16. FEJEZET: Nevezetes azonosságok

Feladat: 16.1.
a) Egy szám kétszereséből kivontuk az ugyanezen számnál 3-mal kisebb szám kétszeresét. A kapott különbség négyzete 36. Mi lehetet a gondolt szám? b) Gondoltam egy számot, levontam belőle 3-at, az eredményt megszoroztam 2-vel, majd az így nyert számhoz hozzáadtam hatot, így az eredeti szám kétszeresét kaptam. Mi lehetett a gondolt szám? c) Gondoltam egy számot és a felénél 1-gyel kisebb számot megszoroztam 2-vel. Így a gondolt számnál … Ki lehet-e egészíteni az előző mondatot úgy, hogy bármely gondolt számra teljesüljön?
 

Feladat: 16.2.
[65] Egy gépbe algebrai mondatokat tápláltunk be. A gép kétféle jelet dob ki:

∀,

jelentése: a változó (vagy változók) minden olyan értékére igaz, melyekre a bennük szereplő kifejezéseknek értéke van.

¬∀,

jelentése: a változó (vagy változók) nem minden megengedett értékére igaz. Ahol kell pótoljuk, és minden esetben indokoljuk a gép válaszát!

 

Feladat: 16.3.
[65] Egy gépbe algebrai mondatokat táplálhatunk be. Alább néhány példában megadjuk mit ad ki a gép. Találjuk ki a gép szabályát és határozzuk meg mit ad ki azokban az esetekben, ahol nincs megadva!
 

Feladat: 16.4.
[65] Vajon minden a-ra igaz-e a következő egyenlőség? ( a2 +35)· a2 +24=10a·( a2 +5) a) Próbáljuk ki a=1, a=2 , a=3 és a=4 esetére! b) Próbálgatás útján kiderülhet-e egy egyenlőségről, hogy azonosság? c) És az kiderülhet, hogy nem azonosság? d) Tegyünk további próbát! Nézzük meg például a=0-ra!
 

Feladat: 16.5.
[65] Igaz-e, hogy a minden értékére fennáll a következő egyenlőség?

a2 +15·(a+2)+1=a·(a+15)+31

a) Hogyan járhatunk ennek utána? b) Próbáljuk igazolni, hogy azonosság! c) Fogalmazzuk meg, mikor azonosság egy egyenlőség!
 

Feladat: 16.6.
[65] ,,Piaci szorzás" Ha valaki csak 5-ig tudja az egyszeregyet, az ujjait felhasználva, így szorozhat két 5 és 10 közötti számot egymással: két kezén annyi ujjat nyújt fel, amennyivel több a két tényező 5-nél, a felnyújtott ujjak együttes számát 10-szer veszi, és ehhez hozzáadja a két kezén behajtott ujjak szorzatát. Például a 9·7 szorzást így végzi el: 4 és 2, összesen 6 ujjat nyújt fel, 1 és 3 ujjat hajlít be, tehát így számol:

9·7=10·6+1·2=63.

a) Próbáljuk ki két 5 és 10 közé eső számmal! b) Valóban mindig jó ez az eljárás? Írjuk le általánosan ( a és b az 5 és 10 közé eső számok):

ab=10·(a-5+b-5)+(10-a)·(10-b)

Igazoljuk az eljárás helyességét!
 

Feladat: 16.7.
[65] 10 és 15 közé eső számokat pedig úgy szorozhatunk gyorsan, hogy két kezünkön annyi ujjat nyújtunk fel, amennyivel több a két tényező 10-nél, azután 100-hoz hozzáadjuk a felmutatott ujjak számának 10-szeres összegét, meg a felmutatott ujjak szorzatát. Például:

13·12=100+10·5+3·2=156.

Milyen azonosság a nyitja ennek a számolásmódnak?
 

Feladat: 16.8.
[65] ,,Diákszorzás". Hogyan lehet gyorsan meghatározni az 5-re végződő számok négyzetét? Folytassuk a táblázat kitöltését! Keressünk egyszerű szabályt! Próbáljuk meg igazolni a szabály érvényességét!
 

Feladat: 16.9.
[65] Próbáljuk igazolni a ,,diákszorzás" (lásd a 16.8. feladatot!) következő általánosítását: ha két szám tízesei megegyeznek, egyesei pedig 10-re egészítik ki egymást, akkor is szorozhatjuk őket úgy egymással, hogy a tízesek (közös) számát a természetes számsorban rákövetkező számmal szorozzuk, és a kapott szorzat után írjuk az egyesek szorzatát. (Ha a szorzat egyjegyű, akkor egy 0-t írunk elé.) Például:

74·76=5624.

a) Próbáljuk ki az eljárást! b) Írjuk fel azt az azonosságot, amely ennek a számolási módnak a helyességét igazolja!
 

