13. FEJEZET: Egyenletek I.

Feladat: 13.1.
Oldjuk meg fejben az alábbi egyenleteket!

	a)	5000-(2000+x)=1996	x=   ?
	b)	5000-(y-4)=1996	y=   ?

 

Feladat: 13.2.
[65] Milyen x értékekre igazak a következő egyenletek? a) ((6·x-4·x)·3+2 )·4-28=28 b) (5·x+x)·5-6 3 ·2=28
 

Feladat: 13.3.
Az alábbi egyenletek közül melyeknek megoldása x=1 és melyeknek x=-2?
a) 3x+7=-x-1;
 
b) x2 +x=2;
 
c) 2-3x x+6 =x+4;
 
d) x2 -2x=0;
 
e) x2 -x=0;
 
f) 2-3(3-5x)=4(1+2x)-(11-7x).

 

Feladat: 13.4.
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
a) 8·x-3=x+11;
 
b) 3-5·x=x+33;
 
c) 5·x-7=3·x-1;
 
d) 7-3·x=3-7·x;

 

Feladat: 13.5.
Színezzük a számegyenest! Legyenek pirosak, zöldek illetve kékek azok a pontok, amelyekre az alább megadott kifejezés értéke pozitív, nulla illetve negatív.
a) x-2
 
b) 2x+1
 
c) (x-2)·(2x+1)
 
d) 3-2x
 
e) (3-2x)·(2x+1)
 
f) 3-2x 2x+1
 
g) x2
 
h) x2 -x

 

Feladat: 13.6.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) 9x-1-(3x+2)=3x+3 b) 17x-6-(6x+2)=3x+8 c) 25x-11-(9x-2)=4x+3 d) 8·x-2=(x+11)·11 e) 11·(8x-3) 7 =(x+11)·11
 

Feladat: 13.7.
[65] Egy háromszög legnagyobb, illetve legkisebb szöge 4∘ -kal nagyobb, illetve 13∘ -kal kisebb a középsőnél. Melyik szög hány fokos?
 

Feladat: 13.8.
[65] Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének a különbsége 36∘ . Mekkorák ezek a szögek?
 

Feladat: 13.9.
[65] Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 21∘ -kal kisebbek a csúcsnál lévő szögnél. Határozzuk meg a háromszög szögeinek nagyságát!
 

Feladat: 13.10.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) 5x-(x+8)=2(x+20) b) 30-(2x-5)+3(x-8)=0 c) x-3(x-2)=100 d) 2x-5(x-3)+42=0 e) 12(x+2)=7(2x+1)-3 f) 30(x-7)-56(5-x)=26
 

Feladat: 13.11.
[65] 10 évvel ezelőtt az apa 6-szor idősebb volt a fiánál. 10 év múlva már csak kétszer lesz nála idősebb. Hány évesek most?
 

Feladat: 13.12.
[65] Diophantosz, a III. században élt híres alexandriai matematikus sírkövén a következő felirat állt: Itt nyugszik Diophantosz. Mily csoda! Sírköve is még

Nagy tudományával hirdeti élte korát,

Egyhatodát gyermekkornak rendelte az isten.

Orcájára pehelyt tett feleannyi [A ,,feleannyi" így értendő: élte egyhatodának fele.] után.

Eltelt egyheted [az ,,egyheted" így értendő: élte egyhetede] és fáklyát gyújtott lakodalmán,

Múlik öt év, s fiúval áldja meg ekkor a nászt.

Jaj, későn született, jaj, vézna fiú! Feleannyit

éltél, mint apád, s máris a máglya emészt.

Négy évig gyászát tudománnyal csillapította.

S élete hosszát ím: - Látod e bölcs sorokon. LÁTOD?
 

Feladat: 13.13.
[65] 10 liter 20%-os alkoholhoz hány liter 50%-os alkoholt öntsünk, ha 30%-os alkoholt szeretnénk kapni?
 

Feladat: 13.14.
[65] Egy osztályban a fiúk és a lányok aránya 3:4. Ha kihívunk 3 fiút és 5 lányt, az arány 4:5-re változik. Hány fiú és hány lány jár ebbe az osztályba?
 

Feladat: 13.15.
[65] Egy pozitív egész szám háromszorosa nagyobb, mint 26; kétszerese kisebb, mint 20. Melyik ez az egész szám?
 

Feladat: 13.16.
[65] Egy pozitív egész számhoz négyet adva a kétszeresénél kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám?
 

