4. FEJEZET: Lineáris egyenletrendszerek

Feladat: 4.1.
Írjunk a betűk helyére számokat úgy, hogy mindkét megadott állítás igaz legyen! Hány megoldás van az egyes esetekben?

	a)	x+y=2,	3x+3y=6.
	b)	x-y=10,	4x-4y=50.
	c)	x+y=5,	x+3y=11.

 

Feladat: 4.2.
a) Ábrázoljuk az alábbi egyenletek megoldáshalmazát közös koordinátarendszerben!

0=2x+1-y,      2y-x=2,      y=2x-2.

Olvassuk le az ábráról az alábbi egyenletek közös megoldásait!

	a)	x+y=2,	3x+3y=6.
	b)	x-y=10,	4x-4y=50.
	c)	x+y=5,	x+3y=11.
	b)	0=2x+1-y,	2y-x=2.
	c)	2y-x=2,	y=2x-2.
	d)	0=2x+1-y,	y=2x-2.

 

Feladat: 4.3.
a) Ábrázoljuk az y=mx+m függvény grafikonját m=-4, m=-2, m=0, m=2 és m=4 esetén! b) Az m paraméter értékétől függően hány megoldása van az

y-x=1,      y=mx+m

egyenletrendszernek? (Adjuk meg minden valós m-re az egyenletrendszer megoldásainak számát!)
 

Feladat: 4.4.
Milyen (x;y) számpárra teljesülnek a következő egyenletrendszerek? a) 3x · 2x =y y=1296 },        b) 2x+y · 5x+y =10 000 x+3y=10 }
 

Feladat: 4.5.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! a) 2x-5y=7 x+3y=9 3x-2y=16 },         b) x+2y=8 2x-y=7 x-3y=3 }.
 

Feladat: 4.6.
A k paraméter mely értékeire van a

3x+y=1 6x+ky=2 }

egyenletrendszernek a) megoldása?       b) egyértelmű megoldása?       c) végtelen sok megoldása?
 

Feladat: 4.7.
Oldjuk meg az

a1 x+ b1 y= c1 a2 x+ b2 y= c2 }

általános kétismeretlenes egyenletrendszert! (Fejezzük ki az x, y ismeretleneket az a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 paraméterekkel!)
 

Feladat: 4.8.
Milyen (x;y) számpárra teljesül a

3x + 3y =108 3x - 3y =54 }

egyenletrendszer?
 

Feladat: 4.9.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! a) 2x+y=7 x=3,5- y 2 y=7-2x },         b) 2x-y=7 8x+6y=10 11x+7y=16 }.
 

Feladat: 4.10.
Adjunk meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az alábbi pontokon: a) A(0;0;0),      B(1;0;0),      C(-1;0;2). b) A(0;0;0),      B(1;0;1),      C(0;1;0). c) A(1;1;1),      B(1;2;3),      C(4;1;-2).
 

Feladat: 4.11.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! a) 2x+3y+z+5t=3; 2x+4y+3z+7t=7; 4x+5y+2z+8t=3; -2x+9z=3. } b) x+y+4z+2t=1; -x+y-z-t=-1; -2x+2y+2z-t=0; 2x+13z+5t=6. } c) x+2y+2z+t=3; x+4y+3z+t=4; 2x+2y+4z+3t=6; 4y+4z+2z=6. } d) 2x+y+3z+5t=1; -2x-z-3t=0; 4x+5y+18z+16t=5; 2x+3y+11z+9t=3. } e) 2x+10y-2z+t=2; x-y-z-2t=1; -x+11y+z+7t=-1; x+y-z-t=1. } f) 2x-y+z+3t=8; x+2y+3z-t=-1; 3x-y-z-t=-1; 5x+y-2z+t=12. }
 

Feladat: 4.12.
A 4.11. feladat négyismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásából áll. Keressük ki azokat az egyenletrendszereket, ahol a négy egyenlet nem volt független egymástól, némelyik következett a többiből. Válasszunk ki ezekben a részfeladatokbnan minél kevesebb olyan egyenletet, amelyek egymásból nem következnek, ,,függetlenek", de az összes többi egyenlet már levezethető belőlük. Adjuk is meg, hogyan áll elő az összes többi egyenlet ezek lineáris kombinációjaként!
 

