24. FEJEZET: Vegyes feladatok

Feladat: 24.1.
Elvehetünk egy függőleges állású gyufát, hogy növeljük a kifejezés értékét. Melyik gyufát válasszuk? Keressük meg az összes megoldást!

a) XIX-(XII-VIII)        b) XXII VII + IX IV        c) XII XII - VII VI        d) XVI XXI -( VII VI - XIX VIII )

 

Feladat: 24.2.
Tortákat cikkekre vágunk. Egy vágás a torta közepétől a széléig tart. Próbáljunk minél kevesebb vágással igazságosan elosztani a) öt tortát hat ember között; b) hét tortát tizenkét ember között!
 

Feladat: 24.3.
Melyik szám a nagyobb és miért: 22222222221 22222222223 vagy 33333333331 33333333334 ?
 

Feladat: 24.4.
Melyik tört a nagyobb: 102004 +1 102005 +1 vagy 102005 +1 102006 +1 ?
 

Feladat: 24.5.
András vásárolt két könyvet, majd később eladta azokat, mindkettőt ugyanannyiért. Az egyiken 20%-ot vesztett, a másikon 20%-ot nyert, és így összesen 50 Ft-ot vesztett. Mennyiért vette és adta el a könyveket András?
 

Feladat: 24.6.
Egy téglatest élei egész szám hosszúságúak, felszíne 340 cm2 . Különböző nagyságú oldallapjainak területe úgy aránylik egymáshoz, mint 4:5:8. Mekkora a térfogata?
 

Feladat: 24.7.
Felírtuk egy sorozat első néhány tagját: 1 2 ,       1+3 2+4 ,       1+3+5 2+4+6 ,      … A sorozatot olyan törtekből készítettük, amelyek számlálójában az első n páratlan szám, nevezőjében az első n páros szám összege áll. Számoljuk ki a sorozat 100. tagjának értékét!
 

Feladat: 24.8.
Határozzuk meg, hány korong van a 100. kupacban! (Lásd az 1. ábrát!)

1. ábra

 

Feladat: 24.9.
[65] Gondolj egy számot! Adj hozzá 3-at, az eredményt szorozd meg 4 -gyel, és add hozzá a gondolt számhoz, vegyél el belőle 2-t, a kapott számot oszd el 5-tel, a hányadosból vond ki a gondolt számot! Az eredmény 2, igaz? Hogyan lehet ezt előre tudni?
 

Feladat: 24.10.
Megkértünk valakit, hogy gondoljon egy tetszőleges többjegyű számra, majd számítsa ki a jegyek összegét, és ezt vonja ki a gondolt számból. A kapott különbségből egy tetszőleges, 0-tól különböző számjegyet töröl, és a megmaradt jegyek összegét megmondja (vagy magukat a megmaradt jegyeket ) . Ebből ki tudjuk találni a törölt számjegyet. Hogyan?
 

Feladat: 24.11.
El lehet-e szállítani 7 kéttonnás teherautóval 50 kőtömböt, melyek súlya 250, 251, 252, ... , 299 kg? (A kövek nem darabolhatók, a teherautók csak egyszer vehetők igénybe és mindegyikre legfeljebb 2 tonna teher rakható.)
 

Feladat: 24.12.
[43] Hogyan kell az 1. ábra hiányzó helyeire beírni 3-tól 9-ig a természetes számokat úgy, hogy a számok összege minden sugár és kör mentén ugyanaz legyen?

1. ábra

 

Feladat: 24.13.
Írjuk be a
a) 1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
b) 2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
10
számokat egy 3×3-as táblázat mezőibe úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és mindkét átlóban ugyanannyi legyen a számok összege!
 

Feladat: 24.14.
Egy 3×3-as bűvös négyzet varázsszáma B. (Azaz az egy sorban, egy átlóban, vagy egy oszlopban álló három szám összege mindig B.) Határozzuk meg a bűvös négyzet középső mezőjén álló számot!
 

Feladat: 24.15.
Folytassuk az 1. ábrán látható bűvös négyzetek kitöltését (ugyanannyi legyen a három szám összege mindegyik sorban, oszlopban és a két átlóban is)!

1. ábra

 

Feladat: 24.16.
Elhelyezhető-e a következő 9 szám egy bűvös négyzetbe? a) 1, 3, 6, 11, 17, 42, 57, 58, 70. b) 0, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
 

Feladat: 24.17.
Meg lehet-e adni egy 3×3-as négyzet három mezőjében egy-egy számot úgy, hogy azt többféleképpen is be lehessen fejezni bűvös négyzetté?
 

Feladat: 24.18.
Helyezzük el az 1, 2, 3, ..., 8 számjegyeket az 1. ábrán látható kis körökbe úgy, hogy bármelyik nagyobb körvonal mentén a számok összege ugyanannyi legyen!

1. ábra

 

Feladat: 24.19.
Egy négyzet alakú 3×3-as táblázat mindegyik mezőjébe a 7, 8, 9 számok valamelyikét írjuk be. Kitölthető-e a táblázat úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban és a két átlóban is csupa különböző eredményt adjon a beírt számok összege?
 