Feladat: 13.17.
[65] Oldjuk meg egyenlet felírásának segítségével a következő feladatokat! a) Egy 1 2 kg-os kávésdoboz kétféle kávéval van tele: 20 dkg 770 Ft-os [értsd: kilónként 770 Ft-os] kávé van benne, és 30 dkg másik féle. Mennyibe kerül 1 kg a másik kávéból, ha a kávékeverék kilója 860 Ft? b) Kétféle kekszből akarnak 50 kg kekszkeveréket csinálni úgy, hogy annak kg-ja 720 Ft legyen. Mennyit tegyenek bele az egyik fajta és mennyit a másik fajta kekszből, ha az egyikből 900 Ft-ba, a másikból 600 Ft-ba kerül 1 kg? c) 200g 8,3 g cm3 sűrűségű sárgarezet akarnak készteni 8,8 g cm3 sűrűségű rézből és 7,2 g cm3 sűrűségű cinkből. Mennyi réz és mennyi cink kell hozzá?
 

Feladat: 13.18.
[65] Karcsi 8 éves. Károly 4-szer annyi idős, mint Karcsi. Mikor lesz vagy volt Károly 2-szer, 3-szor, 5-ször annyi idős, mint Karcsi?
 

Feladat: 13.19.
[65] Három évvel ezelőtt az apa 7-szer idősebb volt a fiánál. Öt év múlva már csak 3-szor lesz nála idősebb. Hány évesek most?
 

Feladat: 13.20.
[65] Amikor B kétszerannyi idős volt, mint C, akkor A 6 éves volt. Most, amikor C 21 éves, B életkora épp kétszerese A életkorának. Melyikük hány éves?
 

Feladat: 13.21.
[65] Péter és Zoli ketten vannak testvérek. Zoli születésekor anyjuk 4-szer, apjuk 5-ször annyi idős volt, mint Péter. Az apa 45-ötödik születésnapján a család átlagos életkora 25 év. Ki hány éves akkor?
 

Feladat: 13.22.
[65] Egy négyjegyű szám első jegye 2. Ha ezt a kettest töröljük és a szám végére írjuk, 63-mal nagyobb számot kapunk. Mi volt a négyjegyű szám, és mi lett belőle?
 

Feladat: 13.23.
[65] Egy négyjegyű szám első három számjegye megegyezik. Jegyeinek összege 30. Ha hozzáadunk 1998-at, egy másik négyjegyű számot kapunk. A két négyjegyű számnak ugyanazok a jegyei, de ellentétes sorrendben. Mi az eredeti szám?
 

Feladat: 13.24.
[65] Egy háromjegyű szám jegyeinek összege 6. Kivontuk belőle azt a számot, amit úgy kaptunk, hogy a jegyeket fordított sorrendben írtuk. 100-nál kisebb számot kaptunk. Mi lehetett az eredeti háromjegyű szám?
 

Feladat: 13.25.
[65] A és B falu egy út mentén helyezkedik el. Az A faluból és a B faluból reggel 8-kor egyszerre indul egy irányban két autó. Az A faluból induló autó sebessége 80  km h , a B faluból indulóé 60  km h . 9-kor háromszor akkora a két autó távolsága, mint fél 11-kor. Milyen messze van egymástól a két falu? Hány órakor találkozik a két autó? (Feltételezzük, hogy az autók egyenes vonalú egyenletes mozgással haladtak.)
 

Feladat: 13.26.
[65] A városból C városba 7 órakor 70  km h sebességgel indult egy vonat. Egy szembejövő vonat C-ből fél 10-kor indult B felé 80  km h sebességgel. 15 óra 10 perckor találkoznak. Ezt megelőzően mikor volt a távolságuk 30 km?
 

Feladat: 13.27.
[65] Otthonról egy közeli üdülőtelepre gyalog 4  km h sebességgel mentem. Visszafelé ugyanazon az úton kerékpárral 15  km h sebességgel haladtam. Visszafelé 2 óra 12 perccel rövidebb idő alatt tettem meg az utat, mint odafelé. Milyen messze van a házunktól az üdülőtelep?
 

Feladat: 13.28.
[65] Egy 100 km-es úton kerékpárral indult el Bendegúz. Útközben elromlott a kerékpárja, és így onnan kezdve, a 20  km h sebesség helyett, 4  km h sebességgel gyalogolt, s így 9 óra alatt ért célba. Hol romlott el a kerékpárja?
 

Feladat: 13.29.
[65] Két tengerparti város egymástól 180 km-re van. Egyikből a másikba kétféleképpen lehet eljutni: 8 órát hajóval és utána 2 órát busszal, vagy 3 órát hajóval és utána 3 órát busszal. Mennyi a hajó sebessége, mennyi a buszé? (A hajó sebessége mindkét alkalommal ugyanaz, a buszé szintén.)
 

