8. FEJEZET: Műveleti azonosságok
Feladat: 8.1. [
65] Számítsuk ki fejben:
a)
97·615+615·3
b)
398+2351+2
c)
4·376·25
d)
329+615-5017-327+1236-614+5019
e) Fogalmazzuk meg azokat az azonosságokat, amelyekre az
előző feladat megoldásához szükség volt!
Feladat: 8.2. Melyik a nagyobb? Számoljunk fejben!
a)
x=5000-(3000-45) vagy
y=5000-(3000-46) ?
b)
u=5000-(3000+45) vagy
v=5000-(3000+46) ?
Feladat: 8.3. [
65] Állapítsuk meg fejben, hogy
63·936 harmada az alábbi
számok közül melyikkel egyenlő!
21·312
63·312
21·936
Feladat: 8.4. [
65] Állapítsuk meg fejben, hogy
B,
C és
D közül melyik egyenlő
3A-val!
| a) |
A=1132+2025 |
B=3396+6075
|
C=3396+2025 |
D=1132+6075 |
| b) |
A=1132-2025 |
B=3396-6075 |
C=3396-2025 |
D=1132-6075 |
| c) |
A=1132·2025 |
B=3396·6075
|
C=3396·2025 |
D=1132·6075 |
| d) |
A=
1132
2025
|
B=
3396
6075
|
C=
3396
2025
|
D=
1132
6075
|
Feladat: 8.5. Adott három törtszám. Az első és a második szorzata 60,9 az első
és a harmadik szorzata pedig 113,1. Mennyi az első számnak és a
másik két szám összegének a szorzata?
Feladat: 8.6. [
65] Melyik nagyobb és mennyivel?
| a) |
x-(y+2) | vagy |
x-y |
| b) |
x-(y-3) | vagy |
x-y |
| c) |
x-2(y+5) | vagy |
x-2y |
| d) |
x-3(y-7) | vagy |
x-3y
|
Feladat: 8.7. [
65] Írjuk fel zárójelek nélkül!
a)
a-(b+c)
b)
a-(b-c)
c)
a-5(b+c)
d)
a-7(b-c)
e)
a-4(b-c+d-e)
Feladat: 8.8. [
65] Gondoljunk egy számot! Adjunk hozzá 4-et, a kapott számot
szorozzuk meg 5-tel, az eredményből vonjuk ki a gondolt szám
dupláját, adjunk 3-at hozzá, a most kapott számból vegyük el a
gondolt szám háromszorosát, az eredményt szorozzuk meg önmagával!
Dr. Agy nem ismeri a gondolt számot, mégis meg tudja mondani a
végeredményt. Hogyan lehetséges ez?
Feladat: 8.9. [
65] Mondjunk olyan
x számot, amelyre
nem igaz:
a)
2(x+3)+x=4x-1
b)
3(x+4)-2x=x+12
Feladat: 8.10. [
65] Egy pozitív négyjegyű szám két szélső jegye és két középső jegye
is megegyezik. Bizonyítsd be, hogy ha a számból kivonjuk a második
jegy 110-szeresét, akkor mindig az első jegy 1001-szeresét kapjuk!
Feladat: 8.11. Számoljuk ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a
megadott helyen, majd vonjunk össze és az összevonás után is
helyettesítsünk be. Ha az eredmények nem egyenlők, akkor keressük
meg a hibát, hibákat!
a)
3a-(2a+5)+(1-a), ha
a=3,2;
b)
2b+(3+
b
3
)-(1+
b
3
), ha
b=
1
2
;
c)
2-c-(3-
1
2
c)-(1+
c
2
), ha
c=-1;
d)
d-(3-d-e)-(2-d)+(e+2d)-(3d+2e), ha
d=
3
4
,e=
1
2
;
Feladat: 8.12. Számoljuk ki az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a
megadott helyen, majd vonjunk össze és az összevonás után is
helyettesítsünk be. Ha az eredmények nem egyenlők, akkor keressük
meg a hibát, hibákat!
a)
3ax-(ax+a)+(a-2ax+7)-(6+3ax-a)-4xa,
ha
a=3,x=2;
b)
2-by+(b-y+yb)-(b+y
b
2
)-(
by
2
-y), ha
b=1,y=4;
c)
4
c2
+3z-(
c2
-3c+z)-(2
c2
+c-2z)+(-2c+
1
2
c2
+1), ha
c=-2,z=3;
d)
(2du-u·
2
3
d)-(1-d+
1
3
ud)-(
d2
+du)+(
1
2
du-
d2
), ha
d=4,u=-6;
Feladat: 8.13. Végezzük el a kijelölt szorzást! (Bontsuk fel a zárójelet!)