Feladat: 24.20.
[98] Helyezzük el a 2,5; 3,2; 3,9; 4,6; 5,3 és 6 számokat az 1. ábrán látható hat karikába úgy, hogy a háromszög oldalain levő három-három karikában a számok összege ugyanannyi legyen!

1. ábra

 

Feladat: 24.21.
[98] Írjuk be a 13-nál kisebb egész számokat az 1. ábrán látható körökbe úgy, hogy a négyzetnek mind a négy oldalán 22 legyen a számok összege!

1. ábra

 

Feladat: 24.22.
Írjuk be az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat az 1. ábrán látható kilenc karikába úgy, hogy a háromszög oldalain található négy-négy szám összege egyenlő legyen a) 20-szal; b) egymással és a lehető legnagyobb legyen.

1. ábra

 

Feladat: 24.23.
Írjunk be 9 különböző pozitív egész egész számot egy 3×3-as táblázat mezőibe úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban ugyanannyi legyen a számok szorzata!
 

Feladat: 24.24.
Egy 4×4-es táblázatban 16 szám volt. Az alábbi táblázatot úgy kaptuk az eredetiből, hogy egy lépésben egyszerre minden számot helyettesítettünk a sorában és oszlopában álló másik hat szám számtani közepével. Hogyan volt kitöltve az eredeti táblázat?
 

Feladat: 24.25.
Egy 3×3-as táblázatban elhelyeztünk 9 számot. Egy ilyen táblázatot bűvös négyzetnek nevezünk, ha a számok összege minden sorban, minden oszlopban ás mindkét főátlóban ugyanaz az érték. Igaz-e, hogy a bűvös négyzet fölső sorában álló számok négyzetének összege mindig megegyezik az alsó sorban álló számok négyzetösszegével?
 

Feladat: 24.26.
Egy 4×4-es táblázat 16 mezőjébe egy-egy egész számot írtak. Tudjuk, hogy a táblázat mindegyik 3×3-as részében (tehát mind a négyben) a 9 szám összege negatív. Következik-e ebből, hogy a 4×4-es táblázatban található 16 szám összege is negatív?
 

Feladat: 24.27.
Egy kocka éleinek hossza 10cm. Minden lapjának közepére ráragasztunk egy-egy 5cm élhosszúságú kockát és a kapott testet kékre festjük. Hány cm2 -t kell befestenünk?
 

Feladat: 24.28.
Egy háromszög egyik szöge háromszorosa egy másik szögének. Bizonyítsd be, hogy fel lehet bontani a háromszöget két egyenlő szárú háromszögre!
 

Feladat: 24.29.
[65] Három szám átlaga 22. A számok közt szerepel egy, ami nagyobb 3-nál és egy, ami nagyobb 61-nél. Mi lehet a harmadik szám?
 

Feladat: 24.30.
[65] Egy szám köbe kisebb ugyanannak a számnak a négyzeténél, a tízszerese pedig nagyobb 5-nél. Mi lehet a szám?
 

Feladat: 24.31.
Egy állatkereskedő 100 aranyért teheneket, juhokat és nyulakat akar vásárolni, összesen 100 darabot. Egy tehén ára 10 arany, egy juhé 3 és egy aranyért két nyulat adnak. Hány tehenet, hány juhot és hány nyulat vásárol, ha mindegyikből vesz legalább egyet?
 

Feladat: 24.32.
Írjunk a _ jellel ellátott helyekre egy-egy számjegyet úgy, hogy egy helyes írásbeli szorzást kapjunk!
 

Feladat: 24.33.
Az alábbi összeadásban a betűk számjegyeket jelentenek: ugyanaz a betű ugyanazt a számjegyet, különböző betűk különböző számjegyeket. Írjuk föl az összeadást számjegyekkel is!
 

Feladat: 24.34.
[65, 91] Egy táncestélyen huszan vettek részt. Mária hét férfival táncolt, Olga nyolccal, Vera kilenccel és így tovább, egészen Nyináig, aki minden férfival táncolt. Kérdés, hány férfi volt az estélyen?
 

Feladat: 24.35.
[65] Egy fiú szamarakat látott legelni a réten. - Jó napot száz szamár- köszöntötte őket. Ekkor az egyik szamár váratlanul megszólalt: - Mi már régen nem vagyunk százan. De ha még egyszer annyian lennénk, mint ahányan vagyunk, meg még félszer annyian, meg még negyedszer annyian, és még Te is beállnál közénk, akkor éppen százan lennénk. Hány szamár legelt a réten?
 

Feladat: 24.36.
[65] Egy Euklidésztől származó feladat:
 

Feladat: 24.37.
[65] Egy lánytól azt kérdezték, hány éves. Így felelt: Hány éves a lány? (XVIII. századi feladat)
 

Feladat: 24.38.
a) Van-e olyan háromjegyű szám, amelyet kétszer egymás mellé írva a kapott hatjegyű szám osztható lesz 13-mal? b) Van-e olyan háromjegyű szám, amelyet kétszer egymás mellé írva a kapott hatjegyű szám nem lesz osztható 13-mal?
 

