18. FEJEZET: Egyenletek II.

Feladat: 18.1.
Írjunk a betűk helyére számokat úgy, hogy a megadott két állítás közül pontosan egy legyen igaz, amennyiben ez lehetséges!

	a)	x+y=2,	3x+3y=36.
	b)	x-y=10,	4x-4y=50.
	c)	x+y=5,	x+3y=11.
	d)	x<3,	x2 >9.
	e)	x+y<5,	x2 +2xy+ y2 =25.
	f)	x2 + y2 =25,	x+y=5.

 

Feladat: 18.2.
[65] Lehet-e a betűk helyére számokat írni úgy, hogy a megadott két állítás közül pontosan egy legyen igaz?

a)		x+y=10		x 2 + y 2 =5
b)		x+y=2		1 x + 1 y = 1 2
c)		x+y=3		x2 + y2 =9
d)		x+y=4		x2 +2xy+ y2 =4x+4y
e)		x2 +2x+1= y2		y-x=1

 

Feladat: 18.3.
Jelöljük koordinátarendszerben az alábbi egyenletek illetve egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (Melyek azok a P(x;y) pontok a síkban, amelyeknek koordinátáira teljesülnek a megadott összefüggések?)
a) x·y=0
 
b) x=0
 
c) x>0
 
d) x·y>0
 
e) x+y=0
 
f) x-y=0
 
g) x+y>0
 
h) x-y>0
 
i) x2 > y2

 

Feladat: 18.4.
[65] A következő feladatok megoldásában keressük meg a hibát, és javítsuk ki a hibás megoldásokat! a) 6(x+2)+7(x+2)=15(x+2) Elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát (x+2)-vel: 6+7=15⇒13=15, tehát nincs megoldás. b) 1 x + 3 x +1= 4+x x Megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát x-szel: 1+3+x=4+x⇔4+x=4+x, így minden szám megoldás. c) x+ 1 x-3 =3+ 1 x-3 Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk (x-3)-mal:

x·(x-3)+1=3·(x-3)+1

x·(x-3)-3·(x-3)=0

(x-3)·(x-3)=0

(Kiemeltünk (x-3)-at.) Az utolsó egyenlőség csak akkor igaz, ha x=3. Tehát a megoldás: x=3. Az x+ 1 x-3 =3+ 1 x-3 egyenletet egyszerűbben is meg lehet oldani, mindkét oldalból kivonjuk az egyező törtes kifejezéseket: x=3 d) x· 3x-51 17-x =-51 (17-x)-szel egyszerűsítünk: x· -3(17-x) 17-x =-51⇔-3x=-51⇔x=17.
 

Feladat: 18.5.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket! Egyszerűsítsd a törteket ezekben az egyenletekben: a) 3 x2 -6x 3x-6 =0 b) 3 x2 -6x x =36 Mi történik a gyökökkel? (Gyökvesztés? Hamis gyök? Mindkettő? Egyik sem?)
 

Feladat: 18.6.
[65] Melyik az a szám, amelynek a felét és a harmadát összeszorozva, a szám négyszeresét kapjuk?
 

Feladat: 18.7.
[65] Milyen számokra igaz: a) (5x-2)·(x-3)=0 b) 2 x2 -5x=0 c) 3x·(x+3)-6·(x+3)=0?
 

Feladat: 18.8.
[65] Mi a hiba ebben a megoldásban? A 6x-8=9x-12 egyenlet mindkét oldalából emeljük ki a közös tényezőt: 2·(3x-4)=3·(3x-4). Az egyenlet mindkét oldalát osszuk el (3x-4)-gyel: 2=3. Az ilyen lehetetlen eredmény általában azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs gyöke (mert semmilyen x-re nem igaz, hogy 2=3). Ha az egyenletet más úton oldjuk meg, azt kapjuk, hogy van gyöke:

x= 4 3

 

Feladat: 18.9.
[65] Milyen x-re igaz, hogy a) (2x+1)·(x+1)=(x-5)·(x+1) b) (3x-1)·(x+7)=(2x-5)·(3x-1) c) 4(x-7)+3x·(x-7)=5x·(x-7)+7-x d) x+3- 5x·(x+3) 4 = 3x·(x+3) 2 -x-3?
 

