2. FEJEZET: Egyenlőtlenségek

Feladat: 2.1.
[170] Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket! a) 3x+5 7-3x <4; b) x2 -1 x2 +1 < x3 -1 x3 +1 ; c) x+1-x< 1 100 ;
 

Feladat: 2.2.
[170] Adottak az a1 b1 , a2 b2 , ... , an bn törtek úgy, hogy bi >0 ( i=1,2,…,n). Bizonyítsuk be, hogy az a1 + a2 +…+ an b1 + b2 +…+ bn tört értéke az adott törtek közül a legnagyobb és a legkisebb értéke között van!
 

Feladat: 2.3.
Az alábbi sorozatok közül melyik korlátos (felülről), azaz melyikhez van olyan K szám amelynél a sorozat egyik eleme sem nagyobb? Döntsük el, hogy van-e ilyen K szám és keressük meg a legkisebbet az alábbi esetekben! a) an =1+ 1 2 + 1 4 +…+ 1 2n ; b) bn =1+ 1 3 + 1 9 +…+ 1 3n ; c) cn =1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ; d) dn = 1 1·2 + 1 2·3 +…+ 1 n·(n+1) .
 

Feladat: 2.4.
Korlátos-e az fn =1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 sorozat?
 

Feladat: 2.5.
Egy trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és c. Fejezzük ki a) a trapéz középvonalának; b) a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamos egyenes trapézon belüli részének hosszát a-val és c-vel. c) Az a), b) feladatrészekben definiált szakaszok közül melyik a hosszabb? Adjunk a bizonyításra geometriai és algebrai gondolatmenetet is!
 

Feladat: 2.6.
(Átlagsebesség az idő illetve az út egyenlősége mellett) a) Egy autó egy ideig v1 sebességgel, majd ugyanannyi ideig v2 sebességgel haladt. Határozzuk meg a teljes időtartamra vonatkozó átlagsebességét! b) Egy autó A városból B városba v1 sebességgel haladt, majd visszafelé, B városból A városba v2 sebességgel ment. Határozzuk meg az utazás teljes időtartamára vonatkozó átlagsebességét!
 

Feladat: 2.7.
Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóját a CT magasság az AT=p, BT=q szakaszokra osztja. Fejezzük ki a a) háromszög CT magasságát; b) háromszög CF súlyvonalát; c) a CT magasság CF súlyvonalra vonatkozó merőleges vetületének hosszát a p, q mennyiségek segítségével!
 

Feladat: 2.8.
a) Adott egy téglalap kerülete ( K). Milyen határok között lehet a területe ( T)? b) Adott egy téglalap területe ( T). Milyen határok között lehet a kerülete ( K)?
 

Feladat: 2.9.
Mutassuk meg, hogy ha a,b∈ R+ , akkor
a) a2 + b2 2 ≥ a+b 2 ;
 
b) a+b 2 ≥a·b;
 
c) a·b≥ 2ab a+b
és az egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha a=b.
 

Feladat: 2.10.
a) Mutassuk meg, hogy ha x∈ R+ , akkor

x+ 1 x ≥2.

b) Mutassuk meg, hogy ha x∈R, akkor

|x+ 1 x |≥2.

 

Feladat: 2.11.
Igazoljuk, hogy ha a és b pozitív számok, akkor a b + b a ≥2.
 

Feladat: 2.12.
Az xy=1 egyenletű hiperbolának melyek azok a pontjai, amelyek a koordinátarendszer origójához a legközelebb vannak?
 

Feladat: 2.13.
Mennyi a valós számok halmazán értelmezett

g(x)= x2 +2 x2 +1

függvény minimuma?
 

Feladat: 2.14.
Hogyan kell egy szakaszt két részre osztani, hogy a két részre emelt négyzetek (lásd az 1. ábrát) területének összege
a) minimális;
 
b) maximális
legyen?

1. ábra

 

Feladat: 2.15.
Igazoljuk, hogy ha két pozitív szám összege állandó, akkor a szorzatuk annál nagyobb, minél kisebb a különbségük. A négyzetösszegük pedig annál nagyobb, minél nagyobb a különbségük.
 