Feladat: 24.39.
[65] Melyik az a négyjegyű szám, amelynek a legmagasabb helyiértékű jegye 2, ha ezt az első helyről töröljük és utolsónak írjuk, 27 híján az eredeti szám háromszorosát kapjuk?
 

Feladat: 24.40.
[65] Reggel 8-kor B városból autóval elmenekül egy betörő. Később egy rendőr kocsi utána indul, 20 km h -val nagyobb sebességgel, mint a betörő. 1/2 11-kor érte utol. Mikor volt a távolság 5 km közöttük?
 

Feladat: 24.41.
[65] Panni és Mari csokoládét kap. Panni 2 és fél dobozt és még kettőt, Mari egy ugyanolyan dobozzal, mint Panni, és még 11-et. Hány darab csoki volt egy-egy dobozban, ha ki-ki összeszámolva saját csokoládéit, meglepődve tapasztalja, hogy mindkettőjüknek ugyanannyi darab csokijuk van?
 

Feladat: 24.42.
[65] Képzeljünk magunk elé elé egy mutatós órát! a) 2 óra után mikor fedik egymást először az óra mutatói? b) Mikor zárnak be először 72∘ -os szöget?
 

Feladat: 24.43.
[65] Déli 12 óra után hány perccel zár be derékszöget az óra nagy és kismutatója?
 

Feladat: 24.44.
[65] Az I/B osztály létszáma öttel nagyobb az I/A osztályánál. Az I/A osztályba kétszer annyi fiú jár, mint ahány lány, a B-ben viszont azonos a fiúk és a lányok száma. Még azt is tudjuk, hogy hárommal több fiú jár az A-ba, mint a másik osztályba. Hány lány és hány fiú tanul ebben a két osztályban?
 

Feladat: 24.45.
[65] Egy osztály tanulóinak fele matematika, a harmada pedig fizika szakkörre jár. Öten járnak mindkét szakkörre, kilenc diák viszont egyik szakkörnek sem tagja. Határozzuk meg az osztálylétszámot!
 

Feladat: 24.46.
Egy háromjegyű szám (balról) első jegyét töröljük, majd a kapott kétjegyű számot megszorozzuk 7-tel. Eredményül az eredeti háromjegyű számot kapjuk. Mi lehetett a háromjegyű szám?
 

Feladat: 24.47.
Egy ökölvívó mérkőzés több menetből állt. Az első menet után a nézők 20%-a távozott, a második menet után az ottmaradt nézők 20%-a ment el, és így tovább, hasonlóan távozott el a többi menet után is az ottmaradt nézők 20%-a, míg a végén 4096 néző maradt. a) Hány menetből állt a mérkőzés, ha a kezdéskor ottlévő nézők száma nem osztható 4-gyel? b) Hány néző volt a lelátón a mérkőzés elején?
 

Feladat: 24.48.
[65] Péter és Zoli testvérek. Zoli születésekor anyjuk 4-szer, apjuk 5-ször olyan idős volt mint Péter. Az apa 45-ödik születésnapján a család átlagos életkora 25 év. Ki hány éves ekkor?
 

Feladat: 24.49.
[65] Egy négyzet egyik oldalát 2, a másikat 3 cm-rel megnövelve egy 666  cm2 -rel nagyobb területű téglalapot kaptunk. Mekkora a volt négyzet oldala?
 

Feladat: 24.50.
[65] Egy téglalap egyik oldalát 2, a másikat 3 cm-rel megnövelve egy 104 cm2 -rel nagyobb területű négyzetet kapunk. Mekkorák a téglalap oldalai?
 

Feladat: 24.51.
[65] Egy réten a fű egyenletes sebességgel nő. Az összes füvet 70 tehén 24 nap alatt, vagy pedig 30 tehén 60 nap alatt legelné le. Hány tehén legelné le a rét összes füvét 96 nap alatt?
 

Feladat: 24.52.
[65] Két hordó borunk van, az elsőben 220 liter, a másodikban 180 liter. Egységáruk különbözuő. Mindkét hordóból ugyanannyit kiveszünk, és amit az elsőből kivettünk, azt a másodikba, amit pedig a másodikból kivettünk, azt az elsőbe öntjük. Hány litert vettünk ki az egyes hordókból, ha az eljárás után mindegyik keverék literje ugyanannyiba kerül?
 

Feladat: 24.53.
Az autó hűtőrendszerét vízzel töltöttük fel. Eresszük le a víz negyedrészét, és töltsük fel a hűtőt fagyálló folyadékkal. Ismételjük meg ezt az eljárást: eresszük le a hűtőben levő folyadék negyedrészét, majd töltsük fel a hűtőt újar tiszta fagyálló folyadékkal! Ismételjük meg ezt még kétszer! Határozzuk meg a negyedik töltés után a fagyálló folyadék és a víz arányát!
 

Feladat: 24.54.
[65] Három fáradt utazó tért be egy fogadóba. Asztalhoz ülve szilvásgombócot rendeltek. Mire a fogadós kihozta a tál gombócot, mindhárman aludtak. Fél óra múlva az egyik fölébredt, megette a gombócok harmadrészét, aztán tovább aludt. Felébredt a másik is, nem vette észre, hogy egyikük már evett a gombócból. Így ő is megette a maradék gombóc harmadrészét, és ő is tovább aludt. Végül a harmadik is fölébredt, és megette a maradék gombóc harmadát. Ezután még nyolc gombóc maradt a tálon. Hány gombócot hozott be eredetileg a fogadós?
 

