10. FEJEZET: Hatványozás
Feladat: 10.1. [
65] A legenda szerint, mikor a sakkjáték feltalálóját meg szerette
volna jutalmazni a perzsa király, az a következő - első hallásra
szerénynek tűnő - kívánsággal állt elő: ,,A sakktábla első
mezőjére tégy nekem 1 búzaszemet, a másodikra 2-t, a harmadikra
4-et,... és így tovább, minden négyzetre az előző négyzeten
levő búzaszemek kétszeresét."
a) Vajon teljesítette a király a kérést?
b) Hány búzaszem kerül az utolsó négyzetre? Becsüljük meg
az idekerülő búzamennyiség tárfogatát (1 m
3
-ben körülbelül 15
millió búzaszem fér el)!
c) Számítsuk ki, hogy hány búzaszem kerül a sakktáblára
összesen és becsüljük meg a térfogatát is!
Feladat: 10.2. [
65] Okos Tóni és Együgyű Jankó furcsa szerződést kötött. Jankó
vállalta, hogy január 1-jétől a hónap utolsó napjáig naponta
100 000 forintot visz Tóninak, igen csekély ellenszolgáltatás
fejében: Tóni 1-jén 1 forintot fizet, 2-án 2 forintot, 3-án 4
forintot, és a következő napokon is az előző nap kifizetett összeg
dupláját. Okos Tóni annyira megörült a várható nagy nyereségnek,
hogy ki sem számította, pontosan mennyit kell fizetnie a 3,1
millió forintért. Számítsuk ki helyette!
Feladat: 10.3. [
65] Egy
1
10
mm vastag papírlapot 50-szer félbehajtunk.
Milyen vastag lesz?
Először tippeljünk, és utána próbáljuk a tippet számítással
ellenőrizni!
Feladat: 10.4. [
65] Melyik nagyobb?
|
34
| vagy |
43
|
|
25
| vagy |
52
|
|
103
| vagy |
310
|
Feladat: 10.5. [
65] Mik az utolsó jegyei a következő számoknak?
210
220
(
210
)20
320
3100
6100
816
1515
816
817
8181
9977
Feladat: 10.6. [
65] Milyen
x értékekre igazak a következő egyenletek és
egyenlőtlenségek?
2x+1
=32
32x-1
=81
7x-3
<49
7x-3
>49
42x+3
>8192
32x-1
=0
Feladat: 10.7. Kössük össze az egymással egyenlőket!
512
|
53
·
54
|
57
|
57
·
52
|
|
(
53
)4
|
512
55
|
(
56
)2
|
27
+
37
|
Feladat: 10.8. Kössük össze az egymással egyenlőket!
26
·
56
|
2·(2·5
)5
·5 |
106
|
1012
|
|
(
103
)4
|
2012
212
|
86
+
26
|
(2·5
)12
|
Feladat: 10.9. [
65]
a) Milyen
x-re igazak a következő egyenlőségek?
35
·
33
=
3x+3
85
·
8x
=
87
b) Hányszor szerepel az
a tényező az
am
·
an
szorzatban (
m és
n természetes számok)?
am
·
an
=
c) Fogalmazzuk meg, hogyan szorozhatunk egyenlő alapú
hatványokat!
Feladat: 10.10. [
65]
a) Milyen
x-re igazak a következő egyenlőségek?
24
·
2x
=
29
53
·
5x
=
58
b) A feladatok osztásként is fölírhatók:
29
24
=
2x
58
53
=
5x
Hányszor szerepel az
a tényező az
am
an
hányados
egyszerűsített alakjában (
m és
n természetes számok)?
Ha
m≥n
am
an
=
Ha
m<n
am
an
=
c) Fogalmazzuk meg, hogyan oszthatunk egyenlő alapú
hatványokat!
Feladat: 10.11. [
65] Melyik a nagyobb?
(2·5
)4
vagy
24
·
54
(3·8
)3
vagy
34
·
83
Indokoljunk is!
Feladat: 10.12. [
65]
a) Számítsuk ki minél ügyesebben!