Feladat: 16.10.
[65] Keressünk módszert az 5-tel kezdődő (nem túl nagy) számok négyzetének fejben való kiszámítására!
 

Feladat: 16.11.
[65] Milyen azonosságokat szemléltetnek a következő ábrák?
a) 1. ábra
 
b) 2. ábra
 
c) 3. ábra
 
d) 4. ábra
 
e) 5. ábra

1. ábra

2. ábra

3. ábra

4. ábra

5. ábra

f) Gondoljuk meg, hogy ezekkel az ábrákkal a felírt azonosságokat milyen értékekre szemléltettük!

g) Bizonyítsuk be algebrai úton ezeket az azonosságokat!
 

Feladat: 16.12.
[65] Keressünk szemléltetést a következő azonosságokhoz! Némelyik azonosságot csak elkezdtük, azokat fejezzük is be! a) (a+1)·(b+1)=ab+a+b+1 b) (a+b )2 = c) (a+b)·(c+d)=ac+bc+ad+bd d) (a+b+c )2 = e) (a-b )2 = f) (a+b)·(a-b)= a2 - b2 g) (a+b )3 = h) (a-b )3 = Gondoljuk meg, hogy ábráinkkal a felírt azonosságokat milyen értékekre szemléltettük!
 

Feladat: 16.13.
[65] Vágjuk fel az 1. ábrán látható a3 - b3 térfogatú csonka kockát részekre, írjuk fel a résztestek térfogatát és a leolvasható azonosságot!

1. ábra

 

Feladat: 16.14.
[65] a) Az (a+b )4 kifejtett alakjára esélyes találni valamilyen szemléltetést? b) Írjunk fel azonosságot algebrai úton (a+b )4 -re és kifejtett alakjára! c) Határozzuk meg (a-b )4 kifejtett alakját!
 

Feladat: 16.15.
a) Folytassuk a sorok kitöltését azonosságokkal! A kifejtett alakot a hatványai szerinti csökkenő sorrendben írjuk! (a+b )0 =1 (a+b )1 =1·a+1·b (a+b )2 =1· a2 +2·ab+1· b2 (a+b )3 = (a+b )4 = (a+b )5 = (a+b )6 = b) Írjuk fel (a-b) hatványait is ehhez hasonlóan!
 

Feladat: 16.16.
[65] Bontsuk fel a zárójeleket! a) (2x+3y)·(2x-3y)= b) ( a 3 - b 4 )·( a 3 + b 4 )= c) (-x+2)·(-x-2)= d) (-2x+y)·(2x+y)= e) (2x- 1 x )2 = f) (3x+ y 2 )2 = h) (2 x2 -5)·(2 x2 +5)=
 

Feladat: 16.17.
[65] Bontsuk fel a zárójelet!
a) (2c+3 )2 =
 
b) (3c+5 )2 =
 
c) (3a+2b )2 =
 
d) ( a 4 + b 2 )2 =

 

Feladat: 16.18.
[65] Írjuk fel zárójel nélkül!
a) (2x+3c)(2x-3c)
 
b) (3x-4 )2
 
c) (4x- y 3 )(4x+ y 3 )
 
d) ( x2 +3 )2

 

Feladat: 16.19.
[65] Melyik szám nagyobb és mennyivel:

71 234 561·71 234 563       vagy       71 234  5622 .?

 

Feladat: 16.20.
[65] Számológép használata nélkül döntsük el, hogy melyik nagyobb és mennyivel:

777  6662        vagy       777 663·777 669?

Kérdezzünk tovább!
 

Feladat: 16.21.
[65] Igaz-e hogy, a) két egymást követő egész szám négyzetének a különbsége a két szám összegével egyenlő? Például: 32 - 22 =3+2. b) ha egy egész szám négyzetéből a nála kettővel kisebb egész szám négyzetét kivonjuk, a köztük levő egész szám négyzetét kapjuk? Például: 52 - 32 = 42 . c) ha egy egész szám négyzetéből a nála kettővel kisebb egész szám négyzetét kivonjuk, a köztük levő egész szám négyszeresét kapjuk. Például: 52 - 32 =4·4. d) minden n egész számra (n+30 )2 -(n-30 )2 osztható 120-szal?
 