a)
2·(a+3)
b)
3·(b-2)
c)
-2·(c+3)
d)
-2·(3-d)
e)
2
3
·(1-3e)
f)
(2f-4)·5
g)
(3-2g)·
2
3
h)
(
3
5
h-1)·10
Feladat: 8.14. Végezzük el a kijelölt szorzást! (Bontsuk fel a zárójelet!)
a)
2,5·(a+3)
b)
3,3·(2b-1)
c)
-2·(4,1c+6,7)
d)
-2,5·(4-2,5d)
e)
2
3
·(1-1,5e)
f)
(2,5f-4)·
5
2
g)
(
3
4
-2g)·
2
3
h)
(
3
5
h-10)·0,1
Feladat: 8.15. Bontsuk fel a zárójeleket, vonjunk össze!
a)
2(a+3)+3(1+a)
b)
3(2b+1)+2(1-b)
c)
(c-1)·4+3(c-2)
d)
5(3-d)+7(d-2)
e)
6(-3-e)+(2e-2)·3
f)
2(3-f+7-2f-5)+4(f-2-2f)
Feladat: 8.16. [
69] Bontsuk fel a zárójeleket, vonjunk össze!
a)
2(a+3)-3(1+a)
b)
3(2b+1)-2(1-b)
c)
(c-1)·4-3(c-2)
d)
5(3-d)-7(d-2)
e)
6(-3-e)-(2e-2)·3
f)
2(3-f+7-2f-5)-4(f-2-2f)
Feladat: 8.17. Kössük össze pirossal azokat a kifejezéseket, amelyek minden egész
x-re egyenlők, kékkel azokat, amelyek végtelen sok egész helyen
egyenlők, zölddel azokat, amelyek egy egészre egyenlők és
feketével azokat, amelyek értéke semmilyen egész
x érték esetén
sem egyenlő!
|
3(x-2)-2(x-1) | |
|
|x-8| | |
x-4 |
|
|x-4| | |
x-8 |
|
4(4x+3)-5(3x+4) | |
Feladat: 8.18. Bizonyítsuk be, hogy
2(a-3)+8(a+2) osztható
5-tel az
a
változó minden egész értéke esetén!
Feladat: 8.19. Az
n változó mely egész értéke esetén lesz az
5(n+2)-3(1-3n)
kifejezés értéke prímszám?
Feladat: 8.20. a)
2x+5(x+3) kifejezést vizsgáljuk az
x változó egész
értékei esetén, továbbá a kifejezés értékének 7-tel való maradékos
osztásakor fellépő hányadost és maradékot. Töltsük ki az alábbi
táblázatot!
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2x+5(x+3) | | | | | | | |
| hányados | | | | | | | |
| maradék | | | | | | | |
Adjuk meg a hányadost és a maradékot
x függvényében is!
b) Adjuk meg a hányadost és a maradékot a változó
függvényében az alábbi esetekben is!
| osztandó | osztó | hányados | maradék |
|
3(y-2)+5(3y+5) |
9 | | |
|
7(2-3z)+6(5z-3) |
3 | | |
|
7(2-3z)-6(5z-3) |
3 | | |
|
4(2a+3)-2(a-3) |
6 | | |
Feladat: 8.21. [
65] Határozzuk meg
3x+21
x+7
értékét, ha
x=6187,115!
Feladat: 8.22. [
65] Mindig igaz? Néha igaz? Sohasem igaz?
a)
(2+13)·a=2·a+13·a
b)
130·a-a=(130-1)·a
c)
(a+b)·9=a+9·b
d)
(7+a+b)·10=10·a+10·b+7
e)
(7+a+b)·10=10·a+10·b+70
f)
(a+b)·c=a·c+b·c
g)
(a-b)·c=a·c-b·c
h)
(a+b)·(c+d)=a·c+b·d
i)
(a+b)·(c+d)=a·c+b·c+a·d+b·d
Azokat az egyenlőségeket, amelyek mindig igazak, írjuk le a
füzetbe, és fogalmazzuk meg szavakban is!
Feladat: 8.23. [
65] Szemléltessük pozitív
a, b, c, d számokra az
a)
c·(a+b)=ca+cb
b)
(a+b)·(c+d)=ac+bc+ad+bdazonosságot!