Feladat: 24.55.
[65, 2] Egy apa számos gyermeket hagyott hátra, és így végrendelkezett a vagyonáról: Az elsőé legyen 100 korona és a maradék tizede, a másodiké 200 korona és a maradék tizede, a harmadiké 300 korona és a maradék tizede és így tovább. A végén kiderült, hogy mindegyik gyereknek ugyanannyi jutott. Mekkora volt a vagyon, hány gyermeke volt, és mindegyiknek mennyi jutott?
 

Feladat: 24.56.
[65] Aligát és Benkőt 120 km-es nyílegyenes út köti össze. Ugyanabban a percben egy versenykerékpárosokból álló karaván Aligából Benkő irányába, s néhány amatőr kerékpáros Benkőből Aliga felé. Az előbbiek 25 km h , az utóbbiak 15 km h sebességgel haladnak. Abban a pillanatban, amikor Aligáról elindult a versenykerékpárosok raja, egy légy röpült előre 100 km-es sebességgel egészen addig, amíg a szemközti csoporthoz nem ért, s akkor sebességéből semmit se vesztve visszafordult az előbbi csoport irányába. Így repült oda-vissza a két csoport között, s itt is halt tragikus halált a két kerékpáros had véletlen összeütközésekor. Meg tudnád mondani, hogy hősi emlékezetű legyünk hány km-t repült megállás nélkül?
 

Feladat: 24.57.
A 0, 1, 2, …, 9 számjegyek mindegyikét pontosan egyszer felhasználva állíts össze három olyan - tízes számrendszerben felírt - pozitív egész számot, amelyik közül az egyik háromszorosa, a másik ötszöröse a legkisebbiknek!
 

Feladat: 24.58.
Egy természetes számot ,,kedves"-nek hívnak, ha számjegyei két csoportba oszthatók úgy, hogy az egyik csoporban levő számok összege megegyezik a másikban levők összegével. (pld. kedves számok a 66, 352, 1276 stb.) a) Keressük meg a két legkisebb szomszédos kedves számot! b) Keressünk három szomszédos kedves számot!
 

Feladat: 24.59.
A négyzetszámokból a következő tizedestörtet készítjük: 0,149162536…. Mi ennek a számnak a
a) 100-adik
 
b) 1000-edik
tizedesjegye?
 

Feladat: 24.60.
[65, 2] Cambridge-ből Northy-ba két mérföldes szerpentin autóút vezet, az út első mérföldje nehéz hegyi úton a Northy feletti magas hegy tetejére vezet s a második mérföldön ereszkedik alá Northy-ba. Egy neves autóversenyző vállakozott arra, hogy a rendkívül nehéz terep ellenére 30 km h átlagsebességgel jut el Cambridge-ből Northy-ba. A felfelé vezető úton, mint ahogy a hegy tetején elhelyezett megfigyelők konstatálták, csak 15 km h sebességgel tudott haladni, mégis alig néhány másodperces késéssel ért Northy városába. Harmadnap temették. Miben halt meg?
 

Feladat: 24.61.
[65, 90] Egy sielő kiszámította, hogy ha 10 km-t tesz meg óránként, akkor déli 1 órakor ér célba, óránként 15 km-es sebességgel pedig délelőtt 11-kor. Milyen sebességgel haladjon, hogy pontosan délben érkezzen a célba?
 

Feladat: 24.62.
Számítsuk ki az alábbi szorzat értékét! (1- 1 4 )·(1- 1 9 )·(1- 1 16 )·(1- 1 25 )·(1- 1 36 )·(1- 1 49 )·(1- 1 64 )·(1- 1 81 )·(1- 1 100 )
 

Feladat: 24.63.
Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget!

1 101 + 1 102 + 1 103 +…+ 1 200 > 1 2

 

Feladat: 24.64.
Melyek azok az n természetes számok, amelyekre igaz, hogy

1 4 < n n+12 < 1 3

 

Feladat: 24.65.
Határozzuk meg az összes olyan p, q, r számhármast, amelyre igaz, hogy

1 p + 1 q + 1 r = 1 2 !

 

Feladat: 24.66.
A 2, 3, 6 számok érdekes tulajdonsága, hogy összegük 11 és reciprokaik összege: 1 2 + 1 3 + 1 6 =1 Állítsuk elő a 24-et és a 31-et is olyan pozitív egészek összegeként, amelyeknek reciprokait összeadva 1-et kapunk!
 

Feladat: 24.67.
[65] Két szám különbsége 7. A négyzeteik különbsége 91. Melyek ezek a számok?
 

Feladat: 24.68.
Egy üdülőhajó 159 kabinjának minden helyét elfoglalta a 379 utas. A kabinok két-, három-, illetve négyszemélyesek. A hajón nyolcszor annyi kétszemélyes kabin volt, mint ahány négyszemélyes. Mennyi két-, három-, illetve négyszemélyes kabin volt a hajón?
 

