós számra az
kifejezés maximumát az
feltétel mellett!
Feladat: 5.9.
(Jugoszlávia, 74).
Néhány pozitív egészről csak annyit tudunk, hogy összegük
n. Legfeljebb mekkora lehet a szorzatuk?
Feladat: 5.10.
(Anglia, 81).
Határozzuk meg
|
12m
-
5n
| minimumát, ha
m és
n pozitív egészek!