Feladat: 18.10.
[65] Milyen x-re igaz, hogy a) 1 x-2 +3= 3-x x-2 b) 1 x-5 +6= 6-x x-5 c) 2 x-2 +3= x+2 x-2 d) 6x- x x-2 = x·(x-3) x-2 ?
 

Feladat: 18.11.
[65] Keressünk az alábbiak között olyan függvényeket, amelyeknek ugyanaz az értelmezési tartománya, és az értékkészlete is megegyezik! Vázoljuk is a függvények grafikonját!
f(x)= x x-2
 
g(x)= (7-3x)·(x-2) x-2
 
h(x)= (2x-3)·(x-2) x-2
 
k(x)= 7x+5 3x+6
 
m(x)= 7x-14 3x-6
 
n(x)= 7x+14 3x+6
 
p(x)= 7 x2 -14x 6x-12
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a) f(x)=-2
 
b) f(x)=-1
 
c) f(x)=0
 
d) f(x)=1
 
e) m(x)=0
 
f) m(x)=1
 
g) m(x)= 7 3
 
h) p(x)= 7 3
 
i) k(x)=n(x)
 
j) g(x)=h(x)
j) Írjunk fel az előző feladatban szereplő függvényekkel további egyenleteket! Oldjuk is meg őket! Legyenek köztük olyanok is, amelyeknek nincs megoldása, és olyanok is, amelyeket a változó minden megengedett értéke igazzá tesz!
 

Feladat: 18.12.
[65] Keressünk képleteket az alábbi grafikonokkal megadott függvényekhez! A karikákról leolvasható, hogy milyen helyeken nincsenek értelmezve a függvények.
a) 1. ábra
 
b) 2. ábra
 
c) 3. ábra
 
d) 4. ábra

1. ábra

2. ábra

3. ábra

4. ábra

Írjunk fel ezekkel a függvényekkel is olyan egyenleteket, amelyeknek nincs megoldása, egy megoldása van, két megoldása van, és olyanokat is, amelyeknek az értelmezési tartománya minden eleme megoldása!
 

Feladat: 18.13.
[65] Melyik megoldás jó és miért? Hol a hiba a hibás okoskodásokban?

14x-10 7x-5 = 28x-20 7x-5

I.megoldás: Végig szorzom az egyenletet (7x-5)-tel:

14x-10= 28x-20       (0.1) 14x= 10       (0.2) x= 5 7       (0.3)

II.megoldás: A számlálóban mindkét oldalon kiemelhetek:

2(7x-5) 7x-5 = 4(7x-5) 7x-5

(7x-5)-tel egyszerűsítek: 2=4 Ez azt jelenti, hogy nincs megoldása az egyenletnek, mert ez semmilyen x-re sem igaz.
III.megoldás: Rendezem az egyenletet:

28x-20 7x-5 - 14x-10 7x-5 =0       (0.4) 14x-10 7x-5 =0       (0.5) 2(7x-5) 7x-5 =0       (0.6)

Egy tört értéke csak úgy lehet 0, ha a számlálója 0. Ez csak úgy lehet, ha 7x-5=0, 7x-5 viszont nem lehet 0, mert akkor a tört nevezője 0 lenne. Tehát nincs megoldása az egyenletnek.
IV.megoldás: Úgy indulok el, mint a második megoldásban: 2(7x-5) 7x-5 = 4(7x-5) 7x-5 (7x-5)-tel akarok egyszerűsíteni. Ekkor két esetet kell megnézni: 1.eset: 7x-5=0, de ez nem lehet, mert a nevező 0 lenne. 2.eset: 7x-5≠0. Egyszerűsítek vele. Azt kapom, hogy 2=4, ami azt jelenti, hogy nincs megoldása az egyenletnek.
 

Feladat: 18.14.
[65] Melyik megoldás jó és miért? Hol a hiba a hibás okoskodásokban?