Feladat: 4.13.
Az alábbi két egyenletrendszer közül az egyikben az egyenletek nem függetlenek. Válasszuk ki ezt az egyenletrendszert és fejezzük ki az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként! a) 2x+6y+10z=11; 4x+15y+24z=25; 2x+9y+16z=15. }        b) 3x+y+8z=11; 9x+7y+26z=38; 6x+18y+24z=42. }
 

Feladat: 4.14.
Az alábbi két egyenletrendszer közül az egyikben az egyenletek nem függetlenek. Válasszuk ki ezt az egyenletrendszert és fejezzük ki az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként! a) 3x+4y+7z=2; 2x+y+4z=1; -x+7y+2z=1. }        b) 3x+4y+7z=2; 2x+y+4z=1; -x+7y+z=1. }
 

Feladat: 4.15.
Az alábbi egyenletrendszer egyenletei nem függetlenek egymástól. Adjuk meg az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként! x+4y-6z+2t=-2; 5x-3y-z+7t=2; 3x-10y+2z+4t=6; 3x-y+10z+3t=0. }
 

Feladat: 4.16.
Dr. Agy a munkahelyén felejtette a megoldandó háromismeretlenes lineáris egyenletrendszerét, de két megoldásra emlékezett: x1 =1,       y1 =1,       z1 =1; x2 =1,       y2 =2,       z2 =3. a) Vajon van-e még megoldása az egyenletrendszernek? b) Adjunk meg ilyen egyenletrendszert!
 

Feladat: 4.17.
Dr. Agy a munkahelyén felejtette a megoldandó háromismeretlenes lineáris egyenletrendszerét. Arra emlékezett, hogy ilyen alakú volt:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 =0; a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 =0; a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 =0, }

és még a munkahelyén megtalálta az alábbi megoldást:

x1 =1,       y1 =1,       z1 =1.

Van-e még megoldása az egyenletrendszernek? Hány megoldása van?
 

Feladat: 4.18.
a) Az alábbi egyenletek közül melyikre igaz az, hogy ha egy (x;y;z) számhármas kielégíti, akkor annak λ-szorosa ( λ tetszőleges valós szám), a (λx;λy;λz) számhármas is kielégíti?
I.) x3 y-2 x2 y2 +11 y3 z-3 y4 =0;
 
II.) x3 -2 x2 y2 +11 y3 z-3 y4 =0;
 
III.) 2x-11y+3z=0;
 
IV.) 2x-11y+3z=5.
b) A fenti egyenletek közül melyikre igaz az, hogy ha az ( x1 ;   y1 ;   z1 ) és a ( x2 ;   y2 ;   z2 ) számhármas is kielégíti, akkor a ( x1 + x2 ;   y1 + y2 ;   z1 + z2 ) számhármas is kielégíti?
 

Feladat: 4.19.
Alább egy homogén (a szabad tagok értéke zérus) és egy inhomogén (nem minden szabad tag értéke zérus) lineáris egyenletrendszert látunk, és azok egy-egy megoldását.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 =0; a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 =0; a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 =0, }	a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ; a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ; a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 , }
x1 =1, x2 =4, x3 =3	x1 =2, x2 =2, x3 =-1

Próbáljuk meg megadni mindkét egyenletnek minél több további megoldását!
 

Feladat: 4.20.
Írjuk fel a w ‾ (11;7) vektort az u ‾ (2;-1), v ‾ (1;2) vektorok lineáris kombinációjaként, azaz keressük meg azokat az α, β számokat, amelyekre w ‾ =α u ‾ +β v ‾ . a) Ábrázoljuk négyzethálós papíron a vektorokat! Oldjuk meg a feladatot geometriával! b) Oldjuk meg a feladatot tisztán számolás útján!
 