Feladat: 16.22.
[65] Egészítsük ki a képleteket úgy, hogy azonosságokat kapjunk!
a) x2 -16=(x-4)(       )
 
b) (3x+◯)2 =9 x2 +48x+△
 
c) ax+bx+cx=x(       )
 
d) x2 +axy=x(       )
 
e) 2 x2 +ax+x=x(       )
 
f) a2 b+ ab2 =ab(       )

 

Feladat: 16.23.
[65] Egészítsük ki az egyenlőségeket úgy, hogy minden x-re igazak legyenek! a) (3x-   )·(3x+   )=9 x2 -25 b) (3x+    )2 =9 x2 +48x+_ c) x2 +2x-35=(x+7)·(      ) d) x2 +12x+35=(x+7)·(      ) e) x4 -1=( x2 +1)·(      )
 

Feladat: 16.24.
[65] Számoljunk fejben! a) (3 1 5 )2 = b) (6 7 12 )2 =
 

Feladat: 16.25.
[65] Bizonyítsuk be, hogy akármilyen egész szám is x,

(x+498 )2 -(x-494 )2

osztható 1984-gyel!
 

Feladat: 16.26.
[65] Keress olyan a egész értékeket, hogy milyen egész x-re a) (x+a )2 -(x-a )2 osztható legyen 1848-cal! b) (x+a )2 -(x-a )2 osztható legyen 1984-cal! c) (x+a )2 -(x-a )2 5-re végződő szám legyen!
 

Feladat: 16.27.
[65] a) Válasszunk egy 3-nál nagyobb prímszámot! Számítsuk ki a négyzetét, adjunk hozzá 17-et, és nézzük meg, hogy milyen maradékot ad a kapott szám 12-vel osztva! Csináljuk végig ugyanezt több 3-nál nagyobb prímszámmal is! Véletlen-e, hogy mindig ugyanaz a maradék adódott? b) Mi a helyzet, ha 24-gyel osztunk? Mi lehet a magyarázat?
 

Feladat: 16.28.
[65] Melyik igaz a következő két állítás közül! Az igaz állítást bizonyítsuk be, a nem igazra mondjunk ellenpéldát! a)Minden 3-nál nagyobb prímszám négyzetének a kisebbik szomszédja osztható 12-vel. b)Minden prímszám kisebbik szomszédjának a négyzete osztható 12-vel.
 

Feladat: 16.29.
[65] Határozzuk meg az értelmezési tartomány azon részeit, melyeken a következő kifejezések értéke 0-val egyenlő, 0-nál kisebb, 0-nál nagyobb! A megoldást ábrázoljuk számegyenesen!
a) (a+2 )2 -16
 
b) (x- 2 3 )2 - 25 9
 
c) 16 x2 -(x+1 )2
 
d) x2 +2x+3
 
e) 2 x2 -14x+12

 

Feladat: 16.30.
[65] Bontsuk két tényező szorzatára! a) x2 +2x+1- y2
b) a2 - b2 -2bc- c2
 

Feladat: 16.31.
[65] Bontsuk tényezőkre a következő számokat! Ezt felhasználva keressünk osztókat a számokhoz a hatványok kiszámítása nélkül!
a) 172 -1
 
b) 172 - 32
 
c) 252 - 172

 

Feladat: 16.32.
[65] Számítsuk ki fejben!
a) 20,12
 
b) (6 1 6 )2
 
c) (10 1 5 )2

 

Feladat: 16.33.
[65] Számítsuk ki fejben!
a) 3072 - 2072
 
b) 40, 22
 
c) 15032 - 15022
 
d) (7 1 14 )2
 
e) 19872 -49 1994
 
f) 19, 92

 

Feladat: 16.34.
[65] Számítsuk ki fejben!
a) 7032 - 6032
 
b) 7032 - 6932
 
c) 7032 - 6932
 
d) 7032 -81 694
 
e) 299, 92
 
f) 300, 12
 
g) (9 1 18 )2


Írjuk le, mi segített a számításban!
 