27
·
53
=
43
·
252
=
Indokoljunk is!
b) Általánosan:
(a·b
)n
=
Fogalmazzuk meg, hogyan hatványozhatunk szorzatot!
Feladat: 10.13. [
65]
a) Számoljunk ügyesen, indokoljunk is!
383
193
=
484
27·
164
=
b) Igazoljuk az
(
a
b
)n
=
an
bn
összefüggést!
Feladat: 10.14. [
65] Milyen
x,y∈N-re igazak a következő egyenlőségek?
4x
=
2y
8x
=
4y
Feladat: 10.15. [
65]
a) Melyik nagyobb? Próbáljunk minél kevesebb számolással
válaszolni!
(
25
)3
vagy
615
311
496
vagy
358
b) Általánosan:
(
am
)n
=
Fogalmazzuk meg, hatványt hogyan hatványozhatunk!
Feladat: 10.16. [
65] Mivel egyenlő?
a)
52·
37
+8·
38
-25·
38
b)
(
25
)5
c)
22
·
52
d)
23
·5
e)
23
·
53
f)
23
·
54
g)
36
+
93
h)
26
+
63
Feladat: 10.17. [
65] Rendezzük a következő számokat növekvő sorrendbe!
302
230
203
154
415
106
610
Feladat: 10.18. [
65] Milyen
x-re igazak?
2x+2
-
2x
=96
3x+1
+
3x+2
+
3x
=39
Feladat: 10.19. [
65] Tedd ki két-két szám közé a
<, a
> vagy az
= jelek közül a
megfelelőt!
a)
77
6·
76
b)
2·
310
+5·
311
+
312
313
c)
97
+8·
97
98
d)
415
+
415
+
415
+
415
417
e)
29
+
26
9·
26
f)
215
-
214
213
2
g)
3
310
·
58
1
39
·
56
h)
310
·
58
3
39
·
56
3
Feladat: 10.20. [
65] Melyik nagyobb?
85
vagy
3·
47
48·
505
vagy
1010
3200
vagy
4150
Feladat: 10.21. [
65] Készítsünk a füzetbe ilyen táblázatot! Próbáljuk meg lefelé is
folytatni!
| kitevő | | | | | | | | | |
| 6 | | | | | | | | | |
| 5 | | | | | | | | | |
| 4 | | | | | | | | | |
| 3 | | | | 8 | | | | | |
| 2 | | 0 | 1 | 4 | 9 | | | | |
| 1 | alap: | 0 | 1 | 2 | 3 |
4 |
1
4
|
2
3
|
3
2
|
| 0 | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| -1 | | | | | | | | | |
| -2 | | | | | | | | | |
Írjuk le, milyen szabályszerűség alapján folytattuk a kitöltést!
Ennek alapján hogyan értelmezzük a pozitív számok negatív kitevőjű
hatványait?
Feladat: 10.22. [
65] Nézzük meg, igazak-e a következő egyenlőségek!
2-5
·
25
=
2-5+5
=
20
30
·
34
=
30+4
=
34
5-9
·
5-7
·
5-6
=
5-22
30
·
3-4
=
30-4
=
3-4
(
5-2
)3
=
5-2·3
=
5-6
(
25
)-4
=
25·(-4)
=
2-20
2-3
·
3-3
=(2·3
)-3
25
35
=
(
2
3
)5
Feladat: 10.23. [
65] A hatványozás azonosságai közül (szorzat hatványam hányados
hatványa, hatvány hatványa stb.) válasszunk ki egyet és igazoljuk
abban az esetben, amikor negatív kitevőjű hatványokat is
megengedünk!
Feladat: 10.24. [
65] Egy alumíniumlemezben az atomok távolsága:
Írjuk fel ezt is röviden!
Feladat: 10.25. [
65] Adjuk meg az alábbi számok normálalakját!
95·
1023
1983·
1030
188 385·
1053
0,000 000 025
Feladat: 10.26. [
65] A 7 hatványainak felhasználásával végezzük el az itt szereplő
műveleteket minél egyszerűbben!