14x-10 7x+5 = 28x-20 7x+5

I.megoldás: Először megállapítom, hogy  x≠- 5 7 , mert akkor a törtek nevezőjében 0 állna. Beszorzok (7x+5)-tel:

14x-10 =28x-20       (0.1) x = 5 7       (0.2)

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ez valóban megoldás.
II.megoldás: Átalakítom az egyenletet:

2(7x-5) 7x+5 = 4(7x-5) 7x+5

A két egyenlő nevezőjű tört csak úgy lehet egyenlő, ha a számlálójuk is megegyezik:

2(7x-5)=4(7x-5)

(7x-5)-tel elosztom az egyenlet mindkét oldalát:

2=4.

Tehát az egyenletnek nincs megoldása.
III.megoldás: Kiemelek, mint az előző megoldásban, és utána (7x-5)-tel elosztom az egyenlet mindkét oldalát:

2 7x+5 = 4 7x+5

Ha két tört megegyezik, ekkor a reciprokuk is:

7x+5 2 = 7x+5 4

Beszorzok 4-gyel:

4(7x+5)= 2(7x+5),     ebből       (0.3) 2(7x+5)= 0       (0.4)

Ez csak úgy lehet, ha 7x+5=0. Tehát x=- 5 7 a megoldás.
 

Feladat: 18.15.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket!
a) x(x-5) x-5 =1
 
b) x(x-5) x-5 =5
 
c) x(x-5) x-5 >5
 
d) (x+3)·(x-1) x-1 = (x-1)·(2x+4) x-1
 
e) (x+4)·(x-1) x-1 = (x-1)·(2x+3) x-1
 
f) (x-4)·(x-1) x-1 > (x-1)·(2x+3) x-1
 
g) 3(x-3) 2(x-3) = 4x+7 x-3
 
h) 11x-6 x+1 - 33x-18 3x+3 +23x=-23
 
i) 5-14x 3-8x = 7+12x 8x-3
 
j) x-8 4-x = 2-6x x-4
 
k) 6x+13 3x-9 =1- 4x-15 x-3
 
l) x+1 x-1 = x-5 x-3
 
m) 2x-9 2x+1 = 2x-9 5+2x
 
n) 5+ 2x-9 2x+1 = 2x-9 2x+1
 
o) 5- 2x-9 2x+1 = 2x-9 2x+1
 
p) 1 x-1 = 2 x+1

 

Feladat: 18.16.
[65] Jelöljük meg nyilakkal, hogy melyik állítás igazságából lehet valamelyik állítás igazságára következtetni! Például, ha x=3, akkor x2 =9 biztosan igaz, az x=3 állításból következik az x2 =9 állítás, amit így jelölünk:  x=3 ⇒  x2 =9. Az   x2 =9 állításból viszont nem következik az  x=3, mert ha   x2 =9 igaz, akkor még nem biztos, hogy  x=3, lehet, hogy  x=-3. Így jelöljük:   x2 =9 ⇒/⇒ x=3.


a) 4x-8y=23
 
8y=23-4x
 
4x-23=8y
 
(4x-8y )2 =529
 
|4x-8y|=23
 
4x-8y=529


b) y=3x+2
 
xy=3 x2 +2x


c) y=3x+2
 
y x = 3x+2 x
 
y-2 3 =x


d) y>2
 
3y>6
 
-3y>-6
 
1 y > 1 6
 
yx>2x
 
-3y<-6
 
y·|x|>2·|x|


e) y=x+1
 
y-x=1
 
y2 =(x+1 )2


f) (x+1 )2 = y2 +1
 
(x-y )2 +2x=0
 
x+2 y = y x

g) Keressünk olyan állításokat, amelyek közt oda-vissza halad nyíl (az egyik állításból következik a másik, és a másikból is következik az egyik). Ezek ekvivalens (egyenértékű) állítások.
 

Feladat: 18.17.
[65] Van-e olyan tört, amelyiknek a számlálóját 5-tel, a nevezőjét 2-vel növelve, nem változik az értéke?
 

Feladat: 18.18.
[65] Egész szám megoldásokra számíthatunk a következő feladatokban. Mi lehet az x?
a) x2 +6x-7=0
 
b) x2 +10x-39=0
 
c) x2 -12x+32=0
 
d) (x+2 )2 -1=8
 
e) x2 -12x+20=0
Próbáljuk megfogalmazni, hogyan lehet a 0-ra redukált másodfokú egyenletben (ha az x2 együtthatója 1) az x együtthatójáról és a konstans tagról leolvasni a megoldást!
 