Feladat: 13.30.
[65] Egy tartályba 3 cső vezet. Az egyikkel 15 perc alatt lehet megtölteni, a másikkal 20 perc alatt, a harmadikkal 30 perc alatt. Mennyi idő alatt telik meg, ha egyszerre mindhárom csőből folyik a víz? (Feltételezzük, hogy a csapok egyenletes sebességgel töltik a tartályt.)
 

Feladat: 13.31.
[65] Ibolya, Margit és Róza kukoricát morzsolnak. Ibolya 6 óra alatt morzsolná le az összes kukoricát, Margitnak ehhez 3 óra, Rózának 4 óra kellene. Mennyi idő alatt végzik el a munkát hárman együtt? (A munkavégzéses feladatokban feltételezzük, hogy azonos idő alatt a munkavégző azonos munkát végez és mindig egyenletes sebességgel.)
 

Feladat: 13.32.
[65] Egy medencébe 2 csőből folyhat a víz. A kettő együtt 30 perc alatt tölti meg a medencét. Egy alkalommal 6 percig mindkét csapból folyt a víz, utána az egyiket elzárták, és még 40 perc telt el, mire a másik csap megtöltötte a medencét. Mennyi idő alatt lett tele a medence, ha csak az egyik vagy csak a másik csap van nyitva?
 

Feladat: 13.33.
[65] Egy munkát Andor és Béla 4 óra alatt csinál meg. Béla és Cecil 3 óra alatt, Cecil és Andor 6 óra alatt. Mennyi idő alatt csinálja meg Andor egymagában? Mennyi idő alatt Béla? Mennyi idő alatt Cecil?
 

Feladat: 13.34.
[65] A következő feladatokban mindegyik szöveghez több egyenletet, egyenlőtlenséget, táblázatot adunk meg, de köztük vannak hibásak is. Keressük ki a jókat! Mondjuk meg, mit jelöl az ismeretlen, és oldjuk meg a feladatot!
a)Egy négyjegyű szám első és utolsó jegye megegyezik. A második jegye egyenlő a harmadikkal és néggyel nagyobb a szélső jegyeknél. Ha 19-cel elosztjuk a számot, a hányados 315 lesz, a maradék pedig a négyjegyű szám első jegyének a kétszerese. Mi lehet a négyjegyű szám?

1000x+100x+4+10x+4+x =315·19+2x       (0.1) 1000x+100·(x+4)+10·(x+4)+x 19 =315+x       (0.2) 1000x+100·(x+4)+10·(x+4)+x =5985+2x       (0.3)

b)Mi lehet az az 1-nél kisebb (két egész szám hányadosaként felírt) tört, amelynek az értéke 1-re változik, ha a számlálóját 10-zel elosztjuk, a nevezőjéből pedig 100-at kivonjuk.

x·10 x+100 <1       (0.4) x 10 <x-100       (0.5) x·10<x+100       (0.6)

(A kapott tört számlálóját, és a vele megegyező nevezőjét jelöljük x-szel, amely egész szám.) Gondoljuk meg, hogy x miért egész szám!
c)Mekkorák a háromszög szögei, ha az első szög kétszeresénél 10∘ -kal nagyobb a második, a harmadik szög pedig 22∘ -kal kisebb a másodiknak a háromszorosánál.

x+2x+10+3x-22 =180       (0.7) x+2x+10+6x+10-22 =180       (0.8) x+2x+10+6x+22 =180       (0.9) x+2x+10+6x+30-22 =180       (0.10)

d)Hat géprónő nyolc napra vállal el egy munkát. A hatodik napon közbejött akadályok miatt egyikük sem tud dolgozni. Hány géprónőt kell még az utolsó két napra a munkába bevonni, hogy mégis nyolc nap alatt elkészüljenek. (Mindegyik géprónő minden nap ugyanannyi oldalt ír.)

(6+x)·2 48 + 6·5 48 =1       (0.11) (6+x)·2+6·5 =1       (0.12)

e)Szezonvégi kiárustáskor 2000 egyforma kabát árát leszállÍtották 30%-kal. Csak a kabátok negyedét sikerült eladni. A megmaradt kabátok árát a leszálltott ár 20%-ával fölemelték, és így a következő szezonban mind eladták. Mennyibe került eredetileg a kabát, ha a megmaradt kabátokból a bevétel 3millió 780 ezer Ft volt.