70
= 1
71
=
7
72
=
49
73
=
343
74
=
2401
75
=
16 807
76
=
117 649
77
=
823 543
78
=
5 764 801
79
=
40 353 607
710
=
282 475 249
711
=
1 977 326 743
712
=
13 841 287 201
713
=
96 889 010 407
714
=
678 223 072 849
715
=
4 747 561 509 943
2401·49=
16
8072
=
3435
=
5 764 801
16 807
=
117 649·5 764 801=
(
823 543
117 649
)10
=
Keress még olyan műveleteket, amelyeknek az eredményét könnyen meg
tudod adni az itt szereplő 7 hatványok segítségével!
Feladat: 10.27. [
65] Számítsuk ki!
215
·
2-3
=
215
:
2-3
=
2-5
:
2-3
=
2-5
+
2-3
=
5-6
:
5-10
=
2-5
+
6-5
=
(4·
2-3
)5
=
(3·
10-4
)-5
=
(3·
10-4
)5
=
Feladat: 10.28. [
65] Egyszerűsítsük a következő törteket!
724
1083
844
213
·
122
215
+
212
3·
213
+
212
2-3
·
3-4
·
24
·
3-4
23
·
3-5
·
2-5
·
3-3
Feladat: 10.29. [
65] Számítsuk ki!
(
36
27
+
37
28
)·
28
36
=
(
27
·
35
+
26
·
36
):
27
·
37
=
(-3)6
·
(
22
)6
·
3-2
·
54
·
2-10
58
·
38
·
26
·
5-4
·
2-4
=
(
3-6
2-7
+
3-7
4-4
)
·
4-4
9-3
=
(
12-3
)-2
·
75-2
·
4-5
(
25-2
)2
·
186
·
104
=
(
2-3
)2
·
18-5
9-2
·
6-6
·
4-3
=
Feladat: 10.30. [
65] Képzeljük el, hogy egy 10 m élű kockát mm
3
-es kockákkal raktak
ki. Az alábbi kérdésekre először gyors becsléssel válaszoljunk,
utána számítsuk ki a pontos eredményt!
a) Ha ezeket a mm
3
-es kockákat egyrétűen helyeznénk
el, hány m
2
-es területet fedhetnénk be velük?
b) Egymás után rakva a kis kockákat hány km hosszú sor
alakulna ki belőlük?
Feladat: 10.31. [
65] A Föld tömege
6·
1027
g. A Nap tömege
2·
1033
g. Hányszorosa a Nap tömege a Föld tömegének?
Feladat: 10.32. [
65] A Föld felszínének minden cm
2
-ére 1 kg tömegű levegő nehezedik.
A Föld felszíne
51·
107
km
2
Hányszorosa a Föld a
ránehezedő levegő tömegének?
Feladat: 10.33. [
65]
a) Hány mm
3
-es kocka fér el egy 1 m
3
-es kockában?
b) A kis kockák felszínének összege hányszorosa az
1 m
3
-es kocka felszínének?
Feladat: 10.34. [
65] A Föld sugara kerekítve 6400 km. Egy ilyen élű kocka köbtartalma
hány m
3
volna? Előbb becsüld meg, csak azután számítsd ki! A
végén nézzétek meg, kinek volt az osztályban a legjobb a becslése!
Feladat: 10.35. [
65] Az alumíniumban két atom közötti távolság körülbelül
2,5·
10-8
cm. Hányszorosa ennek a Nap és a Föld
távolsága, amely körülbelül
1,5·
108
km?
Feladat: 10.36. [
65] A Föld térfogata körülbelül
1021
m
3
. Az arany sűrűsége
19,3
g
cm
3
. Mekkora lenne a Föld tömege, ha
színaranyból lenne?
Feladat: 10.37. [
65] A Kossuth rádió hullámhossza kereken 555 m, a sárga fényé
6·
10-4
milliméter. Hányszorosa a Kossuth rádió
hullámhossza a sárga fényének?
Feladat: 10.38. [
65] Mekkora a területe annak a négyzetnek, és mekkora a térfogata
annak a kockának, amelynek az élhossza
3,2·
10-10
mm?
