20. FEJEZET: Egyenletrendszerek
Feladat: 20.1. Írjunk a betűk helyére számokat úgy, hogy mindkét megadott állítás
igaz legyen! Hány megoldás van az egyes esetekben?
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=36. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| d) |
x<3, |
x2
>9. |
| e) |
x+y<5, |
x2
+2xy+
y2
=25. |
| f) |
x2
+
y2
=25, |
x+y=5.
|
Feladat: 20.2. a) Ábrázoljuk az alábbi egyenletek megoldáshalmazát közös
koordinátarendszerben!
0=2x+1-y
2y-x=2
y=2x-2
Olvassuk le az ábráról az alábbi egyenletek közös megoldásait!
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=36. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| d) |
x<3, |
x2
>9. |
| e) |
x+y<5, |
x2
+2xy+
y2
=25. |
| f) |
x2
+
y2
=25, |
x+y=5.
| b) |
0=2x+1-y, |
2y-x=2. |
| c) |
2y-x=2, |
y=2x-2. |
| d) |
0=2x+1-y, |
y=2x-2.
|
Feladat: 20.3. a) Ábrázoljuk az
y=
3
4
x és az
y=[x]
függvények grafikonját közös koordinátarendszerben!
b) Hány metszéspontja van a két grafikonnak?
c) Adjuk meg a metszéspontok koordinátáit!
Feladat: 20.4. a) Ábrázoljuk az
y=x és az
y=-
1
3
x+1
függvények grafikonját közös koordinátarendszerben!
b) Rajzoljuk újra a grafikont négyzethálós papíron!
Válasszuk meg úgy az egységet, hogy a metszéspont a négyzethálón
rácspont legyen!
c) Olvassuk le a két grafikon közös pontjának
koordinátáit!
Feladat: 20.5. Oldjuk meg grafikonok segítségével az alábbi egyenletrendszereket!
(Válasszunk ,,ügyesen" egységet!)
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=36. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| d) |
x<3, |
x2
>9. |
| e) |
x+y<5, |
x2
+2xy+
y2
=25. |
| f) |
x2
+
y2
=25, |
x+y=5.
| b) |
0=2x+1-y, |
2y-x=2. |
| c) |
2y-x=2, |
y=2x-2. |
| d) |
0=2x+1-y, |
y=2x-2.
| a) |
y=x, |
y=-
1
3
x+1000. |
| b) |
y=3000x, |
y=-1000x+3000.
|
Feladat: 20.6. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=36. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| d) |
x<3, |
x2
>9. |
| e) |
x+y<5, |
x2
+2xy+
y2
=25. |
| f) |
x2
+
y2
=25, |
x+y=5.
| b) |
0=2x+1-y, |
2y-x=2. |
| c) |
2y-x=2, |
y=2x-2. |
| d) |
0=2x+1-y, |
y=2x-2.
| a) |
y=x, |
y=-
1
3
x+1000. |
| b) |
y=3000x, |
y=-1000x+3000.
| a) |
y=2x+1, |
y=x-1. |
| b) |
y=2x+1, |
y=x. |
| c) |
y=2x+1, |
y=x+1. |
| d) |
y=2x+1, |
y=x+2. |
| e) |
y=2x+1, |
y=x+3.
|
Az alábbi kérdések az
y=2x+1,
y=x+c egyenletrendszerre
vonatkoznak.
f) Írhatunk-e
c helyére valós számot úgy, hogy az
egyenletrendszernek ne legyen megoldása?
g) Mely
c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
x=10?
h) Mely
c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
x<0?
i) Mely
c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
y>5?
Feladat: 20.7. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=36. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| d) |
x<3, |
x2
>9. |
| e) |
x+y<5, |
x2
+2xy+
y2
=25. |
| f) |
x2
+
y2
=25, |
x+y=5.
| b) |
0=2x+1-y, |
2y-x=2. |
| c) |
2y-x=2, |
y=2x-2. |
| d) |
0=2x+1-y, |
y=2x-2.
| a) |
y=x, |
y=-
1
3
x+1000. |
| b) |
y=3000x, |
y=-1000x+3000.
| a) |
y=2x+1, |
y=x-1. |
| b) |
y=2x+1, |
y=x. |
| c) |
y=2x+1, |
y=x+1. |
| d) |
y=2x+1, |
y=x+2. |
| e) |
y=2x+1, |
y=x+3.
| a) |
2y=x+1, |
y=-2x. |
| b) |
2y=x+1, |
y=-x. |
| c) |
2y=x+1, |
y=0. |
| d) |
2y=x+1, |
y=x. |
| e) |
2y=x+1, |
y=2x.
|
Az alábbi kérdések az
y=x+1,
y=mx egyenletrendszerre
vonatkoznak.
f) Írhatunk-e
m helyére valós számot úgy, hogy az
egyenletrendszernek ne legyen megoldása?
g) Mely
m esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
x=10?
h) Mely
m esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
x<0?
i) Mely
m esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában
y>5?