Feladat: 8.24. [
65] Számítsuk ki minél egyszerűbben! Írjuk le, mi segít a számításban!
a)
17 530·17 533-17
5312
b)
17 531·17 534-17
5322
c)
17 532·17 535-17
5332
d)
56 384·56 387-56
3852
Feladat: 8.25. [
65] Melyik szám nagyobb? Indokoljuk a választ!
| a) |
58
2162
|
vagy |
58
2152
+58
2172
2
|
| |
| b) |
58
2162
|
vagy |
58
2142
+58
2182
2
|
| |
| c) |
58
2162
|
vagy |
58
2132
+58
2192
2
|
| |
| d) |
1
2342
|
vagy |
1
2352
+1
2332
2
|
Feladat: 8.26. [
65] Négy szomszédos páratlan szám közül a két középső szorzatából
levontuk a két szélső szorzatát. Eredményül
12-t kaptunk. Mi
volt a négy szám?
Feladat: 8.27. [
65] Az alábbi kifejezések közül melyeknek azonos mindig az értéke?
a)
(a-b)(c+d)
b)
(a+b)(c-d)
c)
(a-b)(c-d)
d)
ac+bc-ad-bd
e)
ac-bc-ad-bd
f)
ac-bc-ad+bd
g)
ac-bc+ad+bd
h)
3
x2
i)
6
x2
j)
(3x
)2
k)
(ab
)2
l)
ab2
m)
a2
b
n)
a2
b2
Feladat: 8.28. [
65] Írjuk föl minél egyszerűbb alakban!
a)
2xyxy·8
b)
4
a2
ba3
bab·
1
2
c)
(5x)·4
d)
(3x+2)·7
e)
(2
a3
+
a2
b+
ab2
)a
Feladat: 8.29. [
65] Írjuk fel zárójel nélkül!
a)
(a+b)·(c+d)
b)
(2a-3b)·(4c+5d+6f)
c)
(
a2
+2b)·(a+3b)
d)
(a+b
)2
e)
5(a-b)
Feladat: 8.30. [
65] Töltsük ki a hiányzó jobb oldalakat úgy, hogy azonosságokat
kapjunk! (Zárójeleket ne használjunk!)
(x+1
)2
=
(x+2
)2
=
(x+3
)2
=
(x+4
)2
=
Oldjuk meg a feladatot általánosan is!
Feladat: 8.31. [
65] Bontsuk fel a zárójeleket!
a)
(2x-y
)2
=
b)
(3c-2b
)2
=
c)
(2b-3c
)2
=
d)
(4x-
y
8
)2
=
Feladat: 8.32. [
65] Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
(x+5
)2
=36
b)
(x+6139
)2
=(x+6138
)2
+15
c)
(x+3)·(x+4)-(x+1)·(x+6)=6
Feladat: 8.33. [
65] Azonosságok-e a következő egyenlőségek?
a)
(x+1)·(x+2)+(x+1)·(x-2)+(x-1)·(x+2)+(x-1)·(x-2)=4
x2
b)
(x+2
)2
=
x2
+4
Feladat: 8.34. [
65] Milyen
x-re igaz?
(x+1)·(x+5)-(3x-1)=8x-(2-x)·(x-3)
Feladat: 8.35. [
65] Jelöljük meg azonos jelzéssel azokat a kifejezéseket, amelyek
értéke mindig azonos!
a)
a-(b+c)
b)
a-(b-c)
c)
(a-b
)2
d)
(a+b
)2
e)
a+(-b)
f)
-(b+a)
g)
a+(-1)b
h)
a-b+c
i)
a-b-c
j)
-(b+c-a)
k)
-(b-c-a)
l)
a2
-2ab-
b2
m)
a2
+
b2
n)
a2
-
b2
p)
a2
+2ab+
b2
q)
(-1)(a+b)
r)
(-1)(b-a)
s)
(-a)b
t)
(-a)(-b)
u)
-ab
v)
a(-b)
Feladat: 8.36. [
65] Jelöljük azonos jelzéssel azokat a kifejezéseket, amelyek értéke
mindig azonos (amikor mindkettő értelmes)!
a)
a
b
b)
ac
b
c)
a:c
b
d)
a
bc
e)
a
b:c
f)
a
b
:c
g)
a
b
·c
h)
c:
a
b
i)
c:
b
a
j)
ac
bc
k)
a:c
b:c
Feladat: 8.37. [
65] Írjuk fel minél egyszerűbben!