Feladat: 4.21.
Állítsuk elő az u ‾ vektort az a ‾ , b ‾ vektorok lineáris kombinációjaként: a) u ‾ (4;3), a ‾ (2;0), b ‾ (0;6). b) u ‾ (4;9), a ‾ (-2;1), b ‾ (5;3). c) u ‾ (6;11), a ‾ (-6;10), b ‾ (9;-15).
 

Feladat: 4.22.
Állítsuk elő az u ‾ vektort az a ‾ (2;1), b ‾ (3;-2) vektorok lineáris kombinációjaként:
a) u ‾ (14;0);
 
b) u ‾ (1;0);
 
c) u ‾ (0;1);
 
d) u ‾ (3;2);
 
e) u ‾ (-4;13);
 
e) u ‾ ( u1 ; u2 ).

 

Feladat: 4.23.
Határozzuk meg az u ‾ ( u1 ; u2 ), v ‾ ( v1 ; v2 ) helyvektorok által közrefogott háromszög (ennek csúcsai tehát az origó és az U( u1 ; u2 ), V( v1 ; v2 ) pontok) területét!
 

Feladat: 4.24.
Adott az n ‾ (2;2) vektor. Keressünk néhány példát olyan P ‾ vektorra, majd határozzuk meg azon P ‾ helyvektorok végpontjának mértani helyét, amelyekre a) n ‾ · P ‾ =0;        b) n ‾ · P ‾ =4;        c) n ‾ · P ‾ =-1;        d) n ‾ · P ‾ =c, ahol c tetszőleges, de rögzített szám.
 

Feladat: 4.25.
Írjuk fel a w ‾ (11;7) vektort az u ‾ (2;-3), v ‾ (4;6) vektorok lineáris kombinációjaként, azaz keressük meg azokat az α, β számokat, amelyekre w ‾ =α u ‾ +β v ‾ . a) Ábrázoljuk négyzethálós papíron a vektorokat! Oldjuk meg a feladatot geometriával! b) Oldjuk meg a feladatot tisztán számolás útján!
 

Feladat: 4.26.
Adott az n ‾ (3;4) vektor. Keressünk néhány példát olyan P ‾ vektorra, majd határozzuk meg azon P ‾ helyvektorok végpontjának mértani helyét, amelyekre a) n ‾ · P ‾ =0; b) n ‾ · P ‾ =4; c) n ‾ · P ‾ =-1; d) n ‾ · P ‾ =c, ahol c tetszőleges, de rögzített szám.
 

Feladat: 4.27.
a) A térben rögzített derékszögű koordinátarendszerben adott az u ‾ (1;2;-1) vektor. A tér mely pontjainak helyvektora írható fel α u ‾ alakban, ahol α valós szám? b) Adott még az v ‾ (3;-3;1) vektor is. Milyen ponthalmazt alkotnak a térben azok a pontok, amelyek helyvektora felírható α u ‾ +β v ‾ alakban, ahol α és β valós számok?
 

Feladat: 4.28.
Szeretnénk felírni az a) a ‾ (15;-6;1)        b) b ‾ (2;-5;3) vektort az u ‾ (1;2;-1), v ‾ (3;-3;1), w ‾ (5;1;-1) vektorok lineáris kombinációjaként, azaz α u ‾ +β v ‾ +γ w ‾ alakban ( α, β, γ valós számok). Hány megoldás van?
 

Feladat: 4.29.
Adott a térben az n ‾ (1;1;1) vektor. A P0 pont helyvektora P0 ‾ (1;2;1). Keressünk néhány példát olyan P ‾ vektorra, majd határozzuk meg azon P ‾ helyvektorok végpontjának mértani helyét, amelyekre n ‾ ·( P ‾ - P0 ‾ )=0.
 