Feladat: 20.8. a) Ábrázoljuk az
y=mx+m függvény grafikonját
m=-4,
m=-2,
m=0,
m=2 és
m=4 esetén!
b) Az
m paraméter értékétől függően hány megoldása van
az
egyenletrendszernek? (Adjuk meg minden
valós
m-re az egyenletrendszer megoldásainak számát!)
Feladat: 20.9. Van-e olyan
(x;y) számpár, amely az
m paraméter bármely értéke esetén kielégíti
az
egyenletet?
Feladat: 20.10. Egy paralelogramma oldalegyenesei az
|
y=
99
100
x, y=x, y=
99
100
x+2, y=x-2
|
függvények grafikonjai. Számoljuk ki a csúcsok
koordinátáit!
Feladat: 20.11. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:
a)
4x+3y=1
3x+2y=2
}
b)
4x+3y=5
3x+2y=2
}
c)
4x+3y=7
3x+2y=2
}
d)
4x+3y=19
3x+2y=2
}
e)
4x+3y=21
3x+2y=2
}
Az f) és g) feladatoknál készüljünk fel, hogy ha a tanár megadja
a és
b értékét, akkor minél hamarabb megtudjuk adni az
egyenletrendszer megoldásait, az
x és
y számokat!
f)
4x+3y=a
3x+2y=2
}
g)
4x+3y=a
3x+2y=b
}
Feladat: 20.12. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket!
a)
x+y=12
3x-4y=1
}
b)
x-y=5
2x+3y=20
}
c)
4x-3y=15
x+2y=1
}
d)
3x=y+5
2y+5x=23
}
e)
2x-3y=19
3x+4y=3
}
f)
5x+2y+8=0
3x+7y-1=0
}
g)
4x=8+6y
6x-9y=12
}
h)
10x+30y=8
25x+75y=-7
}
Feladat: 20.13. [
65] Milyen
(x; y) számpárokra igaz?
a)
3x=1+5y
2x=2+2y
}
b)
2y-3x=5
3(4y-6)=18y+12
}
c)
2y-3x=5
3(4y-6)=18x+30
}
d)
3y-11=2x
3x-y=1
}
Feladat: 20.14. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a)
2x-5y=7
x+3y=9
3x-2y=16
}
b)
x+2y=8
2x-y=7
x-3y=3
}
c)
2x+y=7
x=3,5-
y
2
y=7-2x
}
d)
2x-y=7
8x+6y=10
11x+7y=16
}
Feladat: 20.15. [
70] Pista vásárolt egy körzőt egy ceruzát és egy radírt. Ha egy körző
az ötödébe, egy ceruza a felébe és egy radír a kétötödébe kerülne,
akkor 96 Ft-ot, ha egy körző a felébe, egy ceruza a negyedébe és
egy radír a harmadába kerülne, akkor 144 Ft-ot fizetett volna.
Mennyit fizetett? A körző vagy a ceruza a drágább?
Feladat: 20.16. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a)
x+y+z=0
2x+2y+z=5
5x+3y+2z=9
}
b)
2x-y+3z=6
5x+y-2z=-9
3x+3y+z=13
}
c)
2x+4y+5z=-1
4x-4y+10z=7
x+6y-10z=-6
}
d)
x+y+z=0
2x+2y+z=5
x+y-z=10
}
e)
4x-2y+6z=12
6x-3y+9z=18
10x-5y+15z=30
}
f)
2x+4y+5z=-1
5x+14y=-8
x+6y-10z=-6
}
g)
x+y+z=0
2x+2y+z=5
x+y-z=12
}
h)
4x-2y+6z=12
6x-3y+9z=15
10x-5y+15z=30
}
i)
2x+4y+5z=2
5x+14y=-8
x+6y-10z=-6
}
Feladat: 20.17. [
65] Néhány egyenletrendszer megoldását elkezdtük. Fejezzük be! Ne
feledjük, hogy mindkét ismeretlen számértékét meg kell
találnunk!
a)
1
x
+
1
y
=
1
5
1
x
-
1
y
=
1
7
} A két egyenletet összeadjuk:
2
x
=
12
35
b)
5x+
10
y
=-7
2x+
5
y
=-2
}
A második egyenletet 2-vel szorozzuk, és ezután az első
egyenletből kivonjuk a másodikat.