Feladat: 24.69.
[65] Keressük meg a leírt bizonyításban a hibát! Induljunk ki abból, hogy a nagyobb, mint b, és jelöljük c-vel azt a számot, amennyivel a nagyobb b-nél; azaz legyen

a=b+c

Szorozzuk a felírt egyenlőség mindkét oldalát előbb a-val aztán b-vel:

a·a=a·(b+c)

és

b·a=b·(b+c)

A két baloldal különbsége ugyanannyi, mint a velük megegyező jobboldalak különbsége:

a·a-b·a=a·(b+c)-b·(b+c)

Adjunk mindkét oldalhoz b·a-t és vegyünk el mindkét oldalból a·(b+c)-t

a·a-a·(b+c)=b·a-b·(b+c)

Most kiemelhetjük a baloldal tagjaiból az a tényezőt, a jobboldal tagjaiból a b tényezőt:

a·(a-(b+c))=b·(a-(b+c))

Osszuk el mindkét oldalt (a-(b+c))-vel! Így kapjuk azt, hogy

a=b,

holott b-nél nagyobb a-ból indultunk ki. Az a és b helyébe bármilyen két számot gondolhatunk, csak arra ügyelve, hogy a nagyobb legyen b-nél, így például lehet a=2 és b=1, vagy a=0,3 és b=0,2 és így tovább. Ekkor az előző gondolatmenet arra az eredményre vezet, hogy 2=1,   0,3=0,2 ... Tehát bármelyik két szám egyenlő.
 

Feladat: 24.70.
[65] Egy háromjegyű számot keresünk. A következőket tudjuk róla:

	1. Jegyeinek összege 19.
	2. A két szélső jegye azonos.
	3. Ha elosztjuk az utolsó két jegyéből álló (kétjegyű) számmal,
akkor a hányados 13, a maradék pedig 16.

Melyik ez a két szám?
 

Feladat: 24.71.
[65] Valaki 5 órán át gyalogolt. Először sík úton, majd hegynek fel, aztán megfordult, és ugyanazon az úton tért vissza kiindulási pontjához. Sík talajon 4, hegynek fel 3, völgynek le 6 km-t tett meg óránként. Mekkora utat járt be?
 

Feladat: 24.72.
[65] Ketten lovagolnak egy körpályán. Ha szemben haladna, akkor ötször olyan sűrűn találkoznak, mintha egy irányban haladnának. Határozzuk meg a lovasok sebességének arányát!
 

Feladat: 24.73.
[65, 92] Mária és Anna életkorának összege 56 év. Mária kétszer olyan idős, mint Anna volt akkor, amikor Mária feleannyi éves volt, mint Anna lesz akkor, amikor Anna háromszor annyi idős lesz, mint Mária volt akkor, amikor Mária háromszor olyan idős volt, mint Anna. Melyikük hány éves?
 

Feladat: 24.74.
[65] Három egymást követő egész szám szorzata az összegük 16-szorosa. Melyek ezek a számok?
 

Feladat: 24.75.
[65] a) Négy egymást követő szám szorzata 3024. Melyik a legkisebb? b) Három egymást követő szám szorzata 2730. Melyik a középső? c) Három egymást követő szám szorzata 0. Melyik a legnagyobb? d) Helyettesítsük az a)-c) feladatokban a ,,szorzata" szót az ,,összege" szóra és oldjuk meg az így kapott feladatokat is!
 

Feladat: 24.76.
[65] Szabályt keresünk. Ezekből a példákból induljunk ki: 11·19=209 24·26=624 53·57=3021 72·78=5616 stb. Megfigyelések alapján fogalmazzunk meg szabályt és próbáljuk meg igazolni!
 

Feladat: 24.77.
[65] Mi lehet az utolsó négy jegye egy 25-re végződő szám négyzetének?
 

Feladat: 24.78.
Számoljuk ki 3421548832 négyzetét zsebszámológép segítségével! (A pontos értéket keressük.)
 

Feladat: 24.79.
[65] Milyen x-re teljesülnek a következő egyenletek?
a) 2x · 5x =1000
 
b) 10012 = 1000x
 
c) 98 : 32x =81
 
d) 3x+1 · 2x-1 = 610 ·9
 
e) 2· 3x+1 -6· 3x-1 - 3x =9

 

Feladat: 24.80.
[65] Milyen x-re igaz? 3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 40 3
 

Feladat: 24.81.
[40] Határozzuk meg a 2000 db kilencesből álló szám köbében a számjegyek összegét!
 

Feladat: 24.82.
[65, 91] Egy motorversenyen három motorkerékpáros indul. A második motorkerékpáros, aki óránként 15 km-rel kevesebbet tesz meg az elsőnél, és 3 km-rel többet a harmadiknál, 12 perccel később ér célba, mint az első és 3 perccel korábban, mint a harmadik. Határozzuk meg: a)a versenypálya hosszát; b)a motorkerékpárosok sebességét; c)a motorok versenyidejét.
 

Feladat: 24.83.
[65] A-ból B-be, B-ből A-ba egyszerre indul egy-egy vonat. Találkozásuk után 4, illetve 9 órával érnek célba. Mennyi ideig tartott a teljes utazás az egyik és a másik vonaton?
 