Feladat: 16.35.
[65] Oldjuk meg minél egyszerűbben!
a) 9x-18 x-2 =?
 
       ha x=223 455
 
b) x2 +4x+4 x+2 =?
 
       ha x=1987,1987
 
c) 15x-10 6x-4 =?
 
       ha x=9876,1234
 
d) x2 -9 x+3 =?
 
       ha x=5555,67

 

Feladat: 16.36.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) x2 +6x+9 x+3 =100
 
b) x2 -25 x+5 =3x

 

Feladat: 16.37.
[65] A következő állítások közül jelöljük meg az igazakat! Ezeket bizonyítsuk is be, a nem igazakra adjunk ellenpéldát, és nézzük meg, hogy milyen feltételekkel tehetők igazzá! a) Minden páratlan szám négyzete 8-cal osztva 1-et ad maradékul. b) Egyetlen páratlan szám négyzete sem osztható 8-cal. c) Ha n tetszőleges pozitív egész, akkor (2n+1 )2 osztható 8-cal. d) Ha a tetszőleges természetes szám, a2 -a osztható 6-tal. e) Ha a tetszőleges természetes szám, a3 -a osztható 6-tal. f) Egy négyzetszám utolsó jegye nem lehet sem 2, sem 3, sem 7, sem 8.
 

Feladat: 16.38.
[65] Igaz-e, hogy a) minden prímszámnak van olyan szomszédja, amelyik osztható 6-tal, és olyan szomszédja is van, amelyik 4-gyel osztható. Például: 17-nek a kisebbik szomszédja 4-gyel, a nagyobbik 6-tal osztható, 37 kisebb szomszédja 4-gyel is, 6-tal is osztható. b) minden prímszámnak van olyan szomszédja, amelyik 3-mal osztható? c) csak a 3-nál nagyobb prímszámokra igaz, hogy mindegyiknek van olyan szomszédja is, amelyik osztható 6-tal, és olyan szomszédja is, amelyik 4-gyel osztható? d) van olyan n egész szám, amelyre n5 -n nem osztható 5-tel?
 

Feladat: 16.39.
[65] Az alábbi egyenlőségek közül melyik azonosság, és melyik nem az? a) (x+1)·(x+2)+(x+1)·(x-2)+(x-1)·(x+2)+(x-1)·(x-2)=4 x2
b) 4 x2 +6x x+2 = 4 x2 x + 4 x2 2 + 6x x + 6x 2 =4x+2 x2 +6+3x
c) 4 x2 +6x x+2 = 4 x2 x + 6x 2 =4x+3x
d) 3 x+y = 3 x + 3 y
e) 4 x2 +6x x+2 = 4 x2 x+2 + 6x x+2
f) ab= ( a+b 2 )2 - ( a-b 2 )2
g) ( a2 +35) a2 +35= a2 +35( a2 +1)
h) 1 1a+1b = ab a+b
i) (x+2 )2 = x2 +4
j) (x-y )2 = x2 -2xy- y2
k) |x-100|+|x+100|=200
l) ( a b )2 = a2 b2
m) a b + c d = a+c b+d
n) 4x+y 2x-y = 2x+y x-y
o) 4x+y 2x-y = 16 x2 - y2 (2x-y)·(4x+y)
p) 3x+4y+2 2x-y+2 = 3x+4y 2x-y
q) 3x+4y 2x-y = 3x+4y·2 2x-y·2
r) (3x+4y)·2 (2x-y)·2 = 3x+4y 2x-y
s) x2 +6x+9 x+3 =x-3
t) 3(a+b+ab)=3a+3b+(3a)·(3b)
 

Feladat: 16.40.
[65] Számítsuk ki a kifejezések helyettesítési értékét a megadott helyen!

a)	x2 -9x+18 x-3		x=917,518
b)	3 x2 -15 x2 -5		x=123,432
c)	x2 -10x+25 x-5		x=909,09
d)	x2 -16 x+4		x=191 615

 

Feladat: 16.41.
[65] Milyen x-re igazak a következő egyenlőségek? a) x2 +4x+4 x+2 =3x+6 b) x2 -9 x+3 =x-3 c) x4 -16 x2 +4 =5 d) (x+1 )2 -(x-2 )2 2x-1 =3
 

Feladat: 16.42.
[65] Milyen számot írhatunk x helyébe, hogy igaz állítást kapjunk?
a) 4x ≤  x2
 
b) 4x =  x2
 
c) 4x >  x2

 

Feladat: 16.43.
[65] Ha azonosságot akarunk igazolni, gyakran célravezető az egyenlőségben szereplő két kifejezést polinommá alakítani. Például itt is:

a4 -4a-1=( a2 +1 )2 -2(a+1 )2

Nézzük meg, hogy azonosság-e ez az egyenlőség!
 

Feladat: 16.44.
[65] Igazoljuk szorzattá alakítással, hogy az alábbi egyenlőség azonosság!

(a-b)·(a+b)-3ac-3bc=(a+b)·(a-b-3c)

 

Feladat: 16.45.
[65] Azonosság-e a következő egyenlőség?

