6. FEJEZET: Betűkifejezések

Feladat: 6.1.
[65] A hétfejű sárkányok birodalmában papírcsákót osztogattak. Minden sárkánynak mind a hét fejére raktak egy csákót. Csak egy olyan sárkány volt, amelynek nem jutott mind a hét fejére csákó, csupán a középsőre és a két szélsőre. Hány csákót oszthattak szét a hétfejűek birodalmában? a) Lehet, hogy 143 csákót osztottak szét? Ha igen, hány sárkány volt a birodalomban? b) Lehet, hogy 153 csákót osztottak szét? Ha igen, hány sárkány volt? c) Hány csákót osztottak szét, ha 39 sárkány volt a birodalomban? d) Gyűjtsünk még lehetőségeket! e) Ha s sárkány volt, közülük egynek 4 feje maradt födetlen, tehát az összes lehetséges megoldást magába foglalja ez a kifejezés:

7s-4,

ahol s a sárkányok száma, e magába foglalja ez a kifejezés is:

7(s-1)+3.

Magyarázzuk meg ezt is!
 

Feladat: 6.2.
[65] A következő összefüggések közt vannak olyanok, amelyeket le lehet írni röviden a p=7s-4 képlettel. Jelöljük meg ezeket! a) Gondoltam egy számot ( s), a padszomszédom egy másikat ( p). A padszomszéd számához 4-et adva, az én számom hétszeresét kapjuk. b) Gondoltam egy számot ( s), a padszomszédom egy másikat ( p). A padszomszédom száma 4-gyel kevesebb, mint az én számom hétszerese. c) Gondoltam egy számot ( s), a padszomszédom egy másikat ( p). A padszomszédom számánál 4-gyel kevesebb az én számom hétszerese. d) Gondoltam egy számot ( s), a padszomszédom egy másikat ( p). A padszomszédom számának a hetede az én számomnál 4 7 -del több. e) Egy p hosszúságú fonalból s darab egységoldalú szabályos hétszöget és egy egységoldalú szabályos háromszöget alakítunk ki (a fonalból nem marad semmi). f) Keressünk még olyan összefüggést, melyet meg lehet adni a p=7s-4 képlettel!
 

Feladat: 6.3.
[65] Írjuk fel azt a két számot, amely a természetes számok sorában közvetlenül az n szám előtt van!
 

Feladat: 6.4.
[65] Három egymás után következő természetes szám közül a középső b. Melyik ez a három szám?
 

Feladat: 6.5.
[65] Bizonyítsuk be, hogy a) két páratlan szám összege mindig páros; b) egy páros és egy páratlan szám összege mindig páratlan; c) három egymás utáni egész szám összege mindig osztható 3-mal!
 

Feladat: 6.6.
[65] Melyik a 120-adik 3-mal osztható pozitív egész szám? b) Melyik a 200-adik olyan pozitív egész szám, amely 3-mal osztható számot követ? c) Melyik a 200-adik olyan pozitív egész szám, amely 3-mal osztva 2-t ad maradékul!
 

Feladat: 6.7.
[65] Írjuk fel az n-edik a) 3-mal osztható pozitív egész számot! b) olyan pozitív egész számot, amely 3-mal osztva 1-et ad maradékul! c) olyan pozitív egész számot, amely 3-mal osztva 2-t ad maradékul! d) olyan pozitív egész számot, amely nem osztható 3-mal!
 

Feladat: 6.8.
[65] Írjuk fel az n-edik olyan pozitív egész számot, amely 7-tel osztva 2-t ad maradékul! Mekkora maradékot ad ennek a számnak az 1111-szerese 7-tel osztva? Mekkora maradékot ad ennek a számnak az 1112-szerese 7-tel osztva? Mekkora maradékot ad 7-tel osztva az a szám, amely az előbbi számnál 1000-rel több?
 

Feladat: 6.9.
[65] Milyen sorrendben kell elvégezni az alábbi műveleteket?
4· 32
 
2+3·4 3-4-5
 
5+(-6)+7
 
3·4·5 3+ 42
 
- 52
 
(2+3)· 4 7 -3· 52 +9·4

 

Feladat: 6.10.
Írjuk le minél egyszerűbben! Példa: x kétszeresének és x felének a különbsége: 2x- 1 2 x= 3 2 x=1,5x. a) a felének és másfélszeresének összege: b) b felének a másfélszerese: c) ha c -ből elvesszük a harmadát, a maradék felét vesszük és kidobjuk annak harmadát, akkor ennyi marad: d) ha d1 ötszörösének és d2 ötszörösének különbségét elosztjuk d1 és d2 különbségével, akkor ennyi a hányados: e) e 20%-ának a 25%-a: f) ha f-nek elveszett a 30%-a, de a maradék 10%-kal nőtt, akkor most ennyi van:
 