Feladat: 2.16.
A Kökörcsin, Zsombolyai, Ulászló utcák és a Bartók Béla út négyszöget alkotnak. A Kökörcsin utca és a Zsombolyai utca kereszeteződéséből akarunk eljutni a másik két utca kereszteződédébe egy kisgyerekkel. Mindenképpen a rövidebbik utat kell választanunk. A két irányba nézve világos, hogy bármerre is megyük a következő saroknál derékszögben kell elfordulnunk mégpedig az út fele előtt; illetve az is, hogy a Zsombolyai utcán valamivel többet kell mennünk, mint ha a Kökörcsinen mennénk. Merre menjünk?
 

Feladat: 2.17.
[169] Mutassuk meg, hogy ha 0<b≤a, akkor

1 8 (a-b )2 a ≤ a+b 2 -ab≤ 1 8 (a-b )2 b .

 

Feladat: 2.18.
[170, 32] Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b pozitívszámok eleget tesznek az a+b=1 feltételnek, akkor érvényes az

(a+ 1 a )2 + (b+ 1 b )2 ≥ 25 2

egyenlőtlenség. Milyen esetben jutunk egyenlőséghez?
 

Feladat: 2.19.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha a1 , a2 , a3 és a4 pozitív számok, akkor

a1 + a2 + a3 + a4 4 ≥ a1 a2 a3 a4 4.

(1)

Mikor áll fenn az egyenlőség? b) Hány számra és pontosan milyen formában írható még fel az (1) egyenlőtlenséggel analóg összefüggés?
 

Feladat: 2.20.
Igazoljuk, hogy ha a, b, c pozitív számok, akkor

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

 

Feladat: 2.21.
Igazoljuk, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor

2ab a+b + 2bc b+c + 2ca c+a ≤a+b+c.

 

Feladat: 2.22.
Igazoljuk, hogy ha a1 , a2 , ... , an pozitív számok és a1 a2 … an =1, akkor

(1+ a1 )(1+ a2 )…(1+ an )≥ 2n .

 

Feladat: 2.23.
[169] Igazoljuk, hogy x,y,z∈R esetén

x2 + y2 + z2 ≥x y2 + z2 +y x2 + z2 .

Mikor teljesül az egyenlőség?
 

Feladat: 2.24.
Mutassuk meg, hogy ha az a1 , a2 , a3 pozitív számok összege 1, akkor

4 a1 +1+4 a2 +1+4 a3 +1<5.

(Lásd még a 2.47. feladatot!)
 

Feladat: 2.25.
Határozzuk meg az

f(x,y)= x2 + y2 -xy-x-y+1

kétváltozós függvény szélsőértékeit ( x,y∈R)!
 

Feladat: 2.26.
Igazoljuk, hogy x2 +xy+ y2 3 a számtani A(x,y) és a négyzetes N(x,y) közép közé esik. Vajon ezek mértani közepénél A(x,y)N(x,y) kisebb, nagyobb-e mindig?
 

Feladat: 2.27.
Igazoljuk, hogy x,y,z∈ R2 esetén

x+y+z 3 ≥xyz3.

Mikor teljesül az egyenlőség?
 

Feladat: 2.28.
Bizonyítsuk be, az n tagú számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget. Azaz legyen n pozitív egész, a1 ,  a2 , …,  an pozitív számok, ekkor

a1 + a2 +…+ an n ≥ a1 a2 … a4 n.

(1)

Mikor áll fenn az egyenlőség?
 

Feladat: 2.29.
Igazoljuk, hogy ha x és y pozitív számok, akkor x3 + y3 +1≥3xy.
 

Feladat: 2.30.
Melyik az a legkisebb λ valós szám, amelyre minden valós x, y számra teljesül az x4 + y4 +λ≥8xy egyenlőtlenség?
 

Feladat: 2.31.
Mutassuk meg, hogy tetszőleges pozitív a és b számra érvényes a következő egyenlőtlenség:

abn n+1≤ a+nb n+1 .