Feladat: 4.30.
Állítsuk elő az u ‾ vektort az a ‾ , b ‾ , c ‾ vektorok lineáris kombinációjaként: a) u ‾ (4;3;2), a ‾ (2;0;0), b ‾ (0;6;0), c ‾ (0;0;10). b) u ‾ (4;9;1), a ‾ (-12;6;18), b ‾ (8;-4;-12), c ‾ (-18;9;27). c) u ‾ (4;9;1), a ‾ (-12;6;18), b ‾ (8;-4;-12), c ‾ (-18;9;27). d) u ‾ (8;5;-18), a ‾ (-1;2;3), b ‾ (2;3;-4), c ‾ (1;12;1). e) u ‾ (8;6;-18), a ‾ (-1;2;3), b ‾ (2;3;-4), c ‾ (1;12;1).
 

Feladat: 4.31.
Állítsuk elő az u ‾ vektort az a ‾ , b ‾ , c ‾ vektorok lineáris kombinációjaként: a) u ‾ (1;6;10), a ‾ (1;2;3), b ‾ (2;2;-1), c ‾ (3;4;1). b) u ‾ (1;0;0), a ‾ (6;4;3), b ‾ (5;-3;-2), c ‾ (7;11;8). c) u ‾ (8;18;13), a ‾ (-12;6;18), b ‾ (8;-4;-12), c ‾ (-18;9;27).
 

Feladat: 4.32.
Állítsuk elő az u ‾ vektort az a ‾ (2;1;1), b ‾ (1;3;-2), c ‾ (4;4;0) vektorok lineáris kombinációjaként:
a) u ‾ (2;1;0);
 
b) u ‾ (1;0;0);
 
c) u ‾ (0;1;0);
 
d) u ‾ (0;0;1);
 
e) u ‾ (-4;13;2);
 
e) u ‾ ( u1 ; u2 ; u3 ).

 

Feladat: 4.33.
a) Adjunk meg az u ‾ (1;1;2), v ‾ (2;3;-1) vektorokra merőleges vektort! b) Adjuk meg az összes ilyen vektort!
 

Feladat: 4.34.
a) Adjunk meg az u ‾ ( u1 ; u2 ; u3 ), v ‾ ( v1 ; v2 ; v3 ) vektorokra merőleges vektort! b) Az a) részre adott általános megoldás időnként a 0 ‾ vektort adja. Mely u ‾ , v ‾ vektorok esetén következik ez be?
 

Feladat: 4.35.
Két sík normálvektorának szöge α. Határozzuk meg a két sík szögét!
 

Feladat: 4.36.
Egy r hosszúságú vektornak a koordinátatengelyekkel bezárt szöge α1 , α2 és α3 . a) Határozzuk meg a vektor koordinátáit! b) Milyen összefüggés áll fenn az α1 , α2 , α3 értékek között?
 

Feladat: 4.37.
Legyenek a, b, c, d olyan egész számok, amelyekre az

ax+by=m; cx+dy=n,

egyenletrendszernek m, n minden egész értéke esetén van egész számokból álló megoldása. Mutassuk meg, hogy |ad-bc|=1.
 

Feladat: 4.38.
Hogyan változik egy 2×2-es mátrix determinánsának értéke, ha a 1 ) az egyik sort megszorozzuk egy λ számmal? a 2 ) az egyik oszlopot megszorozzuk egy λ számmal? b 1 ) az egyik sorhoz hozzáadjuk egy másik sor λ-szorosát? b 2 ) az egyik oszlophoz hozzáadjuk egy másik oszlop λ-szorosát?
 

Feladat: 4.39.
Adott két vektor. a) Hogyan változik az általuk kifeszített paralelogramma területe, ha az egyik vektorhoz hozzáadjuk a másik vektor λ-szorosát? b) Hogyan változik a paralelogramma előjeles területe? (Az előjeles terület pozitív, ha az első oldal félegyenesét a második oldal félegyenesébe vivő 180∘ -nál kisebb abszolútértékű forgatás pozitív szöggel történik.)
 