Feladat: 6.11.
Keressük meg a szöveges feladatokhoz a nekik megfelelő egyenletet vagy egyenleteket! a) Az üdítő árának harmada az üveg ára, a folyadék pedig 100 Ft. Mennyibe kerül az üdítő? ( x-szel jelöljük az üdítő árát)
a 1 ) 1 3 x=100
 
a 2 ) x- 1 3 =100
 
a 3 ) x- 1 3 x=100
 
a 4 ) 2 3 x=100


b) Az osztály tanulóinak 20%-a hiányzik, a jelen levők 60%-a lány, a fiúk pedig mind a nyolcan barna hajúak. Mennyi az osztálylétszám? (Jelöljük az osztálylétszámot a-val!)
b 1 ) 4 10 · 4 5 a=8
 
b 2 ) 0,2a-0,6a=8
 
b 3 ) a-0,2a-0,6a=8
 
b 4 ) (a-0,2a)-0,6(a-0,2a)=8
 
b 5 ) a- 20 100 · 4 100 a=8


c) A gondolt számból egyharmadot levonva a gondolt szám felénél 20%-kal nagyobb számot kapok. (Legyen a gondolt szám y!)
c 1 ) 2 3 y= 1 2 y+ 20 100
 
c 2 ) 2 3 y= 1 2 y+ 20 100 y
 
c 3 ) y- 1 3 = 1 2 y+ 20 100 y
 
c 4 ) y- 1 3 = 1 2 y+ 20 100 · 1 2 y
 
c 5 ) y- 1 3 = 6 5 ·12y
 
c 6 ) y-0,3=0,5y+0,2y
 
c 7 ) y-0,3=1,2·0,5y

 

Feladat: 6.12.
[65] Hogyan írjuk le? a) A 6-ot szorozzuk meg a 3 négyzetével, ebből vegyük el 5 és 7 szorzatának a négyzetét, majd az így kapott számot szorozzuk meg 6 és 9 összegével. b) (-4) és 8 összegének négyzetét adjuk össze (-6)-tal, ebből vegyük el 7 és 9 szorzatát, az eredményt osszuk el 11-gyel.
 

Feladat: 6.13.
[65] Adjuk meg betűkifejezéssel a kívánt értéket! a) Az egyik zsebemben x Ft van, a másikban 10 Ft-tal több, a harmadikban pedig kétszer annyi, mint a másodikban. Összesen mennyi pénz van a három zsebben? b) Egy téglalap egyik oldala x cm, a másik oldal y méter. Hány cm a téglalap kerülete? Hány cm 2 a területe? c) Egy raktárban x tonna áru van. Hétfőn elvisznek innen y tonna árut, kedden 10 tonnával többet, szerdán 4-szer annyit, mint kedden. Mennyi áru marad a raktárban? d) Péternek x, Palinak y Ft-ja volt, amikor leültek kártyázni. Az első órában Péter 20 Ft-ot nyert Palitól, a második órában viszont Pali elnyerte Péter (megnövekedett) vagyonának felét. Kinek mennyi pénze volt a játék végén? e) Zsófinak c testvére van. Születésnapjára mindegyik testvére egy-egy tortát sütött neki. A születésnapi zsúron részt vettek a testvérei, a szülei és rajtuk kívül még d osztálytársa is. Mennyi torta jutott egy-egy résztvevőre, ha egyenlően osztották szét a tortákat?
 

Feladat: 6.14.
[65] Mikor a házasságot kötik, a menyasszony legyen 7 évvel idősebb, mint a vőlegény életkorának fele. - ezt kívánja a néphit. a) 30 éves vőlegényhez hány éves menyasszony való? b) 30 éves menyasszonyhoz hány éves vőlegény való? c) v éves vőlegényhez hány éves menyasszony való? d) m éves menyasszonyhoz hány éves vőlegény való?
 

Feladat: 6.15.
[65] Mit jelentenek az alábbi betűkifejezések?
a+bc
 
a-(b+c)
 
a-b+c
 
(a+b)·c
 
a-b-c
 
5 ab2
 
a-b(a+2b)
 
(a+2+ b c )· c a
 
-(a+b)
(ab-(c+d )2 )·a-(a+b)·ac+ ac2 b
 

Feladat: 6.16.
Számítsuk ki a kifejezések helyettesítési értékét a megadott x értékeknél!
 