5x+
10
y
=-7
4x+
10
y
=-4
} ⇒ x=-3.
c)
x2
+
y2
=925
xy=150
}
A második egyenletet szorozzuk meg 2-vel és adjuk hozzá az első
egyenlethez:
x2
+
y2
=925
2xy=300
} ⇒
x2
+
y2
+2xy=1225.
Innen
(x+y
)2
=
352
, amiből
x+y=35 vagy
x+y=-35.
d)
y-
x2
=3
y-x=3
}
Rendezzük az egyenleteket:
y=3+
x2
y=3+x
} ⇒ 3+
x2
=3+x.
e)
x
y
=3
x+y=60
}
Az első egyenletből:
x=3y. Ezt behelyettesítjük a második
egyenletbe:
3y+y=60.
f)
x+y+z=15
x+y+u=16
x+z+u=18
y+z+u=20
}
Az egyenletek megfelelő oldalait összeadva:
3(x+y+z+u)=69 ,
amiből
x+y+u+z=23 . Az első egyenletet is figyelembe véve
u=8.
Feladat: 20.18. [
65] Milyen
(x;y) számpárra teljesülnek a következő
egyenletrendszerek?
a)
3x
·
2x
=y
y=1296
}
b)
2x+y
·
5x+y
=10 000
x+3y=10
}
c)
3x
+
3y
=108
3x
-
3y
=54
}
Feladat: 20.19. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!
3(x+y)=2-y
2(x-y)=7+y
}
Feladat: 20.20. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x+1
3
-
3y-1
4
=-2
x-1
2
-
y+1
3
-4=0
}
Feladat: 20.21. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x+y
3x-y
=7
x+y+1
y-2x+3
=2
}
Feladat: 20.22. [
65]
x-ről és
y-ról csak annyit tudunk, hogy
x+y=10 és
xy=20.
Határozzuk meg
a)
1
x
+
1
y
b)
x2
+
y2
értékét!
Feladat: 20.23. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:
| a)
3(x+y)-(2x+1)=6
4(x+2y)=x-y+1
}
| | b)
x+y
2
-
x-y-1
3
=2
x
2-y
=5
} |
| c)
x2
+2x+1=
y2
x2
+2xy+
y2
=1
}
| | d)
x2
+2xy+
y2
=4
x=2y-1
} |
| e)
y2
-2
x2
=1
5
x2
-2
y2
=2
}
| | f)
(x+1
)2
-2(y+2
)2
=4
3(x+1
)2
+(y+2
)2
=5
} |
| g)
12
x+y
-
10
x-y
=-2
6
x+y
+
7
x-y
=5
} | | h)
(x+2)·(y-3)=xy-5
3(y-x)-
x+y
2
=2
}
|
Feladat: 20.24. [
65] Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:
a)
x-2y-3·
2x+3y+1
2
=2y-2(3x+y-2)
2x-3
2-y
=3
}
b)
(x+2
)2
-
y2
=
x2
-(y-3
)2
+21
3x+2y-1
5x-y-1
=2
}
c)
(x+1
)2
+(y+1
)2
=
x2
+
y2
x+y-3·
x-y
5
=y
}
d)
x2
-2xy+
y2
x-y
=y
2x+3y+14=0
}
e)
x2
-
y2
x+y
=2x+2+y
3x-y=8
}
Feladat: 20.25. [
65] A
k paraméter mely értékeire van a
3x+y=1
6x+ky=2
} egyenletrendszernek
a) egyértelmű megoldása?
b) végtelen sok megoldása?
Feladat: 20.26. [
65] A
k paraméter mely értékeire van az
x+y=k
x-y=5
}
egyenletrendszernek pozitív
x és pozitív
y megoldása?