Feladat: 4.40.
Mutassuk meg, hogy az ( a1 ; a2 ), ( b1 ; b2 ) vektorok által kifeszített paralelogramma előjeles területe megegyezik a

| a1 b1 a2 b2 |

determinánssal!
 

Feladat: 4.41.
Adjuk meg az A(1;1;2), B(7;-8;6), C(19;4;-6) pontokon átmenő sík egy normálvektorát!
 

Feladat: 4.42.
Harározzuk meg az a és a c paraméter értékét úgy, hogy az n ‾ (1;1;2) vektor merőleges legyen az A(2;a;c), B(3;3;7), C(c;-1;4) pontokon átmenő síkra!
 

Feladat: 4.43.
Adjuk meg egy olyan a ‾ ( a1 ; a2 ; a3 ), b ‾ ( b1 ; b2 ; b3 ) vektorokra merőleges vektornak a koordinátáit, amelynek hossza megegyezik az a ‾ , b ‾ vektorok által kifeszíettt paralelogramma területével!
 

Feladat: 4.44.
Mutassuk meg, hogy bármely értéket is adunk m-nek az mx+3y-4m+1=0 egyenletű egyenesek ugyanazon meghatározott ponton mennek át.
 

Feladat: 4.45.
[70] Pista vásárolt egy körzőt egy ceruzát és egy radírt. Ha egy körző az ötödébe, egy ceruza a felébe és egy radír a kétötödébe kerülne, akkor 96 Ft-ot, ha egy körző a felébe, egy ceruza a negyedébe és egy radír a harmadába kerülne, akkor 144 Ft-ot fizetett volna. Mennyit fizetett? A körző vagy a ceruza a drágább?
 

Feladat: 4.46.
[70] Kétféle cukorkából, amelyek közül az egyiknek kg-ja a Ft, a másik kg-ja b Ft, m kg keveréket készítünk. A keverék ára kilogrammonként c Ft. Hány kg kell a keverékhez a két fajtából?
 

Feladat: 4.47.
[70] Kétféle alkoholunk van. Ha az első fajtából a litert, a másikból b litert összekeverünk, akkor k%-os keveréket kapunk. Ha viszont a második fajtából veszünk a litert, és az elsőből b litert, akkor t%-os lesz a keverék. Hány százalálos töménységűek az összetevők?
 

Feladat: 4.48.
Oldjuk meg és diszkutáljuk az cy-3x=7-(c+2)(2y+x); 1-2x=7+(c+2)(1-y) } lineáris egyenletrendszert!
 

Feladat: 4.49.
a) Oldjuk meg az 2x+by=1; -2x+4y=b(1-x) } lineáris egyenletrendszert! A b valós paraméter mely értéke esetén b) nincs megoldás? c) van végtelen sok megoldás?
 

Feladat: 4.50.
a) Oldjuk meg az 2ax-4y=10; 3x+ay=5(1+y) } lineáris egyenletrendszert! Az a valós paraméter mely értéke esetén b) nincs megoldás? c) van végtelen sok megoldás?
 

Feladat: 4.51.
A d valós paraméter mely értéke esetén a) nincs megoldása b) van végtelen sok megoldása a 3x+(1-d)y=d-2; dx-4y=5 } lineáris egyenletrendszernek? c) A további esetekben adjuk meg az egyértelmű megoldást!
 

Feladat: 4.52.
A k paraméter mely értékeire van a

kx+y=1-x 6x+ky=2 }

egyenletrendszernek a) megoldása? b) egyértelmű megoldása? c) végtelen sok megoldása?
 