Feladat: 6.17.
Megadtuk az alábbi kifejezések négy-négy helyettesítési értékét. Melyik számot helyettesíthettük be?
 

Feladat: 6.18.
[65] Végezzük el az összevonásokat!

d 6 + d 12 + d 7 +5+ d 2 +4=d

 

Feladat: 6.19.
Válogassuk külön az egynemű kifejezéseket!

	a)	x,	1 x ,	-3x,	x 5 ,	x3 ,	23,	5y
	b)	x,	xy,	y2 ,	2y·5y,	xy 3 ,	17 y2 ,	x y

 

Feladat: 6.20.
Végezzük el az összevonásokat, ahol lehet!
a) 2y-3y+10y- y 2
 
b) 22y-3x+11y- x 3 -(-y)
 
c) 2y-3·x·y+2xy-10y- yx 2
 
d) a2 -3·a·x+ a 3 x+ a2 4 - x 2

 

Feladat: 6.21.
Végezzük el a szorzásokat, ahol lehet. Egyszerűsítsük a kapott kifejezést.
a) (2b)·7
 
b) 3·(4x)
 
c) 7· y 2
 
d) 8· 3a 4
 
e) 3·(2x)·4

 

Feladat: 6.22.
Számítsuk ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a megadott helyen! a) 8-7a+3a+11-(-a)+5a, ha a=3,1415926. b) 7b-4b+(-2b)+2-(3b)+b+4, ha b= 11 41 . c) 32 7 c-2c-5+ 6 14 c+7, ha c= 31 3 . d) 28 5 ·d·e- 7 3 d-5e+ 4 10 ed+e+ 7 2 d- 2 12 d+4e-d, ha d= 31 3 ,e= 6 31 .
 

Feladat: 6.23.
[65] Írjuk fel egyszerűbb alakban: a) a+b+a+c+4a+2c b) 5x·7
 

Feladat: 6.24.
[65] Gondoltam egy számot. Hozzáadtam még annyit és még 23-at, aztán az eredményt elosztottam 3,5-del, és még 7-et elvettem belőle, így maradt 13. a) Jegyezzük le a szöveget egyenlettel! b) Szemléltessük a szöveget összekapcsolt gépekkel! c) Találjuk ki a gondolt számot!
 

Feladat: 6.25.
[65] a) Mi a gondolatolvasó trükk nyitja? Gondolj egy egész számot, vedd háromszor, adj hozzá ötöt, vedd az eredmény felét, vonj ki nyolcat! Mondd meg, mit kaptál, és én kitalálom, mire gondoltál! b) Szerepelhet-e bármiféle egész szám az eredmények közt? Próbáljuk ki, lehet-e az eredmény például 1! c) Jelöljük a gondolt számot g-vel, és írjuk fel, milyen műveleteket végeztünk vele! d) Milyen számok lehetnek az eredmények közt és milyenek nem? e) Milyen negatív egész számok lehetnek az eredmények közt? Milyen számra kell gondolni ahhoz, hogy az eredmény
f) pozitív
 
g) negatív egész
 
h) tört
szám legyen?
 

Feladat: 6.26.
[65] Gondoltam egy számot, hozzáadtam 1-et, az eredményt megszoroztam 3-mal, elvettem belőle 2-t, az eredményt megszoroztam 5-tel, elvettem belőle 4-et, az eredményt megszoroztam 2-vel, hozzáadtam 3-at, és 35-öt kaptam. Mire gondoltam? Az egyenlet felírásakor ügyeljünk arra, hogy minden nyitó zárójelnek legyen záró párja, és minden záró zárójelnek legyen nyitó párja. a) Írjuk fel a feladatot egyenlettel! b) Mi is felírtunk egy egyenletet a feladathoz. Vessük ezt össze a saját egyenletünkkel és keressük meg a megoldást: \ ? g        ( ((g+1)·3-2 )·5-4 )·2+3=35
 

Feladat: 6.27.
[65] Mennyi az n oldalú konvex sokszögben a) az egy csúcsból húzható átlók száma; b) az összes átló száma; c) a belső szögek összege; d) a külső szögek összege?
 

Feladat: 6.28.
[65] Egy számot b-vel osztva a hányados 7, a maradék 3. Melyik ez a szám? Mennyi a szám, ha b=8; és ha b=12?
 

Feladat: 6.29.
[65] Egy városban e számú ember lakik. Hány lakosa lesz a városnak egy év múlva, ha a lakosainak a száma egy év alatt 5%-kal nő?
 