Feladat: 24.84.
[65] Valaki csónakjával a Dunán felfelé evez. Induláskor - épp 8 órakor - a csónakból kiesik egy labda, de ezt csak később veszi észre. Amikor észreveszi, visszafordul, és ezután negyedóra múlva éri el a labdát. Ekkor mennyi az idő?
 

Feladat: 24.85.
[65] Egy gőzhajó halad lefelé a folyón A városból B városba 5 órán át. Visszafelé, ár ellen 7 óra hosszat megy. Útközben sehol sem áll meg, és végig maximális sebességgel halad. Hány óra alatt sodorna le a víz A városból B városba egy fadarabot?
 

Feladat: 24.86.
[65] Egy úton ugyanabban az időpontban, azonos irányban három jármű indul el az A, B, C helyekről. B az A és C között félúton van. Az A-ból induló jármű indulása után 2 óra múlva éri utol a B-ből indulót, míg a B-ből induló 3 óra múlva éri utol a C-ből indulót. Mikor találkozik az A-ból induló jármű a C-ből indulóval?
 

Feladat: 24.87.
[65] A-ból B-be reggel 8 órakor indul el egy gyalogos és egy kerékpáros. A kerékpáros B-be érve azonnal visszafordul, és 9 órakor találkozik a gyalogossal. A találkozás után a kerékpáros megfordul, és mind a ketten B felé haladnak. A kerékpáros B-be érve ismét visszafordul és 9 óra 40 perckor újra találkozik a gyalogossal. Mikor ér a gyalogos B -be?
 

Feladat: 24.88.
[65, 105] Egyszer egy úszó a csónakból a folyóba ugrott. Bizonyos ideig ár ellen úszott, majd megfordult, s visszaúszott a csónakhoz. Melyik út vett több időt igénybe: az-e, amelyeket az ár ellen tett meg, vagy az, amelyet árral? (Tételezzzük fel, hogy mindkét irányban ugyanakkora erővel és ugyanolyan technikával úszott.)
 

Feladat: 24.89.
[65, 105] Két sportevezős edzést tartott. Egyszerre indultak, az egyik a folyón, a másik a folyó melletti tavon, és egyenlő távolságokat is tettek meg, egyszer oda, egyszer vissza. A folyón evező először az ár irányában, majd az ár ellen evezett. Tegyük fel, hogy a két sportoló ugyanolyan jól evezett, és felszerelésük is egyforma volt. Melyik ért vissza hamarabb kikindulási helyére? (A forduláshoz szükséges időt nem kell számításba vennünk.)
 

Feladat: 24.90.
[65, 105] Két motorkerékpáros egy időben indult el kirándulni. Egyenlő távolságot tettek meg, s egy időben értek haza. Az úton mindketten megpihentek. Annyit tudunk, hogy az egyik kétszer annyi ideig volt úton, mint amennyit a másik pihent, a másik pedig háromszor annyit volt úton, mint amennyit az első pihent. Melyik haladt gyorsabban?
 

Feladat: 24.91.
[65, 105] A műhelyben négy óra is mutatta a pontos időt: egy falióra, egy állóóra, egy ébresztőóra és egy karóra. A falióra a pontos időjelzéshez képest óránként 2 percet késett, az állóóra a faliórához képest óránként két percet sietett, az ébresztőóra az állóórához viszonyítva óránként két percet késett, a karóra pedig az ébresztőórához két percet sietett. Déli 12-órakor valamennyit a pontos időre állították. Mennyit mutat a karóra a 19 órai pontos időjelzéskor?
 

Feladat: 24.92.
[65, 2] Aligát és Benkőt 120 km-es nyílegyenes út köti össze. Ugyanabban a percben indul el egy versenykerékpárosokból álló karaván Aligából Benkő irányába, s néhány amatőr kerékpáros Benkőből Aliga felé. Az előbbiek 25   km h , az utóbbiak 15  km h sebességgel haladnak. Abban a pillanatban, amikor Aligáról elindult a versenykerékpárosok raja, egy légy röpült előre 100  km h -ás sebességgel egészen addig, amíg a szemközti csoporthoz nem ért, s akkor sebességéből semmit sem vesztve visszafordult az előbbi csoport irányába. Igy repült oda-vissza a két csoport között, s itt is halt tragikus halált a két kerékpáros had véletlen összeütközésekor. Meg tudnánk mondani, hogy hősi emlékezetű legyünk hány km-t repült megállás nélkül?
 

Feladat: 24.93.
[65, 15] A és B városból egyszerre indul két gépkocsi egymással szemben. Átlagsebességük állandó, a sebességük aránya 5:4. (Az A-ból induló gépkocsinak nagyobb a sebessége.) Menet közben találkoznak, majd beérve az A, illetve a B városba, azonnal visszafordulnak, így újbol találkoznak. A második találkozó 24 km-rel közelebb történik az A városhoz, mint az első. Milyen messze van egymástól a két város?
 