(0,7x+0,2x)·1500 =3780000       (0.13) 1,2·0,7·x·1500 =3780000       (0.14)

f)Egy motorcsónak a folyón lefelé 3 km-t annyi idő alatt tesz meg, mint felfelé 3 km-t. Egy alkalommal lement a folyón 24 km-nyire, majd visszatért kiindulási helyére. A két út menetideje összesen 2,5 óra volt. Mekkora a folyóvíz sebessége és a motorcsónak sebessége állóvízben?

x+a x-a = 2 3       (0.15) 24 x+a + 24 x-a =2,5       (0.16)

g)Egy kocsi egyik kerekének átmérője 60 cm, a másiké 75 cm. Mekkora távolságon fordul a kisebbik kerék 50 híján kétszer annyit, mint a nagyobbik?

x·75·π =(2x-50)·60·π       (0.17) x·75·π =(2x+50)·60·π       (0.18) x·75 =2x·60-50       (0.19) x·60·π =(2x-50)·75·π       (0.20)

 

Feladat: 13.35.
[65] Egy háromszögben a leghosszabb oldal 5 cm-rel kisebb, mint a másik két oldal összege. A két rövidebb oldal közül a kisebbik 10 cm-rel rövidebb, mint a nagyobbik. A háromszög kerülete 39 cm. Mekkorák az oldalak?
 

Feladat: 13.36.
[65] 16-ot úgy kell három részre osztani, hogy ha az elsőből elveszünk 2-t, a másodikat megszorozzuk 2-vel, a harmadikat pedig osztjuk 2-vel, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám?
 

Feladat: 13.37.
[65] Három testvér összesen 1500 forintot kapott az apjától. Az egyiknek volt már 200 forintja, a másik 200 forintot költött el a kapott pénzből, a harmadik a pénz felét költötte el. Ekkor tapasztalták, hogy mindegyiknek ugyanannyi pénze van. Ki mennyit kapott?
 

Feladat: 13.38.
[65] Gondolj egy számot! A kapott számot szorozd meg 6-tal, az eredményhez adj hozzá 24-et, a most kapott számból vedd el a gondolt szám ötszörösét! Mondd meg az eredményt, és én kitalálom mire gondoltál? Hogyan lehetséges ez?
 

Feladat: 13.39.
[65] Gondolj egy számot! A kapott számot szorozd meg 6-tal, az eredményhez adj hozzá 24-et, a most kapott számból vedd el a gondolt szám ötszörösét, ezután az eredményhez adj 12-t, majd vedd el a gondolt számot! Én nem ismerem azt a számot, amire gondoltál, mégis meg tudom mondani a végeredményt. Hogyan lehetséges ez?
 

Feladat: 13.40.
[65] a) Gondoltam egy számot, megszorzom 6-tal, hozzáadok 24-et, majd az eredményből levonom a gondolt szám kétszeresét, és ezután megmondom az eredményt. Hogyan lehet ebből kitalálni, hogy mi volt a gondolt szám? b) Most a gondolt szám felénél kettővel nagyobb számot megszorzom 6-tal, és az így kapott értéket fogom közölni. Ebből hogyan lehet kitalálni, hogy mi volt a gondolt szám?
 

Feladat: 13.41.
[65] Gondoljunk egy számot, szorozzuk meg 2-vel, a szorzathoz adjunk 50-et, a kapott számot osszuk el 2-vel, a hányadosból vegyük el a gondolt számot, és az eredmény 25 lesz. Magyarázzuk meg, hogy miért lesz az eredmény mindig 25, bármely számra gondolunk is!
 

Feladat: 13.42.
[65] Egy tégla tömege 1 kg és egy fél tégla. Milyen tömegű a tégla?
 

Feladat: 13.43.
[65] Két zsebemben együttvéve 100 Ft van. Ha az egyikben levő összeg harmadrészét és még 6 Ft-ot átteszek a másikba, akkor ugyanannyi pénz lesz mindkét zsebemben. Mennyi volt eredetileg mindkét zsebemben?
 

Feladat: 13.44.
[65] Mekkorák az olyan egyenlő szárú háromszög szögei, melyben az alapon levő szög harmadrésze 10 fokkal kisebb a csúcsnál lévő szög felénél?
 

Feladat: 13.45.
[65] Oldjuk meg a következő szöveges feladatokat! a) A jobb zsebemben 39 Ft-tal több van, mint a bal zsebemben. Ha a jobb zsebemben levő pénz felét átteszem a balba, ott kétszer annyi lesz, mint a jobb zsebemben. Mennyi pénz volt a zsebeimben? b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot más adattal, 39 helyett 77-tel! c) Oldjuk meg a feladatot paraméteresen: 39 helyett tetszőleges k-val! d) Most térjünk vissza arra az esetre, amikor a jobb zsebemben 39 Ft-tal van több pénz, mint a balban. Megint átteszem a jobb zsebemben levő pénz felét a balba, de most csak másfélszer annyi lett a balban, mint a jobb zsebemben. Mennyi pénz volt a zsebeimben?
 