 

Feladat: 2.32.
Egy 30 cm oldalú négyzetlap sarkaiból kis négyzeteket vágunk le és a levágott sarkok közti részeket derékszögben felhajtjuk, hogy felül nyitott dobozt hozzunk létre. Hány cm oldalhosszúságú négyzeteket vágjunk le, hogy a létrejövő doboz térfogata a lehető legnagyobb legyen?
 

Feladat: 2.33.
A p(x)=3 x3 -7 x2 +4 harmadfokú függvénynek a [-1;1] intervallumon felvett maximumát keressük. Dr. Agy szerint p(x)=(2-x)(1-x)(3x+2), így a [-1;- 2 3 ) intervallumon p<0 és [- 2 3 ;1]-ben p≥0. Elég az utóbbi intervallumban vizsgálni a függvényt, ahol (2-x), (1-x) és (3x+2) is nemnegatív. Dr. Agy ezután a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget alkalmazza:

2p(x)3=(4-2x)(1-x)(3x+2)3≤ (4-2x)+(1-x)+(3x+2) 3 = 7 3 ,

tehát Dr. Agy szerint f maximuma a vizsgált intervallumon 73 33 ·2 ≈6,35. Dr. Kekec szerint p(x)=4- x2 (7-3x), és a vizsgált intervallumban (7-3x)<0, így p(x)≤4, Dr. Agy eredménye nem lehet helyes. Jó-e Dr. Agy eljárása vagy Dr. Kekecnek igaza van? Mennyi a kérdezett maximum?
 

Feladat: 2.34.
Ebben a feladatban a g(x)= x3 -3 x2 +3 függvényt vizsgáljuk. a) Készítsünk értéktáblázatot! b) Vázoljuk a függvény grafikonját! c) Adjuk meg a függvény lokális szélsőértékeit, a szélsőértékhelyeket! d) Mely y értékeket hányszor vesz fel a függvény? Döntsük el a kérdést minden valós y számra!
 

Feladat: 2.35.
Adjuk meg a h(x)=x·(4000- x3 ) függvény maximumát az x∈[0;100] intervallumon!
 

Feladat: 2.36.
Ha n pozitív egész és Δ valós szám ( Δ≥-n), akkor jelölje en,Δ azon n tényezőből álló szorzatok maximumát, amelyekben a tényezők nemnegatívak és összegük (n+Δ). a) Számítsuk ki és jelenítsük meg táblázatban en,Δ értékeit, ha 100≤n≤105 és -3≤Δ≤3. b) Vizsgáljuk a táblázatot! Fogalmazzunk meg az en,Δ számok nagyságrendi és algebrai viszonyaival kapcsolatos sejtéseket! c) Próbáljuk meg bebizonyítani az észrevételeket!
 

Feladat: 2.37.
A 2.26 feladatot általánosítsuk kettőnél több számra!
 

Feladat: 2.38.
Ha a1 < a2 és b1 < b2 , akkor a1 b1 + a2 b2 és a1 b2 + a2 b1 közül melyik a nagyobb? Mennyivel?
 

Feladat: 2.39.
Ha a1 < a2 < a3 és b1 < b2 < b3 , akkor az

( a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ),      ( a1 b1 + a2 b3 + a3 b2 ),      ( a1 b2 + a2 b1 + a3 b3 ),

( a1 b2 + a2 b3 + a3 b1 ),      ( a1 b3 + a2 b1 + a3 b2 ),      ( a1 b3 + a2 b2 + a3 b1 )

szorzatösszegek közül melyik a
a) legkisebb?
 
b) legnagyobb?

 

Feladat: 2.40.
(Rendezési tétel vagy Szűcs Adolf egyenlőtlenség) Mutassuk meg, hogy ha a1 ≤ a2 ≤…≤ an és b1 ≤ b2 ≤…≤ bn ( ai , bi ∈R) és π az (1,2,…,n) számok tetszőleges permutációja, akkor

a1 b1 + a2 b2 +…+ an bn ≥ a1 bπ(1) + a2 bπ(2) +…+ an bπ(n) ≥ a1 bn + a2 bn-1 +…+ an b1 .

Mikor teljesülhet az egyik illetve a másik egyenlőség?
 