Feladat: 24.94.
[65, 15] Jancsi a falujából ( A) gyalog ment a szomszéd községbe ( B), ahonnét vele egyidőben elindult Béla is az A faluba. Útközben találkoztak és üdvözölték egymást, majd tovább mentek. A faluba érve mindketten egy-egy órát ott tartózkodtak, majd hazafelé vették az útjukat. Ekkor ismét találkoztak. A találkozásuk első helye A falutól 500 méterre, másodszor a B falutól 300 méterre volt. Milyen távol van egymástól a szóbanforgó két falu és mennyi a két fiú sebességének aránya?
 

Feladat: 24.95.
[65] Keressük meg azokat az x, y (és z) természetes számokat, amelyek kielégítik az alábbi egyenleteket!
a) x+y+z=5
 
b) y=2+ 18 x-7
 
c) (x+2)·(y-6)=42
 
d) 2xy-x-2y=5
 
e) 7 x2 -4 y2 =21
a')-e') Keressünk a fenti egyenletekhez még minél több valós megoldást, sejtsük meg és ábrázoljuk a teljes megoldáshalmazt a síkban illetve a térben.
 

Feladat: 24.96.
[65] a) Melyek azok az x, y prímszámok, amelyekre

x2 -2 y2 =1?

b) Keressünk az adott egyenlethez még minél több valós megoldást, sejtsük meg és ábrázoljuk a teljes megoldáshalmazt a síkban.
 

Feladat: 24.97.
Hümér három évvel ezelőtt betett egy bizonyos összeget a bankba. Ma lekérdezte és kiderült, hogy jelenleg 20 000 Ft van a számláján. a) Mennyi pénzt tett be három éve b) és mennyi pénze lesz Hümérnek három év múlva a bankszámlán, ha a kamat megbízhatóan mindig évi 15%-os? c) Mennyi pénzt tegyen még most be Hümér a bankba 20 000 Ft-ja mellé, ha három év múlva 40 000 Ft-ot szeretne kivenni?
 

Feladat: 24.98.
[65] Két háromjegyű szám összege 999. Ha a két számot egymás mellé írjuk, és tizedesvesszővel választjuk el, akkor az egyik esetben (amikor a nagyobb szám van a tizedesvessző előtt) hatszor akkora számot kapunk, mint a másik esetben. Melyik ez a két szám?
 

Feladat: 24.99.
[38] Egy vonat egy egyenes alagúton állandó sebességgel halad át. A vonat elején haladó mozdonynak az alagútba érkezésétől számítva 20 másodperc telik el addig, amíg a szerelvény utolsó kocsija is elhagyja az alagutat. Az alagút mennyezetén levő lámpák akkor kezdenek el világítani, amikor a mozdony közvetlenül alájuk ér, és akkor alszanak ki, amikor az utolsó kocsi is elhaladt alattuk. Milyen hosszú a vonat, ha az alagút 300 méter hosszú, és mindegyik mennyezeti lámpa pontosan 10 másodpercig ég?
 

Feladat: 24.100.
[65] Egy bűnügy felderítéséhez tanukat hallgattak ki. Három, az országúton egyenletes sebességgel haladó autó útját kell rekonstruálni. A tanuk elmondják , hogy amikor a fekete kocsi a 38-as kilométerkőnél volt, akkor a piros kocsi a 40-es, a zöld a 42-es kilométerkő mellett robogott el. Később, amikor a fekete és a piros kocsi a 42-es kilométerkőnél összetalálkozott, a zöld kocsi a 45-ös kilométerkőnél tartott. Megtudjuk-e mondani ezek alapján, hogy: a) hol találkozott össze a fekete és a zöld kocsi, és hol volt ekkor a piros? b) hol találkozott össze a piros és a zöld kocsi, és hol volt ekkor a fekete?
 

Feladat: 24.101.
[65] Egy róka üldözőbe vesz egy nyulat. Kezdetben 60m a róka hátránya, de háromszor olyan gyorsan fut, mint a nyúl. Mikor a nyúl észreveszi, hogy a róka elért odáig, ahol ő volt kezdetben, megkétszerezi a sebességét. Hol éri utol a róka a nyulat?
 

Feladat: 24.102.
[65, 103] Thomas Alva Edisonnak (1847-1931) jó érzéke volt volt a szellemes tréfákhoz. Nagyszámú vendégserege gyakran csodálkozott, hogy csak milyen nagy fáradtsággal lehet a ház előtti kertajtót kinyitni. Végül is az egyik barátja így szólt a nagy feltalálóhoz: ,,Egy ilyen technikai zseni, mint te, igazán megcsinálhatná a kertajtót, hogy rendesen működjön!" Edison mosolyogva így válaszolt: ,,A kapumat meglehetősen értelmesen terveztem meg. Rákötöttem a ciszternára. Mindenki, aki hozzám jön, 20 liter vizet pumpál a ciszternába." Amikor Edison 20 literes edényről 25 literes edényre tért át, 12 látogatóval kevesebb kellett csak a ciszterna megtöltéséhez. Mekkora volt a ciszterna befogadóképessége?
 