Feladat: 4.53.
Az ABC derékszögű háromszögben az AC befogó hossza 3 egység, míg a BC befogóé 4 egység volt. Az A pontot elmozdítottuk a BC egyenessel párhuzamosan. Ezután a B pontot mozgattuk el az (új) AC egyenessel párhuzamosan, végül a C helyzetét változtattuk meg (új) AB-vel párhuzamosan. Így olyan háromszöghöz jutottunk, amelyben B-nél lett derékszög, az AB szakasz hossza pedig 1 egységnyi lett. Milyen hosszú lett a BC szakasz?
 

Feladat: 4.54.
A k paraméter mely értékeire van az x+y=k x-y=5 } egyenletrendszernek pozitív x és pozitív y megoldása?
 

Feladat: 4.55.
A Descartes koordinátarendszerben melyek azok a vektorpárok, amelyek által kifeszített rács megegyezik a négyzetráccsal? Válasszuk ki az alábbiak közül a megfelelőeket! a) a ‾ (2;1), b ‾ (1;0); b) a ‾ (3;2), b ‾ (1;0); c) a ‾ (2;1), b ‾ (3;2); d) a ‾ (3;5), b ‾ (8;12); e) a ‾ (3;5), b ‾ (8;13);
 

Feladat: 4.56.
Egy háromszög síkjának a térbeli Descartes koordinátarendszer koordinátasíkjaival bezárt szöge β1 , β2 és β3 . Határozzuk meg a háromszög koordinátasíkokra vonatkozó vetületeinek területét!
 

Feladat: 4.57.
Egy háromszögnek a térbeli Descartes koordinátarendszer koordinátasíkjaira vonatkozó merőleges vetületeinek területe T1 , T2 és T3 . Határozzuk meg a háromszög területét!
 

Feladat: 4.58.
Adjunk meg olyan f másodfokú függvényt, amelyre a) f(1)=1, f(2)=5, f(3)=11; b) f(1)=8, f(2)=5, f(3)=-2;
 

Feladat: 4.59.
Adjunk meg az összes olyan h harmadfokú függvényt, amelyre
a) h(-1)=h(0)=h(1)=1;
 
b) h(-1)=1
 
h(0)=1
 
h(1)=3.

 

Feladat: 4.60.
Adjunk meg az összes olyan h harmadfokú függvényt, amelyre h(-1)=h(0)=h(1)=1 és h(2)=7.
 

Feladat: 4.61.
Alább egy g harmadfokú polinom hiányos értéktáblázata látható. Pótold a hiányt!

x	-2	-1	0	1	2
g(x)		2	1	0	5

 

Feladat: 4.62.
a) Írjuk fel azt a összes olyan h harmadfokú függvényt, amelyre h(-1)=12, h(0)=2, h(1)=2, h(2)=0. b) Írjuk fel paraméteresen azt a harmadfokú függvényt, amely a (-1), 0, 1, 2 helyeken megadott értékeket vesz fel.
 

Feladat: 4.63.
A tanár holnap villámversennyel kezdi az órát. Megadja egy f másodfokú függvény értékét az 1, 2, 3 helyeken, azaz közli az f(1), f(2), f(3) értékeket. Az nyeri a versenyt, aki leghamarabb megadja az f másodfokú függvény konkrét alakját. Készüljünk fel a versenyre!
 

Feladat: 4.64.
a) Írjunk fel olyan p polinomot, amelynek 0-ban, kétszeres gyöke van és p(-2)=12, p(-1)=-2, p(2)=28. b) Írjunk fel olyan q polinomot, amelynek 1-ben, kétszeres gyöke van és q(-1)=-12, q(0)=1, q(2)=3.
 

Feladat: 4.65.
Adjuk meg a P(x;y) pont képének koordinátáit az origó körüli
a) 180∘ -os
 
b) 90∘ -os
 
c) α szögű
elforgatásnál.
 

Feladat: 4.66.
Adjuk meg annak a transzformációnak minél több tulajdonságát, amely a síkbeli Descartes koordinátarendszerben az

(x;y)→(x+y;x-y)

(1)

képlettel adható meg! Próbáljuk meg megadni ezt a transzformációt az ismert transzformációk kompozíciójaként.
 