Feladat: 18.19.
[65] Milyen x értékekre igazak az alábbi egyenletek és egyenlőtlenségek? A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen!
a) (x+3)·(x- 1 2 )=0
 
b) x·(-2x+3) < 0
 
c) x2 +x-30 ≤ 0
 
d) (x-4)·( x2 -9x+20) > 0
 
e) (4x-7)·(x-1) x-1 =0
 
f) (4x-7)·(5x-8) x-1 =0
 
g) 2 x2 -4x < 0
 
h) x2 -4x ≤ -3
 
i) a·( x2 -2bx+ b2 ) ≥ 0

 

Feladat: 18.20.
[65] Keress olyan egyenleteket, amelyeknek a megoldása a) 3 és -3; b) 5 és 2; c) 3 és -4; d) 0, 1 és 2; e) 1, 2, 3, és 4 !
 

Feladat: 18.21.
[65] Alkalmazzuk a "teljes négyzetté kiegészítést" a következő feladatokban!

? x:	x2 - 5 3 x+ 2 3 =0
? x:	3 x2 -5x-2=0
? x:	x2 +10x+30=0

 

Feladat: 18.22.
[65] Egy szám annyiszor van meg a 18-ban, mint ahányszor meg van benne a 8. Melyik ez a szám? Kiszámítás előtt becsüljük meg legfeljebb mekkora lehet az a szám!
 

Feladat: 18.23.
[65] Három egymás után következő egész szám összege a szorzatukkal egyenlő. Melyek ezek a számok?
 

Feladat: 18.24.
[65] Egy négyzet egyik oldalát 3 cm-rel növeljük, a mellette levőt ugyanannyival csökkentjük. Az így nyert téglalap területe 27  cm2 . Mekkora volt a négyzet oldala?
 

Feladat: 18.25.
[65] Kiválasztottunk egy számot. Ha a nála 12-vel kisebb és a nála 12-vel nagyobb számot összeszorozzuk, akkor 25-öt kapunk. Melyik számot választottuk.
 

Feladat: 18.26.
[65] Milyen x-re igaz, hogy a) 2 (x+3)·(x-1)  > 0 b) 3 x2 -4x+3 c) x2 -6 (3- x2 )·5x  < 0 d) ( x2 -1)·( x4 -1) > 0?
 

Feladat: 18.27.
[65] Milyen x-re igazak a következő egyenletek? a) 3· x3 -4=20 b) 2x·(x+7)·(x-1)=0 c) x11 =x d) x4 +2 x3 + x2 =0 e) ( x2 -4)·( x3 +1)·( x4 +2)=0 f) x6 -2 x4 + x2 =0 g) x3 -2 x2 +2x-4=0 h) x+ x2 - x3 - x4 =0 i) x6 -3 x4 +3 x2 -1=0 j) 9 x3 +2 x2 +3x+1=0
 

Feladat: 18.28.
[65] Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az alábbi számpárok:
a) (2;-3)
 
b) (0;-2)
 
c) ( 2 3 ;- 2 3 )
 
b) (5;5)

 

Feladat: 18.29.
[65] Határozzuk meg q értékét úgy, hogy az 5 x2 -19x+q=0 egyenlet egyik gyöke a 3 legyen:
 

Feladat: 18.30.
[65] Hány oldalú sokszögnek van ugyanannyi oldala, mint ahány átlója?
 

Feladat: 18.31.
[65] Minden érettségiző kapott egy-egy fényképet a társától. Hányan érettségiztek, ha összesen 435 fényképcsere történt?
 

Feladat: 18.32.
[65] Egy kétjegyű szám egyik számjegye 2-vel nagyobb, mint a másik. A szám négyzetének és a jegyek felcserélésével kapott szám négyzetének összege 4034. Mi az eredeti szám?
 

Feladat: 18.33.
[65] A könyvtárból 720 oldalas könyvet kölcsönöztem. Ha minden nap 20 oldallal többet olvasnék el, mint amennyit eredetileg terveztem, akkor 3 nappal előbb olvasnám el. Hány nap alatt olvastam volna el a eredetileg a könyvet?
 