a)
x
3
·15
b)
c
4
·24
c)
5
x
·xy
d)
a
x
·
x2
e)
17
5x
·25
x2
f)
3
x-2
·x(x-2)
g)
x2
+5x
x+5
h)
2
x2
+x
x
Feladat: 8.38. [
65] Írjuk fel egyetlen törtvonal alkalmazásával a lehető legegyszerűbb
alakban az alábbi kifejezéseket!
a)
x
3
+
y
4
b)
x
3
·
y
4
c)
x
3
:
y
4
d)
6x
7
:3
e)
6x
7
:5
f)
11x
12
·4
g)
11x
12
·5
h)
11x
12
·36
i)
2
3x
+
3
5x
j)
x
4
·
7
x
k)
x:
3
x
l)
1
x
+2+a
4-
a
x
m)
1
a
+
2
b
Feladat: 8.39. [
65] Írjuk fel egyetlen törtvonallal!
a)
2
7
+
3
5
b)
2
x
+
3
4
c)
1
x
+
1
x+1
d)
2
a
+
3
b
e)
3
2x
+
4
7x
Feladat: 8.40. [
65] Írjuk fel minél egyszerűbben!
a)
3
x2
-5x
2
x2
+3x
b)
2x+
1
x
+1
3x-
1
x
-2
c)
2x
x+2
+
4
x+2
d)
6x+9
8x+12
e)
8a
7
:2
f)
8b
5
:3
g)
7b
12
·3
h)
12b
7
·3
i)
2x
4
·
6
x2
j)
x2
10
:
x
5
k)
6(3x+9)
3
l)
2x+6
x+3
m)
x2
+1
x+1
n)
x2
-1
x-1
Feladat: 8.41. [
65] Az alábbi egyenlőségek közül melyik azonosság és melyik nem az?
a)
(x+3
)2
-(x-3
)2
x
=12
b)
1
x+y
=
1
x
+
1
y
c)
a
b
+
c
b
=
a+c
b+d
d)
3(a+b+ab)=3a+3b+(3a)(3b)
e)
(
a
b
)2
=
a2
b2
f)
a
b-c
-1=
a-b-c
b-c
g)
4x+y
2x-y
=
2x+y
x-y
h)
3x+4y+2
2x-y+2
=
3x+4y
2x-y
Feladat: 8.42. [
65] Az alábbi állítások mellé írjunk
1-est, ha mindig igazak
(vagyis a benne szereplő betűk minden behelyettesíthető értékére
igazak);
2-est, ha sohasem igazak;
x-et az összes
többi esetben!
a)
(a+b
)2
=
a2
+
b2
b)
(a-b
)2
=
a2
-2ab-
b2
c)
3(x+2)=3x+2
d)
3·(2x)=6·3x
e)
(4x
)2
=4
x2
f)
4b
7
21=12b
g)
(a-
b+2
3
)3=3a-b+2
h)
1
x
-
1
x+1
=
1
x2
+x
i)
(a-b
)2
=(b-a
)2
Feladat: 8.43. Ha
a és
b nullánál nagyobb természetes számok, és
b nagyobb
a-nál, akkor melyik a nagyobb:
Feladat: 8.44. Az
ABC háromszögben az
A,
B csúcsoknál található belső
szögek
α és
β. Fejezzük ki ezekkel
a) a
C csúcsnál fekvő külső szöget!
b) a
C csúcsnál fekvő belső szöget!
c) az
A-nál és
B-nél fekvő belső szögek szögfelezői
által egymással bezárt szöget!
d) a
C csúcsnál fekvő belső és külső szög
szögfelezőjének egymással bezárt szögét!
Feladat: 8.45. Az
ABC háromszögben a
B csúcsnál lévő belső szög
90∘
-kal nagyobb, mint az
A csúcsnál lévő belső szög. A
C csúcsnál
lévő belső szög szögfelező egyenese az
AB oldalt
D-ben, míg a
C csúcsnál lévő külső szög szögfelezője az
AB egyenest
E-ben
metszi. Számítsuk ki a
CDE háromszög szögeit!
Feladat: 8.46. Igaz-e, hogy bármely paralelogramma szögfelezői téglalapot
határolnak?
Feladat: 8.48. Az
ABC derékszögű háromszög
AB átfogóján felvett
D,
E
pontokra
AE=AC,
BD=BC. Határozzuk meg a
DCE szög
nagyságát!