(a+b-2c )2 -(a-b )2 =4(a-c)·(b-c)

 

Feladat: 16.46.
[65] Döntsük el a két oldal polinommá, vagy (ahol az segít) szorzattá alakításával, hogy azonosságok-e a következő egyenlőségek! a) 25·( a2 + b2 )=(3a+4b )2 +(4a-3b )2 b) r4 +4=( r2 +2+2r)·( r2 +2-2r) c) (a-b )2 -(b-a )2 =0 d) (a-b )3 -(b-a )3 =0 e) (a-b )4 -(b-a )4 =0 f) a4 +4 b4 =( a2 +2ab+2 b2 )·( a2 -2ab+2 b2 ) g) (a+b )3 = a3 + b3 +3ab·(a+b) h) (a+b+c )2 -(a+b-c )2 +(a-b+c )2 -(a-b-c )2 =8ac i) a3 - b3 =(a-b )3 -3ab·(a+b) j) a3 ·(b-c)+ b3 ·(c-a)+ c3 ·(a-b)+(b-c)·(c-a)·(a-b)·(a+b+c)=0 k) ( a2 - b2 )·( c2 - d2 )=(ac+bd )2 -(ad+bc )2 l) ( a2 - b2 )·( a2 + b2 )= a4 + a2 · b2 - b4
 

Feladat: 16.47.
[65] Láttuk, hogy a2 - b2 és a3 - b3 is szorzattá alakítható:

a2 - b2 =(a-b)·(a+b)

a3 - b3 =(a-b)·( a2 +ab+ b2 )

a) Alakítsuk szorzattá az a4 - b4 kifejezést! Mutassuk meg, hogy kiemelhető belőle: a-b. Nézzük meg, mivel kell megszorozni, hogy ( a4 - b4 )-t kapjunk! b) Mutassuk meg, hogy az a6 - b6 kifejezésből is kiemelhető a-b. c) Vajon szorzattá alakítható-e, és ha igen, hogyan az a5 - b5 kifejezés? d) Látjuk-e már, hogy a7 - b7 és a8 - b8 milyen szorzattá alakítható?
 

Feladat: 16.48.
[65] Igazoljuk, hogy a következő kifejezésekből kiemelhető a+b. a) a3 + b3 =(a+b)·...... b) a4 - b4 =(a+b)·...... c) a5 + b5 =(a+b)·...... d) Keressünk további hasonló azonosságokat!
 

Feladat: 16.49.
[65] a) Igazoljuk, hogy ha a és b tetszőleges egész számok, akkor az a12 - b12 szám osztható ( a4 - b4 )-nel és ( a3 - b3 )-nal is! a) Mivel osztható még a12 - b12 ? Igazoljuk is az állításokat! c) Bontsuk fel minél több tényező szorzatára a12 - b12 -t!
 

Feladat: 16.50.
[65] Bizonyítsuk be, hogy a) 312 -1 osztható 4-gyel! b) 312 -1 osztható 13-mal! c) Keressük meg ( 1312 -1) néhány további osztóját!
 

Feladat: 16.51.
[65] Keressük meg az alábbi számok néhány osztóját!
a) ( 784 -1)
 
b) ( 785 -1)
 
c) ( 785 +1)

 

Feladat: 16.52.
[65] Hozzuk egyszerűbb alakra! a) 4-2x+ x2 x+2 -x-2
b) a4 - b4 a2 - b2
c) 1 (a-b)·(a-c) + 1 (b-a)·(b-c) + 1 (c-a)·(c-b)
d) a2 -4ab+4 b2 a2 -4 b2
 

Feladat: 16.53.
[65] Oldjuk meg a következő egyenleteket: a) x2 -5x+6 x-2 =4
b) ( x2 -4)·(2 x2 +3)+2( x2 -4)=7 x2 -28
c) 4 x4 -9 2 x2 -3 =11
d) x2 -25 x-5 =10
 

Feladat: 16.54.
[65] Határozzuk meg minél egyszerűbben a következő számok egészre kerekített értékét (lefelé kerekíts)! Ha lehet, számoljunk fejben! a) (4  1 7 )2
b) (6  7 12 )2
c) 19832 1979
d) 19832 1989
 

Feladat: 16.55.
[65] Állapítsuk meg fejben, hogy 1 999 - 1 1001 értékéhez az alábbi számok közül melyik esik a legközelebb!

0,0001       0,00001       0,000001

 

Feladat: 16.56.
[65] Becsüljük meg (számológép használata nélkül), hogy körülbelül mekkora lehet az eltérés 1 6 és 1 6,001 között (harmadik tizedes jegyük különbözik először)!