Feladat: 18.34.
[65] A 12-es szám milyen számrendszerben lesz 422 alakú?
 

Feladat: 18.35.
[65] Döntsük el, hogy jók-e az alábbi megoldások! Húzzuk alá a hibás lépéseket! A hibás megoldás helyett írjunk jó megoldást! a) x2 -25 x-5 =x+5
Végigszorzunk (x-5)-tel: x2 -25= x2 -25. Tehát az egyenlet minden valós számra igaz.

b) x2 -7x+10 x-5 =0
Egyszerűsítünk (x-5)-tel: x+2=0, azaz x=-2.

c) 4 x2 -25 2x-5 =0

Egyszerűsítünk (2x-5)-tel: 2x-5=0      ⇔      2x=5      ⇔      x=2,5. Ekkor viszont a nevezőben szereplő kifejezés értéke 0 lenne, tehát nincs megoldása az egyenletnek.
 

Feladat: 18.36.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket: a) x2 -7x+12 x-3 =5 b) x2 -7x+12 x-3 =-1 c) ( x2 +1)·( x2 -1) x-1 =2x+2 d) ( x2 +1)·( x2 -1) x-1 =4x+4 e) 36 x2 -1 x+ 1 6 = 1 x-6 6- 1 x f) 4x- x2 -4 (x-2 )2 =2 x2 -7 g) x3 - x2 -4 x2 -9 =0
 

Feladat: 18.37.
[65] Döntsük el, hogy jók-e az alábbi megoldások! Húzzuk alá a hibás lépéseket! A hibás megoldások helyett írjunk jókat! a)

6x+12 2x+3 =2x 6x 2x + 6x 3 + 12 2x + 12 3 =2x 3+2x+ 6 x +4=2x 6=-7x x=- 6 7

b)

6x+12 2x+3 =2x 6x 2x + 12 3 =2x 3+4=2x 7=2x x=3,5

c)

6(x+2)+7(x+2)=15(x+2) Osszunk (x+2) -vel! 6+7=15 13=15

Tehát nincs megoldása az egyenletnek.
d)

1 x + 3 x +1= 4+x x Szorozzunk x -szel! 1+3+x=4+x 4x=4+x

Tehát az egyenletnek minden szám megoldása.
e)

4 x2 +9=1600 (2x )2 + 32 = 402 2x+3=40 2x=37 x=18,5

f)

(*)3x-2y=1 (**)y=x+8 }

(*) -ból: 2y=1-3x Ide helyettesítjük (**) -ot: 2(x+8)=1-3x 2x+16=1-3x 5x=-15 x=-3    és  y=5

 

Feladat: 18.38.
[65] Jelöljük nyilakkal, hogy melyik állítás igazságából lehet valamelyik másik állítás igazságára következtetni!

a)	x=-y	x y =-1	x2 =- y2
b)	x+2 x =3x	x+2=3 x2	x=0	x=1
c)	x( x2 +4x+4)=10 x2	x2 +4x+4=10x	x2 +4x+4 2x =5
d)	9 x2 -4 3x-2 =4	3x-2=6	3x+2=6	3x-2≠0
e)	12 x2 -8 3x-2 =4	12 x2 -12x=0 és   3x-2 ≠ 0 }		4x-4=4
f)	4 x2 -8x x-2 =0	x=0	x-2=0
g)	9 x2 +6x+1 3x+1 =0	3x+1=1	x =/=13
h)	( x2 - a2 )·( x2 - a2 ) x-a =x+a;		x2 - a2 =1
		(x+a )2 ·(x-a )2 x-a =x+a

 

Feladat: 18.39.
[65] Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) 1 x-1 - 1 x+3 = ( 2 x-2 )2
b) ( x2 -17 )2 =64
c) 2x x-3 +1= x+3 x-3
 

Feladat: 18.40.
[65] Melyik öt egymást követő természetes szám rendelkezik azzal az érdekes tulajdonsággal, hogy az első három szám négyzetének összege éppen annyi, mint az utolsó két szám négyzetének összege?