Feladat: 20.27. [
65] Milyen
(x; y) számpárokra igaz?
a)
x-2yx=3
3x-y=1
}
b)
9x+2y=8
xy+27=0
}
c)
1
x
+
1
y
=1
x+y=4
}
d)
xy-2y=4
y
x-2
=1
}
e)
x+y+3xy=-3
xy+1=0
}
Feladat: 20.28. [
65] Milyen
x; y; z számhármasokra igaz?
a)
x+y+z=9,6
2x+3y=5z
x-y=z
}
b)
5x+7y
x+y
=6
3z-x
x-y-z
=1
2x+3y-z
x
2
+3
=4
}
c)
xy
5x+4y
=6
xz
3x+2z
=8
yz
3y+5z
=6
}
Feladat: 20.29. [
65] Egy háromszög egyik szögét megháromszorozva, a másikat
megduplázva, a harmadikat
7∘
-kal növelve ugyanezt a
szöget kapjuk.
Határozzuk meg a háromszög szögeit!
Feladat: 20.30. [
65] Egy kétjegyű számot keresünk. A következőket tudjuk róla:
1. Ha a háromszorosából levonjuk a jegyeinek
felcserélésével létrejövő számot, 31-et kaptunk.
2. Ha két jegye közé egy 0-át írunk, majd ezt elosztjuk
az eredeti számmal, a hányados 8 és a maradék 4.
Feladat: 20.31. [
65] Egy derékszögű háromszög hosszabbik befogóját 4-gyel, a másodikat
2-vel csökkentve egy 21-gyel kisebb területű háromszöget kapunk.
Ha a hosszabb befogót csökkentjük 2-vel, a rövidebbiket pedig
4-gyel növeljük, akkor egy 11-gyel nagyobb területű háromszöghöz
jutunk.
Határozzuk meg az eredeti háromszög befogóinak hosszát!
Feladat: 20.32. [
65,
91] Egy kör alakú versenypályán két kerékpáros halad állandó
sebességgel. Amikor a kerékpárosok ellentétes irányban köröznek,
minden 10 mp-ben találkoznak, amikor pedig egy irányba haladnak,
egyik a másikat 170 mp-enként előzi meg.
Mekkora sebességgel haladnak a kerékpárosok külön-külön, ha a
körpálya hossza 170 m?
Feladat: 20.33. [
65,
91] Egy motorversenyen három versenyző indul. A második, aki óránként
15 km-rel kevesebbet tesz meg az elsőnél, és 3 km-rel többet a
harmadiknál, 12 perccel később ér a célba, mint az első, és három
perccel korábban mint a harmadik. Mekkora a pálya hossza, a
motorok sebessége és versenyideje?
Feladat: 20.34. [
65] Kétfajta alkoholunk van. Az elsőből
2 litert, a másodikból
3
litert véve
46%-os alkoholhoz jutunk. Ha viszont az elsőből
5, a másodikból
2 litert öntünk össze, akkor
35%-os
alkoholt kapunk. Állapítsuk meg, hogy hány
%-os alkoholokat
öntögettünk össze!
Feladat: 20.35. [
65] Kétféle alkoholunk van. Az elsőből 2 litert, a másodikból 3 litert
véve 46
%-os alkoholhoz jutunk. Ha viszont az elsőből 5, a
másodikból 2 litert öntünk össze, akkor 35
%-os alkoholt
kapunk.
Állapítsuk meg , hogy hány
%-os alkoholokat öntögettünk össze?
Feladat: 20.36. [
65] A
B városból a tőle 180
km távolságra fekvő
C városba
eljuthatunk 6 órai hajózás után két órai autóbusz utazással, vagy
3 óra hajóút után 3 órányi autóbusz utazással is.
Állapítsuk meg a hajó és a busz sebességét! (Feltételezzük, hogy
ezek sebessége nem változik.)
Feladat: 20.37. [
65] Egy alkalmi munkásnak hétfőtől péntekig minden nap ugyanannyival
emelték a fizetését. A két utolsó napon együttvéve
560 forintot,
az egész héten összesen
1000 forintot keresett. Mi volt a
keresete napról napra?
Feladat: 20.38. [
65] Egy biciklista hazafelé menet útépítési munkálatok miatt
kerülőúton volt kénytelen menni. Hogy a 3 km-es távolságnövekedést
ellensúlyozza, sebességét 2
km
h
-val megnövelte. Útja
így is a megszokott 30 perc helyett 35 percig tartott.
Mekkora utat tett meg a kerékpáros hazafelé?
Feladat: 20.39. [
65,
91] Egy gőzhajó halad lefelé a folyón
A városból
B városba
(megállás nélkül) 5 órán át. Visszafelé ár ellen (ugyanazzal a
saját és szintén megállás nélkül)7 óra hosszat megy. Kérdés: hány
óra alatt úsznának le tutajok
A városból
B városba, ha
sebességük ugyanakkora, mint a folyó folyási sebessége?