Feladat: 13.46.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a) (x-1 )2 = x2 -10
 
b) (x-2 )2 = x2 -20
 
c) (x-3 )2 = x2 +10
 
d) (x+2)(x-3)-(x-1)(x-2)=10

 

Feladat: 13.47.
[65] A 3(x+2)-2(x-1)=5x+16 egyenletben szereplő számok (tehát a 3, 2, 2 ,1, 5, 16) közül egyet megváltoztathatunk, de csak pozitív számot tehetünk a helyére. Más változtatásra nincs lehetőség. El lehet-e érni ilyen módon, hogy a keletkező egyenletnek a) ne legyen megoldása? b) minden szám a megoldása legyen?
 

Feladat: 13.48.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) x- 2x-1 3 =2x-3(5-2x)
 
b) (x+1)(x+2)-(x+3)(x-5)=5x+6
 
c) (x+1 )2 2x-1 - (x-2 )2 2x-1 =3
 
d) x2 +6x=0

 

Feladat: 13.49.
[65] Adjunk meg olyan egyenletet, amelynek a) kettő kivételével minden szám megoldása; b) pontosan három megoldása van!
 

Feladat: 13.50.

2x+1=

Írjunk kifejezést a fenti egyenlet jobb oldalára úgy, hogy a kapott egyenletnek a) minden szám megoldása legyen; b) ne legyen megoldása; A megoldások száma
c) pontosan 1;
 
d) pontosan 2;
 
e) pontosan 3;
 
f) végtelen
legyen, illetve
g) 1 szám;
 
h) 2 szám
kivételével minden szám megoldása legyen.
 

Feladat: 13.51.
Adjunk meg olyan egyenletet, amelynek végtelen sok megoldása van és végtelen sok olyan szám is van, amely nem megoldása!
 

Feladat: 13.52.
Pótoljuk a szöveg lejegyzését törttel és tizedestörttel, illetve találjunk ki a képletnek megfelelő szöveget is!

szöveg	lejegyzés
	törttel		tizedestörttel
x 20% -ából
kidobva a 70%-át marad:		3 10 · 4 5 ·x		0,3·0,8x
y 25%-át 40%-kal növelve
a kapott mennyiség:
z-t csökkentjük a 10%-ával,
majd ez z 20%-ával növeljük:
				1,3·0,7v
				1,3v+0,7v

 

Feladat: 13.53.
Mesebeli János elszegődött egy évre a sárkányhoz 1000 aranyért és egy rend ruháért. Egy hónapi szolgálata után a sárkány felmondott, kiszámította János bérét, és fizetségül csak egy rend ruhát adott, aranyat nem, sőt még János fizetett egy aranyat a sárkánynak. Számítsuk ki hány aranyat ért egy rend ruha!
 

Feladat: 13.54.
[65] Két munkás egy házban lakik és egy üzemben dolgozik. Reggel az idősebb 5 perccel korábban indul, mint a másik. A korábban induló munkás a lakás és az üzem közti távolságot 30 perc alatt teszi meg, fiatalabb lakótársa 20 perc alatt. Hány perc múlva éri utol a fiatalabb az idősebbet?
 

Feladat: 13.55.
[65] Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 13. Ha a számot 12-vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a maradék pedig 2-vel kisebb. Melyik ez a szám?
 

Feladat: 13.56.
[65] Hét jó barát egy kosár diót kap. Ha egyenlően elosztják egymás között, 2 dió megmarad. Jött egy nyolcadik barát is, ha vele megosztoznak, 4 dió marad, és a hét barát mindegyike 7-tel kevesebbet kap, mint előbb. Hány dió volt a kosárban?
 

Feladat: 13.57.
[65] Két egyenlő magasságú gyertyát gyújtunk egyszerre meg. Az első 4, a második 3 óra alatt ég el. (A gyertyák magassága egyenletesen csökken). Hány óra múlva lesz az első gyertyacsonk kétszer olyan magas, mint a második?
 

Feladat: 13.58.
[65] B ezt mondja öccsének: ,,Ha éveim számának kétszereséből levonod kettőnk korkülönbségének felét, 30-cal többet kapsz, mint ha összeadnád éveink számát, és ezt az összeget megfeleznéd." Hány éves B?
 

Feladat: 13.59.
[65] B ezt mondja C-nek: ,,Én most háromszor annyi éves vagyok, mint ahány éves te voltál akkor, amikor én olyan korú voltam, mint te most." C így válaszol: ,,Érdekes, én meg azt vettem észre, hogy amikor én olyan idős leszek, mint te most, akkor te kétszer olyan öreg leszel mint én most" Mit állapíthatunk meg B és C életkoráról?
 

Feladat: 13.60.
[65] Négy szám összege 100. Ha az egyik számhoz 4-et adunk, a másikból 4-et elveszünk, a harmadikat 4-gyel szorozzuk, a negyediket 4-gyel elosztjuk, csupa egyenlő számot kapunk. Melyik ez a négy szám?
 