Feladat: 4.67.
a) A síkbeli Descartes koordinátarendszer origóját is tartalmazó t egyenes 30∘ -os szöget zár be az x-tengellyel és részben a pozitív síknegyedben halad. Határozzuk a P(x;y) pont t tengelyre vonatkozó tükörképének koordinátáit! b) Adjuk meg az x-tengely origó körüli α szöggel való elforgatottjára vonatkozó tengelyes tükrözés képletét!
 

Feladat: 4.68.
Határozzuk meg a P(1;-2;3) pontnak az origót az A(1;1;1) ponttal összekötő egyenes körüli ± 120∘ -os szöggel való elforgatottjait!
 

Feladat: 4.69.
Adott egy szabályos háromszög és a síkon a PQ szakasz. A szabályos háromszög oldalegyeneseire merőlegesen vetítjük a PQ → vektort, a vetületek v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 . Mutassuk meg, hogy

v ‾ 1 + v ‾ 2 + v ‾ 3 = 3 2 PQ → .

Keressünk értelmes általánosítást!
 

Feladat: 4.70.
Adott egy szabályos tetraéder és a térben a PQ szakasz. A tetraéder lapsíkjaira merőlegesen vetítjük a PQ → vektort, a vetületek v ‾ 1 , v ‾ 2 , v ‾ 3 , v ‾ 4 . Igaz-e, hogy a

v ‾ 1 + v ‾ 2 + v ‾ 3 + v ‾ 4

vektorösszeg a PQ → számszorosa? Ha igaz, akkor hányszorosa?
 

Feladat: 4.71.
[70] Határozzuk meg az összes olyan (a,b,c) számhármast, amelyre a következő egyenletrendszernek van az x=y=z=0 esettől különböző megoldása:

ax+by+cz=0; bx+cy+az=0; cx+ay+bz=0. }

 

Feladat: 4.72.
a) Adjunk meg négy olyan legfeljebb negyedfokú h polinomot, amelyre

h(1)=h'(1)=0.

(1)

b) Mutassuk meg, hogy az (1) feltételnek megfelelő legfeljebb negyedfokú valós együtthatós polinomok valós számtest fölött lineáris teret alkotnak! c) Hány dimenziós ez a tér?
 

Feladat: 4.73.
a) Adjuk meg az összes olyan p(x) legfeljebb harmadfokú polinomot, amelyre p(-1)=p(0)=p(2)=3. b) Az előbb megadott polinomok közül melyikre lesz p'(0)=6?
 

Feladat: 4.74.
Adjunk meg négy ismeretlennel négy lineáris egyenletet úgy, hogy a négy közül bármelyik két egyenletből álló egyenletrendszernek ugyanaz legyen a megoldáshalmaza, de ez ne egyezzen meg egyik egyenlet megoldáshalmazával sem!
 

Feladat: 4.75.
Adott egy a) 2×2-es,        b) 2×3-as kapcsolótábla. Mindegyik mező egyszerre lámpa, és egyszerre kapcsoló. Kapcsolóként mindegyik mező váltja a saját, és az élben szomszédos mezők lámpáját. Melyik táblán van olyan mező, amely kapcsolóként felesleges?
 

Feladat: 4.76.
a) Adjunk meg négy olyan sorozatot, amely teljesíti az

gn+2 =9· gn +2· gn+1

(1)

rekurzív formulát! b) Mutassuk meg, hogy az (1) képletnek megfelelő valós számokból álló sorozatok a valós számtest fölött lineáris teret alkotnak! c) Hány dimenziós ez a tér?
 

Feladat: 4.77.
[115] Válasszuk az OPQR paralelogramma O csúcsát egy derékszögű koordinátarendszer origójának. E rendszerre nézve legyen Fejezzük ki a paralelogramma területét az u1 , u2 , v1 , v2 paraméterek függvényeként!