Feladat: 10.39. [
65] Egy korong alakú vörösvérsejt alapkörének átmérője közelítőleg
7,4·
10-6
mm; magassága pedig közelítőleg
2·
10-6
mm. Mekkora a térfogata?
Feladat: 10.40. [
65] 1 mm
3
vérben közelítőleg
5 000 000 vörösvérsejt van. Egy
embernek átlag 5 liter a vére. Ebben mennyi a vörösvérsejt?
Mekkora ezeknek az együttes térfogata? (Használd fel az előző
feladat eredményét!)
Feladat: 10.41. [
65] Egy mikrobiológus megfigyelte, hogy egy papucsállatka 8061-szer
osztódott, és hogy az első negyven generáció térfogata körülbelül
1 m
3
. Mekkora teret foglalt volna el az utolsó generáció, ha
közben egyetlen papucsállatka sem pusztult volna el?
Feladat: 10.42. [
65] Egy érett mákgubóban körülbelül 3000 mákszem van. Ideális
körülmények között a következő nyáron akár mindegyikből nőhet egy
új tő, amely legalább egy gubót tartalmaz, és a régiek is
megmaradnak. 10 év múlva körülbelül mekkora területet borítana
mák?
(Veheted úgy, hogy 1 m
2
-en legfeljebb 200 tő mák terem.)
Feladat: 10.43. [
65] Milyen
x értékekre teljesülnek a következő egyenlőtlenségek?
Igyekezzünk ügyesen átalakítani az egyenlőtlenségeket!
2x
>
4x
3x+4
<
9x
2x+3
≤
3x
32x
≥
9x
Feladat: 10.44. [
65] Minél kevesebb számolással állapítsuk meg, melyik a nagyobb!
212
+
213
vagy
214
930
vagy
361
505
vagy
210
·
310
1254
vagy
9·
97
(
33
)3
vagy
3(
33
)
(
44
)4
vagy
4(
44
)
Feladat: 10.45. [
65] Írjuk fel a lehető legnagyobb számot
a) 4 darab 2-es számjegy felhasználásával;
b) 4 darab 5-ös számjeggyel!
(A kifejezésekben a számjegyeken kívül csak a
+,
-,
:,
·,
),
( jelek használhatók!)
Feladat: 10.46. [
65] Milyen
x-re igazak?
2·
2x
=1024
32·
2x
=
210
10·
2x
=5120
Feladat: 10.47. [
65] Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket!
25
·
32
·5·
10
26
·
32
·
52
24
·3·
52
7
·
72
23
·
32
·
52
214
+
212
3·
213
-
212
58
-
57
57
-
56
220
+3·
218
+
217
3·
218
-
217
618
+
66
·
612
3·
618
+
615
·
63
723
1082
363
272
·
82
Feladat: 10.48. Adjuk meg az alábbi számok prímtényezős felbontását!
9
90
900
9000
90000
18
180
1800
18000
180000
Feladat: 10.49. Egy bolha ugrál a számegyenesen. A
0 pontból indul, első
ugrásával
1-be érkezik. Minden további ugrása feleakkora, mint a
megelőző volt. Hová jut 10. ugrásával a bolha, ha
a) mindig ugyanabba az irányba ugrik;
b) minden ugrása után irányt változtat?
Feladat: 10.50. Váltsuk át a hármas számrendszerben
11111111 alakú számot
10-es számrendszerbe!
Feladat: 10.51. Határozzuk meg a
102006
-1
9
szám számjegyeinek
összegét!
Feladat: 10.52. [
118] Figyeljük meg a következő két egyenlőséget:
|
11-2=
32
, 1111-22=
332
.
|
Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be
az általánosítást!
Feladat: 10.53. Valaki egy négyzetet a következőképpen ,,díszített" ki. Először 9
egybevágó kis négyzetre osztotta, majd első lépésként beszínezte a
középső négyzetet. Másodszor, a megmaradó 8 kis négyzet
mindegyikét újra 9 egybevágó, még kisebb négyzetre osztotta, és
mindegyikben beszínezte a középső kis négyzetet. Ezt az eljárást
végül is összesen ötször hajtotta végre. Hányad részét színezte be
az eredeti négyzetnek?