Feladat: 13.61.
[65] Kovács nagypapa, akinek életkora 50 és 70 esztendő közé esik, a következőket szokta mondani barátainak: ,,Mindegyik gyermekemnek annyi gyermeke van, mint ahány testvére; Gyermekeim és unokáim száma pedig együttvéve annyi, mint életéveimnek száma!" Hány éves a nagypapa?
 

Feladat: 13.62.
[65] Egy háromszög egyik szöge a másik kettő számtani közepe. A két nagyobb szög összege akkora mint a két kisebb szög háromszorosa. Soroljuk fel nagyságrendben a háromszög szögeit!
 

Feladat: 13.63.
[65] Mekkorák az olyan egyenlő szárú háromszög szögei, melyben az alapon levő szög harmadrésze 10∘ -kal kisebb a csúcsnál lévő szög felénél?
 

Feladat: 13.64.
[65] Egy kerékpáros egy bizonyos távolságot 5 óra alatt tesz meg. Ha az út harmadának megtétele után 40 percet kell várakoznia, akkor, hogy lemaradását behozza, az út további részén óránként 4km-rel többet kell megtennie, mint idáig. Mekkora a megteendő út és az eredeti sebessége?
 

Feladat: 13.65.
[65] B-ből C-be 8 órakor indul egy motorkerékpár, C-ből B-be 7 órakor indul egy autó. Az autó sebessége 10 km h -val nagyobb a motorkerékpárénál. 10 órakor távolságuk fele a teljes út hosszának. 12 órakor pedig már csak 60 km-re vannak egymástól. Milyen messze van B helyiség C-től?
 

Feladat: 13.66.
[65] Egy motoros hazafelé menet útépítési munkálatok miatt kerülő úton volt kénytelen menni. Hogy a 8 km-es távolságnövekedést ellensúlyozza, sebességét 2 km h -val megnövelte. Így is a megszokott 30 perc helyett 35 percig tartott. Mekkora utat tett meg a motoros hazafelé?
 

Feladat: 13.67.
[65] A és B távolsága 9 km. A-ból B felé indul egy kerékpáros, és ugyanakkor indul B-ből egy autóbusz A felé (de A-n csak áthalad, jóval rajta túl fog megállni). A két jármű indulás után 10 perccel találkozik, és ezután 10 perccel ismét egyenlő távolságra vannak A-tól. Mekkora a sebességük?
 

Feladat: 13.68.
[65] Ketten lovagolnak egy körpályán. Ha szembe haladnak, akkor 7,5 percenként, ha egy irányba, akkor félóránként találkoznak. Mennyi idő alatt tesz meg egy kört a gyorsabb lovas?
 

Feladat: 13.69.
[65] Két kerékpáros egyszerre indul el egymás felé 6 m s , illetve 8 m s sebességgel. Az elindulásuktól számtott 40-edik és 50-edik másodpercben ugyanakkora lesz az egymástól való távolságuk. Milyen messze voltak egymástól induláskor?
 

Feladat: 13.70.
[65] Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 11. Ha a számhoz 63-at adunk, olyan számot kapunk, amely ugyanazokat a számjegyeket tartalmazza, mint az eredeti, csak fordított sorrendben. Melyik az eredeti szám?
 

Feladat: 13.71.
[65] Egy utat kerékpárral haladva az egyik irányban 20 km h a másik irányban 30 km h sebességgel tettem meg. Összesen 4 órán át kerékpároztam. Mekkora távolságot jártam be?
 

Feladat: 13.72.
[65] Az A-ból B-be vezető 42 km-es út eleinte sík terepen vezet, majd egy meredek kaptató következik. Egy gyalogos, aki a sík részen 6 km h , a kaptatón pedig 3 km h sebességgel haladt, az egész utat 9 óra alatt tette meg. Milyen hosszú az út sík, illetve meredek része?
 

Feladat: 13.73.
[65] Az A-ból B-be vezető 180 km-es vasútvonalra új típusú mozdonyokat helyeztek. Ennek következtében a vonatok átlagsebessége 20%-kal növekedett, a menetidő pedig 45 perccel csökkent. Mekkora a vonatok jelenlegi sebessége?
 

Feladat: 13.74.
[65] Az A-ból B-be vezető 42 km-es út eleinte sík terepen vezet, majd egy meredek kaptató következik. Egy gyalogos, aki a sík részen 6 km/ó, a kaptatón pedig 3 km/ó sebességgel haladt, az egész utat 9 óra alatt tette meg. Milyen hosszú az út sík része, és milyen hosszú a meredek része?
 