Feladat: 2.41.
Az alábbi két kifejezésben a1 , a2 , a3 , a4 tetszőleges valós számok lehetnek. Igaz-e, hogy a két kifejezés közül az egyiknek az értéke mindig nagyobb, mint a másiké? Ha igen, akkor igazoljuk az egyenlőtlenséget, ha nem, akkor hozzunk példát arra, hogy az egyik és arra, hogy a másik oldal a nagyobb! a) a1 2 + a2 2 + a3 2 + a4 2 és 2( a1 a4 + a2 a3 ); b) a1 a4 + a2 a3 + a3 a2 + a4 a1 és a1 a2 + a2 a3 + a3 a4 + a4 a1 .
 

Feladat: 2.42.
Mutassuk meg, hogy ha a1 , a2 , a3 , a4 és a5 tetszőleges pozitív számok, akkor

a1 a2 + a2 a3 + a3 a4 + a4 a5 + a5 a1 ≥5.

 

Feladat: 2.43.
Adott egy háromszög alapja és magassága. Mikor lesz legkisebb a kerülete?
 

Feladat: 2.44.
Milyen határok között változhat a1 b1 + a2 b2 értéke, ha a1 2 + a2 2 =1 és b1 2 + b2 2 =1?
 

Feladat: 2.45.
(A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség) Legyenek a1 , a2 , ... , an és b1 , b2 , ... , bn tetszőleges valós számok. Igazoljuk az

| a1 b1 + a2 b2 +…+ an bn |≤( a1 2 + a2 2 +…+ an 2 )·( b1 2 + b2 2 +…+ bn 2 )

(1)

egyenlőtlenséget
a) n=3;
 
b) 3<n∈N
esetén! c) Mikor teljesül az egyenlőség?
 

Feladat: 2.46.
Mutassuk meg, hogy ha x1 , x2 , x3 tetszőleges valós számok, akkor

( 1 2 x1 + 1 3 x2 + 1 6 x3 )2 ≤ 1 2 x1 2 + 1 3 x2 2 + 1 6 x3 2 .

(1)

 

Feladat: 2.47.
Mutassuk meg, hogy ha az a1 , a2 , a3 pozitív számok összege 1, akkor

4 a1 +1+4 a2 +1+4 a3 +1≤21.

 

Feladat: 2.48.
Bizonyítsuk be, hogy x,y>0 esetén (a+b )2 x+y ≤ a2 x + b2 y . Mikor van egyenlőség?
 

Feladat: 2.49.
Igazoljuk, hogy x1 , x2 ,…, xn >0 esetén ( a1 + a2 +…+ an )2 x1 + x2 +…+ xn ≤ a1 2 x1 +…+ an 2 xn . Mikor teljesül az egyenlőség?
 

Feladat: 2.50.
Igazoljuk a fenti 2.49 feladatbeli egyenlőtlenség ekvivalens a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszij egyenlőtlenséggel.
 

Feladat: 2.51.
Legyen a,b,x,y>0 és parkettázzuk ki a síkot a×b-s és x×y-os téglalapokkal mégpedig úgy (lásd az 1. ábrát) , hogy az origót körülvevő három téglalap ,,bal alsó" és ,,jobb felső" csúcsai ( y≥b-t feltételezve:

{(0;0),(a,b)}, {(-x;b-y),(0;b)}, {(0;-y),(x;0)}.

(A b>y eset hasonlóan.) Keressünk alkalmas parallelogrammát az ábrán, amellyel geometriailag bebizonyíthatjuk a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséget pozitív számpárok esetén.

1. ábra

 

Feladat: 2.52.
Adott pozitív számokból álló n darab szorzat a1 b1 ≥1,…, an bn ≥1. Adott még egy súlyozás, vagyis p1 , p2 ,…, pn ≥0,  p1 + p2 +…+ pn =1. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a súlyozott összegek szorzata is legalább 1, azaz

( a1 p1 + a2 p2 +…+ an pn )( b1 p1 + b2 p2 +…+ bn pn )≥1.