Feladat: 20.40. [
65]
a) Egy motorcsónak a folyón lefelé haladva
3 óra alatt
tesz meg annyit, mint ha
4 óráig felfelé haladna. (A motor
ugyanolyan teljesítményre van kapcsolva.) A folyó sebessége
2
km/ó. Mi a motorcsónak sebessége állóvízben?
b) Egy motorcsónak a folyón lefelé haladva
3 km-t annyi
idő alatt tesz meg, mint felfelé
2 km-t. Egy alkalommal lement a
folyón
24 km-nyire, majd visszatért kiindulási helyére. A két
út menetideje összesen
2,5 óra volt.
Mekkora a folyóvíz sebessége és mekkora a motorcsónak sebessége
állóvízben?
Feladat: 20.41. [
65] Egy út két végéről két gyalogos egyszerre indul el egymással
szemben.
10 perc múlva találkoznak, ez alatt a gyorsabbik
100
m-rel hosszabb utat tett meg, mint a másik. Folytatják útjukat, és
egyikük
12,5 perccel, másikuk
8 perccel találkozásuk után ér
az út végére. Milyen sebesen haladtak, és milyen hosszú az út?
Van-e a leírt adatok között felesleges (melyre tehát nincs szükség
a feladat megoldásához)?
Feladat: 20.42. [
65,
91] Egy gépkocsi két város közt az utat 60
km
h
-s
egyenletes sebességgel teszi meg. Visszafelé ugyanezen az úton 40
km
h
-s egyenletes sebességgel haladt. Mekkora az
átlagsebessége a teljes úton?
Feladat: 20.43. [
65]
A,
B,
C,
D egy vasútvonal ebben a sorrendben elhelyezkedő
állomásai. Reggel
A-ból egyszerre indul
D felé egy személy-,
egy gyors-, és egy expresszvonat. A gyorsvonat
20 km/ó-val
gyorsabb, mint a személyvonat és
30 km/ó-val lassabb, mint az
expresszvonat. A személyvonat
11 órakor még csak
B-ben van,
amíg a gyorsvonat már fél
11-re
C-be ér, az expresszvonat
pedig
10 órakor fut be
D-be. Még azt is tudjuk, hogy a
C
állomás a
B-től és a
D-től egyaránt
30 km távolságra van.
Mikor indulnak a vonatok
A-ból?
Feladat: 20.44. [
65]
B kétszer annyi idő alatt ásná fel a kertet, mint
C. Ha
B és
D együtt dolgoznak, 6 óra alatt végzik el ezt a munkát. Ha
mindhárman dolgoznának, akkor 4 órára lenne szükségük a kert
felásásához.
Mennyi idő alatt végeznék el ezt a munkát külön-külön?
Feladat: 20.45. [
65] Egy medencébe 3 csapon át folyhat víz. Ha 2 csap van nyitva, a
tartály 4 óra, 4
1
2
óra, illetve 7 óra 12 perc alatt
telik meg (attól függően, hogy melyik két csapot nyitottuk ki).
Mennyi időre van szükség, ha 1-1 csap van csak nyitva?
Feladat: 20.46. [
65,
125] Egy kereskedőnek kétféle keksze van. Az egyik kilogrammonként
90 Ft-ba, a másik 60 Ft-ba kerül. Olyan 50 kg súlyú keveréket akar
készíteni, amelynek ára 72 Ft-lesz kilogrammonként.
Hány kilogrammot kell az egyes fajtákból felhasználnia?
Feladat: 20.47. [
65] Péter és Pál távolsága 300 méter. Ha egymás felé futnak, akkor 1
perc múlva találkoznak, ha Péter üldözőbe veszi Pált, akkor, akkor
2,5 perc múlva éri utól. (Ugyanaz a személy mindkét esetben
ugyanakkora sebességgel fut.)
Kinek mekkora a sebessége?
Feladat: 20.48. [
65] Andi az
A, Bandi a
B városban lakik. Minden szombaton
biciklivel elindulnak a két várost összekötő országúton, hogy majd
valahol találkozzanak. Bandi óránként 5
km-rel többet tesz meg
mint Andi. (Feltehető, hogy mindketten állandó sebességgel,
megállás nélkül hajtanak.)
Andi mindig 9 órakor indul, Bandi pedig általában fél 10 órakor.
Így déli 12 órakor találkoznak.
Egy napon azonban Bandi már reggel 6-kor elindult, és így 10-kor
találkozott Andival.
Milyen messze van
A-tól
B?