Feladat: 13.75.
[65] A C-ből D-be vezető 43  km-es út egy sík és egy meredeken felfelé vívő részből áll. Egy gyalogos, aki felfelé 2  km h , lefelé pedig 6  km h sebességgel haladt, megtette az utat oda is és vissza is. Odafelé 14 órát, visszafelé 8 órát vett igénybe az utazás. Mekkora sebességgel haladt az út vizszintes részén?
 

Feladat: 13.76.
[65] B-ből C-be 8 órakor elindul egy motorkerékpár, C-ből B-be 7 órakor indul egy autó. Az autó sebessége 10  km h -val nagyobb a motorkerékpárénál. 10 órakor a távolságuk fele a teljes út hosszának, 12 órakor pedig már csak 60 km-re vannak egymástól. Milyen messze van B C-től?
 

Feladat: 13.77.
[65] Négy szomszédos páratlan szám közül a két középső szorzatából levontuk a két szélső szorzatát. Eredményül 12-t kaptunk. Mi volt ez a négy szám?
 

Feladat: 13.78.
[65] Négy szomszédos egész szám közül a két középső szorzatából levontuk a két szélső szorzatát. Eredményül 2-t kaptunk. Mi volt a négy szám?
 

Feladat: 13.79.
[65] Milyen x-re igazak a következő egyenletek és egyenlőtlenségek? a) 9x-(7x-(2x+(2x-1)·7)+1)=(9x-7)·8 b) 8x-35 7 - x 7 = 9x-3 3 -4· 25x-40 5 c) 9x-81< 75x-450 4 -3·(7x-8)
 

Feladat: 13.80.
[65] Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelynek az egyik szöge 30 fokkal nagyobb a másiknál, és e két szögének a számtani közepével egyezik meg a harmadik szöge?
 

Feladat: 13.81.
[65] Ha három tanuló ül egy-egy asztalnál, akkor 5-nek nincs helye. Ha azonban négyen ülnének egy-egy asztalnál, akkor az egyik asztalhoz csak három gyerek jutna. Hány asztal van az osztályban és hány gyerek?
 

Feladat: 13.82.
[65] Ha négyszer annyi pénzem lenne, mint amennyi van, akkor 1000 forintnál annyival lenne több pénzem, amennyivel most kevesebb a pénzem 1000 forintnál. Hány forintom van?
 

Feladat: 13.83.
[65] Egy négyjegyű számban az első és a harmadik jegy egyenlő, és a második és a negyedik jegy is megegyezik egymással. A négy jegy összege 20. Ha az egyesek elhagyásával nyert háromjegyű számhoz hozzáadjuk az elhagyott jegyet, 200-at kapunk. Melyik ez a négyjegyű szám? Oldjuk meg a feladatot okoskodással is!
 

Feladat: 13.84.
[65] Két jó barát közül az idősebb 1,3-szer olyan idős, mint a fiatalabb. 15 év múlva a fiatalabb olyan idős lesz, mint az idősebb most. Hány évesek?
 

Feladat: 13.85.
[65] Amikor B 3-szor volt idősebb C-nél, A 4 éves volt. Most, amikor C 14 éves, B életkora épp 3-szorosa A életkorának. Melyikük hány éves?
 

Feladat: 13.86.
[65] A 3-szor olyan idős, mint amilyen B volt, amikor A olyan idős volt, mint B. Amikor B olyan idős lesz, mint most A, éveik száma összesen 105 lesz. Hány éves most A és hány éves B?
 

Feladat: 13.87.
[65] Megkérdeztem egyik barátomat, hogy családjának tagjai hány évesek. Így válaszolt: - Hat év múlva apám háromszor olyan idős lesz, mint én voltam amikor apám éveinek száma egyenlő volt az én és a húgom akkori évei számának összegével. Jelenlegi korom ugyanannyi, mint apám kora volt akkor. 19 év múlva apám kétszer olyan idős lesz, mint a húgom ma. Meg tudod-e mondani, hogy hány évesek a barátom családtagjai?
 

Feladat: 13.88.
[65] Négy szám összege 100. Ha az elsőt hárommal megszorozzuk, a másodikat megfelezzük, a harmadikból hatot elveszünk, a negyediket tízzel növeljük, azonos számokat kapunk. Mi volt a négy szám?
 

Feladat: 13.89.
[65] A természetes számsorban két egymás utáni szám szorzata 326-tal kevesebb, mint az utánuk következő két szám szorzata. Melyik két számról van szó? Mi a helyzet, ha a feladatban 326 helyett 328 szerepel?
 

Feladat: 13.90.
[65] Mekkora annak a négyzetnek egy oldala, amelynek a területe ugyanannyi cm 2 , mint ahány cm a kerülete?
 