Feladat: 6.30.
[65] A b nagyobb, mint az a. a) Írjuk fel azt a számot, amelyik a és b között a számegyenesen középen van! a) Írjuk fel azt a számot is, amely a és b között van, és a-tól negyed annyira van, mint b-től!
 

Feladat: 6.31.
[65] a) Egy szép nyári reggel egy légy így röpködött a versenyfutópályán: először a célvonaltól repült a starthely felé, és eljutott a pálya feléig, aztán visszafordult, és a célvonal felé repült 25 métert, majd továbbröpült: a célvonaltól való távolságának az 1 5 -ét tette meg a célvonal irányába. Itt pihent meg egy faágon, amely 300 méterre volt a célvonaltól. Hány méteres a futópálya? b) A futópályás feladat Attila és Botond között nagy vitát váltott ki, ugyanis Attila ezzel az egyenlettel akarta megoldani a feladatot ( f jelöli a futópálya hosszát):

f 2 -25- 1 5 · f 2 -25=300

Botond azt erősítgette, hogy ez az egyenlet nem vezet el a feladat megoldásához. Kinek volt igaza?
 

Feladat: 6.32.
[65] Mondjunk szöveget ezekhez az egyenletekhez, és oldjuk is meg őket! a) ( ( 3x+2 4 -2)·3+1 2 -1)·2+3=11 b) 3x+2:4-2·3+1:2-1·2+3=11 c) A b) egyenlet érdekessége, hogy ha ügyesen helyezünk el benne zárójeleket, akkor ehhez is ugyanaz a szöveg tartozhat, mint az a) egyenlethez. Próbáljunk így elhelyezni zárójeleket!
 

Feladat: 6.33.
Hány forintot fizettem összesen, ha a darab százforintost, b-darab tízforintost és c darab egyforintost adtam?
 

Feladat: 6.34.
n nap, o óra, p perc és m másodperc összesen hány
a) perc?
 
b) másodperc?

 

Feladat: 6.35.
Ha a∈{1,2,…,9} és b∈{0,1,2,…,9} akkor ab ‾ azt a kétjegyű számot jelöli, melynek első jegye a, a második jegye b. Ha a és b konkrét szám, pld a=2, b=3 akkor nem 23 ‾ -at, írunk, hanem csak 23-at. A felülhúzás azért kell, hogy ne keverjük össze az a·b szorzatot az ab ‾ kétjegyű számmal. Az ab ‾ -nek megfelelő algebrai kifejezés a 10a+2, pld 23=2·10+3. Írjuk fel az
a) abc ‾
 
b) aba ‾
 
c) abcd ‾
 
d) abab ‾
 
e) abcabc ‾
számnak megfelelő algebrai kifejezést! Mutassuk meg, hogy tetszőleges a, b ( c) számjegyek esetén
f) 101∣ abab ‾
 
g) 13∣ abcabc ‾

 

Feladat: 6.36.
Írjuk fel az
a) ötös
 
b) hatos
számrendszerben abc ‾ alakban írható szám értékét!
 

Feladat: 6.37.
a) Mutassuk meg, hogy bármely négyjegyű számból kivonva számjegyeinek összegét, eredményül mindig 9-cel osztható számot kapunk! Igaz-e, hogy bármely négyjegyű számból kivonva számjegyeinek összegét, eredményül mindig
b) 7-tel
 
b) 3-mal
 
c) 11-gyel
osztható számot kapunk?
 

Feladat: 6.38.
Alább néhány ismerős képletet adunk meg és megadjunk néhány változó értékét is. Számítsuk ki a kihagyott változó értékét! a) s=v·t, v=12 m sec , t=7sec, s=? b) s=v·t, v=12 m sec , s=3km, t=? c) s=v·t, s=3km, t=50sec, v=? e) k=2rπ, r=5cm, k=? f) k=2rπ, k=5cm, r=? g) V= a3 , a=5cm, V=? h) V= a3 , V=512 m3 , a=?
 

Feladat: 6.39.
[69] Alább ismerős képleteket olvashatók, amelyek síkidomok kerületét, területét, illetve testek felszínét, térfogatát adják meg. Határozzuk meg hogy az egyes képletek mely idom melyik mennyiségének kiszámolását adják meg! Fejezzük ki a különböző változókat a többi segítségével a képletből! (Pld a t=ab képlet a téglalap területét adja meg. Ebből a= t b , b= t a .) a) k=3a; a=? b) k=2(a+b); a=?, b=? c) t= a· ma 2 ; a=?, ma =? d) t= (a+c)·m 2 ; a=?, m=? e) A=2 a2 +4ab; b=? f) A=2(ab+bc+ca); a=? g) V= a2 m; m=? h) V=abc; a=?