Feladat: 24.103.
[65, 91] Egy ízben párhuzamosan haladva a villamossínekkel, észrevettem, hogy minden 12 percben megelőz engem egy villamos, és minden 4 percben találkozom egy szembejövő villamossal. (Én is és a villamos is egyenletes sebességgel haladtunk.) Hány percenként indulnak a villamosok a végállomásról?
 

Feladat: 24.104.
Figyeljük meg a következő összeadásokat:

15=1+2+3+4+5, 1353=13+14+15+…+52+53, 133533=133+134+…+532+533.

Mennyit kapunk, ha 1333-tól 5333-ig összeadjuk az egész számokat?
 

Feladat: 24.105.
Igaz-e, hogy a következő alakú, tízes számrendszerben fölírt számok mind négyzetszámok: 49, 4489, 444889, 44448889, … ?
 

Feladat: 24.106.
Egy ember azt állítja, hogy ránézésre meg tudja állapítani egy fáról, hogy hány levele van. Hogyan tudnánk meggyőződni arról, hogy igazat beszél-e?
 

Feladat: 24.107.
Létezik-e olyan tíz különböző számjegyből álló szám, amelynek kétszerese is tíz különböző számjegyből áll?
 

Feladat: 24.108.
[64] Az ellenség körülzárt egy várat. Még 3 év és a védőknek meg kell adniuk magukat, vagy éhenhalnak. Győznek viszont, ha sikerül felépíteniük egy 9 emeletes tornyot és onnan egy napig tudják lőni az ellenséget. Az a nehézség, hogy míg a védők csak éjszaka építkezhetnek és csak két emeletnyit tudnak elkészíteni egy éjjel, addig az ostromlók minden reggel szétlőnek egy teljes tornyot, akár milyen magas is az. Ezért a védőknek építési tervet kell készíteni. Valami ilyesformát:

	1. Jegyeinek összege 19.
	2. A két szélső jegye azonos.
	3. Ha elosztjuk az utolsó két jegyéből álló (kétjegyű) számmal,
akkor a hányados 13, a maradék pedig 16.	1. nap: két egyemeletes torony építése.
	2. nap: egy egyemeletes torony építése
	és egy korábban épített toronyra egy második emelet építése.
	stb.

Van-e esélye a védőknek, vagy biztosan nyernek a támadók?
 

Feladat: 24.109.
Számítógépen küldtem el néhány műveleti azonosságot, de a levelező szoftver a műveleti jeleket nem ismerte és más jeleket írt be a helyükre. Mik lehettek az eredeti műveleti jelek? (Nem csak egy megoldás lehetséges!) a) ( a $ b) # c = ( a # c) $ ( b # c) b) ( a @ b) % c = ( a % c) @ b c) ( a § b) * c = a § ( b § c)
 

Feladat: 24.110.
Két egyenlő magasságú gyertyát 18 órakor meggyújtottak. Az egyik 22 órakor, a másik 21 órakor aludt el, miután tövig égtek. Közben a magasságuk egyenletesen csökkent. Hány órakor volt az egyik gyertyacsonk kétszer olyan magas, mint a másik?
 

Feladat: 24.111.
[65] Milyen természetes számokra igazak a következő egyenlőségek? a) x2 - y2 =1984 b) x2 - y2 =1986 c) xy2 +2xy+x-243y=0 d) 2 x2 -3xy+8xy-12 y2 =28
 

Feladat: 24.112.
[65] Egy számhoz hozzáadjuk a reciprokát, a) az összeg 2. Mi lehet ez a szám? Csak egy ilyen van? b) az összeg 10,1. Mi lehet a szám? Hány ilyen van? c) az összeg 1. Mi lehet a szám? d) Mit állíthatunk általában egy pozitív számnak és a reciprokának az összegéről? Igazoljuk a sejtést!
 

Feladat: 24.113.
[65] a) Vegyünk két számot, és az összegüket szorozzuk meg a két szám reciprokának összegével! Több esetben is végezzük el a számolást! b) Igaz-e, hogy mindig 2-nél nagyobb a szorzat? c) Igaz-e, hogy mindig 6-nál is nagyobb a szorzat? d) Fogalmazzunk meg sejtést arról, hogy két pozitív szám összegének és reciproka összegének a szorzata legalább mekkora! A következő egyenlőtlenség jobb oldalára a legnagyobb olyan számot írjuk, amellyel mindig igaz az egyenlőség!

(a+b)·( 1 a + 1 b ) ≥ …       (a > 0, b > 0)

e) Igazoljuk a sejtést!
 

Feladat: 24.114.
[65] a) Vegyünk három pozitív egész számot, adjuk össze őket és az összeget szorozzuk meg a számok reciprokának összegével! Végezzük el ezt több számhármassal is! b) Fogalmazzunk meg sejtést arról, hogy legalább mekkora ez a szorzat! A következő egyenlőtlenség jobb oldalára a legnagyobb olyan számot írjuk, amellyel mindig igaz az egyenlőtlenség!

(a+b+c)·( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ …       (a > 0, b > 0, c > 0)

c) Igazoljuk a sejtést!
 

Feladat: 24.115.
Szögei szerint mely háromszögek oldalaira teljesül az a) a2 b2 + c4 = b4 + a2 c2 b) 2(a+b)=a+c+a-c összefüggés?