 

Feladat: 2.53.
Igazoljuk a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszij egyenlőtlenséget több tényezőre, például háromra:

(∑ ai bi ci )2 ≤(∑ ai 2 )(∑ bi 2 )(∑ ci 2 ).

 

Feladat: 2.54.
a) Mutassuk meg, hogy az f(x)= x2 függvény grafikonja konvex. b) Igazoljuk a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget n számra! Tehát mutassuk meg, hogy ha a1 , a2 , ... , an nemnegatív számok, akkor

a1 + a2 +…+ an n ≤ a1 2 + a2 2 +…+ an 2 n .

 

Feladat: 2.55.
a) Mutassuk meg, hogy az f(x)= 1 x függvény grafikonja az x∈ R+ értelmezési tartományon konvex. b) Igazoljuk a számtani és harmonikus közép közti egyenlőtlenséget n számra! Tehát mutassuk meg, hogy ha a1 , a2 , ... , an pozitív számok, akkor

a1 + a2 +…+ an n ≥ n 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an .

 

Feladat: 2.56.
Melyik függvény konvexitása igazolja a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget?
 

Feladat: 2.57.
Igazoljuk, hogy az

x1 2 + x2 2 + x3 2 - x1 x2 - x2 x3 - x3 x1 ≥0

egyenlőtlenség bármely x1 , x2 , x3 valós számra teljesül!
 

Feladat: 2.58.
Mutassuk meg, hogy ha az a1 , a2 , ... , an számok pozitívak, akkor

( a1 + a2 +…+ an )·( 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an )≥ n2 .

 

Feladat: 2.59.
Legyen p(a,b,c)= a3 + b3 + c3 és q(a,b,c)= a2 b+ b2 c+ c2 a. Igaz-e az alábbi állítások közül valamelyik? I. Ha a, b és c pozitívak, akkor p(a,b,c)≤q(a,b,c). II. Ha a, b és c pozitívak, akkor p(a,b,c)≥q(a,b,c). Bizonyítsuk be az igaz állítást illetve indokoljuk meg, ha egyik sem igaz!
 

Feladat: 2.60.
[169] (Nesbitt egyenlőtlensége) Mutassuk meg, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor

a b+c + b c+a + c a+b ≥ 3 2 .

 

Feladat: 2.61.
Mutassuk meg, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor a) ab c + bc a + ca b ≥a+b+c. b) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ b a + c b + a c .
 

Feladat: 2.62.
Az a, b, c pozitív számok összege 1. Határozzuk meg az

1+ a2 +1+ b2 +1+ c2

kifejezés legkisebb értékét!
 

Feladat: 2.63.
Az a, b, c pozitív számok összege 1. a) Mutassuk meg, hogy ( 1 a -1)·( 1 b -1)·( 1 c -1)≥8; b) Határozzuk meg az ( 1 a +1)·( 1 b +1)·( 1 c +1) kifejezés minimumát!
 

Feladat: 2.64.
Mutassuk meg, hogy ha n∈ N+ , akkor

( n+1 2 ) n 2 ≤n!≤ ( n+1 2 )n .

 

Feladat: 2.65.
Bizonyítsuk be, hogy (pozitív a,b,c,d esetén)

a b + c d ≥2 a+c b+d

(1)

pontosan akkor teljesül, ha a törtek nevezői megegyeznek, vagy a nagyobb nevezőjű tört értéke nem nagyobb. Egyenlőség pontosan akkor van, ha a két tört nevezője megegyezik, vagy a két tört értéke megegyezik.
 

Feladat: 2.66.
Határozzuk meg az alábbi kifejezés minimális értékét, ha a változók pozitívak!

S= a1 a2008 + a2 + a2 a1 + a3 + a3 a2 + a4 +…+ a2008 a2007 + a1 .

(1)

 

Feladat: 2.67.
Bizonyítsuk be, hogy ha n elég nagy gész szám, akkor n2 < 2n .
 

Feladat: 2.68.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív egész k esetén ha n elég nagy egész szám, akkor nk < 2n .
 

Feladat: 2.69.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges p(x) polinom esetén ha n elég nagy egész szám, akkor p(n)< 2n .