Feladat: 13.91.
[65] Egy kiránduló útjának a felét 2,5 km/h átlagsebességgel tette meg a tervezett 5 km/h átlagsebesség helyett. Legalább mekkora sebességgel haladjon az út hátralevő részén, hogy az út végéig behozza a lemaradását?
 

Feladat: 13.92.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket: a) 4(x-3)-x=x+100 b) 3(x+1)- x 4 =x+10
 

Feladat: 13.93.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) 4x- 2x+7 3 =100; b) x 2 - 3x-1 5 =4
 

Feladat: 13.94.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) x- 2x+1 5 =-1
 
b) x 2 -2(3x-1)=7,5
 
c) 2(x+1) 3 -3 1-2x 4 =x+0,5
 
d) 3x+5 1-2x =2

 

Feladat: 13.95.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a) (x+2 )2 =9
 
b) (x-1)·(2x+1)=0
 
c) 5x-2(x+3)=3x-6
 
d) 7x-4(x-2)=3x-8
 
e) 2x+1 3 - 2x-1 4 =1
 
f) 1 2+ 1 3+x =5
 
g) 6x+5 5x+4 =3
 
h) x x-1 + 2 x+1 =1+ x+5 x2 -1
 
i) ( x+1 x-1 )2 =4

 

Feladat: 13.96.
[65] Oldjuk meg az alábbi egyenletet!

(x+2)(x+4)- x2 = 200 x= ?

 

Feladat: 13.97.
[65] Megkapjuk (2x+3)(5x+2)-10 x2 értékét. Hogyan tudjuk ebből a lehető leggyorsabban megmondani x értékét?
 

Feladat: 13.98.
[65] a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 4-gyel, és az eredményből levontam a gondolt számnál 5-tel nagyobb szám kétszeresét. Ehhez a gondolt számot hozzáadva azt kaptam, hogy ... . Gondoljuk végig, hogy a kipontozott rész ismeretében hogyan lehetne a lehető leggyorsabban meghatározni a gondolt számot! b) Most a gondolt számnál kettővel nagyobb szám négyzetéből levonom a gondolt szám négyzetét, és az így kapott értéket fogom közölni. A kérdés ugyanaz.
 

Feladat: 13.99.
[65] Milyen x-re igazak a következő egyenletek?
a) x-499 501 = x-501 499
 
b) x-54 23 - x+53 163 = x-37 63
 
c) x·(x-2)=0
 
d) (x+8)·(x-3)·2x=0
 
e) (x+2)·(x-2)=x+2
 
f) x+2 x+3 =0
 
g) x+2 x+3 =x+2
 
h) x+2 x+4 =x+2
 
i) (x-1)·(x+2) 2+x =0
 
j) (x-1)·(x-2) 2-x =1-x
 


k) x-949 51 + x-828 43 = x-926 37 + x-931 23
 
l) (95x+96)·(97x+98)·(99x+100)=0

m) (x-1 )4 =1
 
n) (x+2 )2 -1=8
 
o) x3 + x4 =0
 
p) x3 + x4 =x+1
 
q) x101 =x

 

Feladat: 13.100.
[65] A következő egyenletek megoldását vissza lehet vezetni elsőfokú egyenletek megoldására. Hogyan? Milyen x-re igaz? a) x2 +121=(x+11)·x b) x2 -2·x=0 (Óvakodjunk, nehogy gyököt veszítsünk!) c) 2 x2 -3x x =23 d) 2 x2 -3x 2x-3 =0
 

Feladat: 13.101.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) (x-1 )2 -(x+3)·(x-2)=70 b) 2+6 x2 - x2 -1 3 =1-6·( x2 -8) c) x2 +5x=0 d) (x-3)·(2x+1)=0 e) (x+1 )2 -(x-2 )2 2x-1 =6 f) ( 2x+3 3x-2 )2 =25 g) (x+2 )2 +(x-2 )2 4 =(x+1 )2 +(x-1 )2 h) (x+1)·(x+5)-(3x-1)=8x-(2-x)·(x-3)
 

Feladat: 13.102.
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a) 2( x2 -1)+5=3 x2 -6
 
b) 2(|x|-1)+5=3|x|-6
 
c) 2( 1 x -1)+5= 3 x -6
 
d) 2[(x-1 )2 -1]+5=3(x-1 )2 -6
 
e) 2 x3 +5=3( x3 +1)-6

 

Feladat: 13.103.
Készítsünk algoritmust, ami eldönti az ax+b=0 típusú egyenletről, hogy van-e megoldása (bemenő érték: a és b)!
 

Feladat: 13.104.
Készítsünk algoritmust, ami megoldja az ax+b=0 típusú egyenletet (bemenő érték: a és b, kimenő érték(ek): x)!