8. FEJEZET: Polinomok gyökei
Feladat: 8.1. (SM)
(??, 80). Mutassuk meg, hogy az
polinom
x1
,
x2
gyökeire fennáll az
x1
4
+
x2
4
≥2+2 egyenlőtlenség!
Feladat: 8.2.
(??, 61). Keressük meg az összes olyan
p,
q valós számpárt, amelyre az
x4
+
px2
+q polinomnak négy olyan valós gyöke van, amelyek számtani sorozatot alkotnak!
Feladat: 8.3.
(Anglia, 67). Mutassuk meg, hogy ha az
x2
+px+1 polinom gyökei
α és
β, az
x2
+qx+1 polinom gyökei
γ és
δ, akkor
(α-γ)(β-γ)(α+δ)(β+δ)=
q2
-
p2
.
|
Feladat: 8.4.
(NDK, 70). Mutassuk meg, hogy az
α,
β paraméterek bármely nullától különböző értékeire az
polinom
x1
,
x2
,
x3
gyökeire teljesül az
(
x1
+
x2
+
x3
)(
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
)=-1
|
összefüggés!
Feladat: 8.5.
(Ausztria, 83). Határozzuk meg az
a valós paraméterösszes olyan értékét, amelyre az
polinom
x1
,
x2
,
x3
gyökeire teljesül az
(
x1
-3
)3
+(
x2
-3
)3
+(
x3
-3
)3
=0
|
összefüggés!
Feladat: 8.6.
(Zsűri, Kanada, 82). Mutassuk meg, hogy ha az
a,
b,
c egész paraméterekre a
polinom egyik gyöke a másik kettő szorzata, akkor
2P(-1) osztható a
számmal!
Feladat: 8.7.
(USA?, 77). Igazoljuk, hogy ha
a és
b az
x4
+
x3
-1 polinom gyökei közül kettő, akkor
ab gyöke az
x6
+
x4
+
x3
-
x2
-1 polinomnak!
Feladat: 8.8.
(??, 81). Az
a,
b,
c egész számokról tudjuk, hogy
a>0 és az
ax2
+bx+c polinomnak két különböző gyöke van a
(0;1) intervallumban. Mutassuk meg, hogy
a≥5. Adjunk meg legalább egy
b,
c párt
a=5 esetén!
Feladat: 8.9.
(Csehszlovákia, 67). Az
x4
-
ax3
-bx+c polinom négy gyöke közül három épp
a,
b és
c. Adjuk meg az összes ilyen
a,
b,
c számhármast!
Feladat: 8.10.
(Csehszlovákia, 54). Igazoljuk, hogy az
a,
b komplex számokra pontosan akkor teljesül az
a2
=2b≠0 összefüggés, ha az
x2
+ax+b egyenlet gyökei a komplex számsíkon egy olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög csúcsai, amelynek derékszögű csúcsa a koordinátarendszer origója!
Feladat: 8.11.
(??, 83). A
P(x)=
xn
+
a1
xn-1
+…+
an-1
x+1
|
polinom
a1
,…,
an-1
együtthatói nemnegatív valós számok és a polinomnak
n különböző valós gyöke van. Mutassuk meg, hogy
Feladat: 8.12.
(??, 84). Az
=
axn
-
axn-1
+
c2
xn-2
…+
cn-2
x2
-
n2
bx+b
|
polinomnak pontosan
n pozitívgyöke van. Mutassuk meg, hogy ezek a gyökök mind egyenlők egymással!
Feladat: 8.13.
(??, 83). Lehet-e az
=
x5
-x-1,
x2
+ax+b (a,b∈Q)
|
polinomoknak közös komplex gyöke?
Feladat: 8.14.
(Singapur, 78). Az
n-edfokú
P(x) polinomra és az
a<b valós számokra teljesülnek a
P(a)<0, -P'(a)≤0, P"(a)≤0,…,(-1
)n
P(n)
(a)≤0,
|
P(b)>0, P'(b)≥0, P"(b)≥0,…,
P(n)
(b)≥0,
|
egyenlőtlenségek. Mutassuk meg, hogy a
P polinom valós gyökei az
(a;b) intervallumban vannak!
Feladat: 8.15.
(NDK, 70). Mutassuk meg, hogy bármely pozitív egész
n-re az
fn
(x)=1+x+
x2
2!
+…+
xn
n!
|
polinomnak legfeljebb egy valós gyöke van!
Feladat: 8.16.
(NDK, 69; NDK, 71). Mutassuk meg, hogy ha a
P(x) valós együtthatós
n-edfokú polinomnak nincs valós gyöke, akkor
α bármely értékére a
Q(x)=P(x)+αP'(x)+…+
αn
P(n)
(x)
|
polinomnak sincs valós gyöke.
Feladat: 8.17.
(Lengyelország, 79). Mutassuk meg, hogy
n>1 esetén bármely olyan
n-edfokú
P(x) polinom, amelynek
n különböző gyöke
x1
,
x2
,
…,
xn
teljesíti a
1
P'(
x1
)
+
1
P'(
x2
)
+…+
1
P'(
xn
)
=0
|
összefüggést!
Feladat: 8.18.
(New York, 75). Legyen
P(x) olyan valós együtthatós polinom, amelynek minden gyöke tiszta képzetes szám. Mutassuk meg, hogy a
P'(x) polinomnak is, egy kivételével, minden gyöke tisztán képzetes!
Feladat: 8.19.
(??, 78). Mutassuk meg, hogy a komplex együtthatós, nem azonosan nulla
P,
Q polinomoknak pontosan akkor ugyanazok a gyökei (ugyanakkora multiplicitással), ha az
f(z)=|P(z)|-|Q(z)| függvénynek minden olyan pontban ugyanaz az előjele, ahol értéke nem nulla!