5. FEJEZET: Vegyes feladatok

Feladat: 5.1.
[108] Oldjuk meg a következő egyenletet!

4+x+ 1 9 =12,2 y 3

(Az egyenlet két oldalán ugyanaz a szám áll, a bal oldalon tízes, a jobb oldalon hármas számrendszerben).
 

Feladat: 5.2.
Bizonyítsuk be az alábbi számról, hogy nem egész!

8 795 689·8 795 688·8 795 687·8 795 686 8 795  6882 +8 795  6862 +8 795  6842 +8 795  6822

 

Feladat: 5.3.
Messük el az y= x2 függvény grafikonját rögzített m meredekségű egyenesekkel és vizsgáljuk a metszéspontok közti szakasz felezőpontjának mértani helyét. Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást ás próbáljuk meg igazolni állításunkat!
 

Feladat: 5.4.
Határozzuk meg

2-3 2-2-3 + 2+3 2+2+3 -2

pontos értékét!
 

Feladat: 5.5.
[115] Legyen f(x)= x2 -x+1. Bizonyítsuk be, hogy minden m>1 egész esetén m, f(m), f (f(m) ), f (f (f(m) ) ), … páronként relatív prímek.
 

Feladat: 5.6.
[115] Bontsuk fel az f(x)=2 x2 +5x-3 függvényt két szigorúan monoton függvény különbségére!
 

Feladat: 5.7.
[115] Az a, b paraméterek mely értékei esetén lesz az | x2 +ax+b| függvénynek a [-1;1] intervallumon vett maximuma minimális?
 

Feladat: 5.8.
[115] Az f1 (x)= a1 x2 + b1 x+ c1 , f2 (x)= a2 x2 + b2 x+ c2 függvények grafikonjainak nincs közös pontja és főegyütthatóik szorzata negatív ( a1 · a2 <0). Bizonyítsuk be, hogy van olyan egyenes, amellyel grafikonjaik elválaszthatók!
 

Feladat: 5.9.
Döntsük el, hogy 2+53+2-53 racionális vagy irracionális!
 

Feladat: 5.10.
A valós számok halmazában értelmezett ∘ műveletre (amelynél x,y∈R esetén (x∘y)∈R) minden x,y,z valós szám esetén teljesülnek a következő tulajdonságok:

x∘y=y∘x,

(x∘y)·z=(x·z)∘(y·z),

(x∘y)+z=(x+z)∘(y+z).

Mennyi 1999∘2000?
 

Feladat: 5.11.
Bizonyítsuk be, hogy ha az x3 + ax2 +bx+c=0 egyenlet összes gyöke valós szám, akkor a2 ≥3b ( a,b,c adott valós számok)!
 

Feladat: 5.12.
Oldjuk meg a pozitív prímszámok halmazán a következő egyenletet: 3 x2 +6x=2 y2 +7y.
 

Feladat: 5.13.
Igazoljuk, hogy ha a,b,n olyan természetes számok, melyekre a 2n - b 2n osztható 9-cel, akkor a2 - b2 is osztható 9-cel!
 

Feladat: 5.14.
Az ABC háromszög oldalai között az alábbi összefüggés áll fenn:

( a2 + b2 + c2 )2 =4 b2 ( a2 + c2 )+3 a2 c2 .

Mekkora a β szög?
 

Feladat: 5.15.
[121] Tegyük fel, hogy az

ax2 +2bx+c≥0,

(1)

px2 +2qx+r≥0

(2)

egyenlőtlenségek minden x valós szám esetén teljesülnek. Mutassuk meg, hogy ekkor az

apx2 +2bqx+cr≥0

(3)

egyenlőtlenség is teljesül minden valós x esetén!
 

Feladat: 5.16.
Legyen f(x)= x2 -6x+5. Ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben azokat a P(x;y) pontokat, amelyeknek (x;y) koordinátáira f(x)≥f(y).
 

Feladat: 5.17.
Határozzuk meg minden pozitív egész n-re az n2 +n+1 számban a tizedesvessző után álló első számjegyet!
 

Feladat: 5.18.
A táblára az alábbi félkész egyenletet írták:

x3 + x2 +      x+      =0

(1)

Ketten játszanak. Kezdő a három üres téglalap egyikébe alkalmas egész számot írhat. Ezután Második a megmaradt két téglalap egyikébe tetszőleges egész számot ír, végül Kezdő az utolsó üresen maradt téglalapba ismét egy alkalmas egész számot ír. Kezdő akkor nyer, ha a kitöltés után kapott hatmadfokú egyenletnek van három - nem feltétlenül különböző - valós gyöke. Egyébként Második nyer. Kinek van nyerő stratégiája?
 

Feladat: 5.19.
Melyek azok az x, y, z valós számok, amelyekre

y2 + z2 - x2 2yz + z2 + x2 - y2 2zx + x2 + y2 - z2 2xy =1?

(1)

 

Feladat: 5.20.
Egy háromszög körülírt és beírt körének sugara 170 ill. 12 egység, a háromszög kerülete 416 egység. Mekkorák a szögei?
 

Feladat: 5.21.
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

x-33+y+43=11 x+y=340 }

(1)

 

Feladat: 5.22.
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

1 2-x+2y - 1 x+2y-1 =2 1 2-x+2y + 1 x+2y-1 =4 }

(1)

 

Feladat: 5.23.
Határozzuk meg az (x-5 )4 +(x-4 )4 =97 egyenlet valós gyökeit!
 

Feladat: 5.24.
Határozzuk meg az xy szorzat értékét, ha x és y olyan egymástól különböző valós számok, amelyekre

1 1+ x2 + 1 1+ y2 = 2 1+xy .

 

Feladat: 5.25.
A 10 mely pozitív egész kitevős hatványai írhatók fel két pozitív négyzetszám összegeként?
 

Feladat: 5.26.
Hány megoldása van a pozitív egészek körében az a2 + b3 + c4 = d5 egyenletnek?
 

Feladat: 5.27.
Egy bolha ugrál a síkon. A koordinátarendszer origójából indul, első ugrásával (1;0)-ba érkezik. Minden további ugrása feleakkora, mint a megelőző volt. Hová jut 48. ugrásával a bolha, ha minden ugrása után 90∘ -kal elfordul (lásd az 1. ábrát) a) mindig ugyanabban a forgásirányban? b) váltakozó irányban?

1. ábra

 

Feladat: 5.28.
Tizes számrendszerben 12=3×4, hatosban pedig 3×2=10. Határozzuk meg az összes olyan számrendszert és számot, amely két egymás utáni számjegyből áll és a két következő szám szorzataként álljon elő. (Csökkenő vagy emelkedő sorrendben, mint a példákban.)
 

Feladat: 5.29.
Határozzuk meg az alábbi egyenlet megoldásait:

x+2x-1+x-2x-1=2.

 

Feladat: 5.30.
Állapítsuk meg két szám negyedik hatványainak öszegét, ha a számok összege 10, szorzatuk 4.
 

Feladat: 5.31.
Megoldandó a következő egyenletrendszer

x+y+xy+5=0 x2 y+ xy2 +6=0.

 

Feladat: 5.32.
Bizonyítsuk be, hogy ha a+b+c=0, akkor

( a-b c + b-c a + c-a b )( c a-b + a b-c + b c-a )=9.

 

Feladat: 5.33.
Legyenek α, β az x2 +px+1=0 egyenlet gyökei és γ, δ az x2 +qx+1=0 egyenlet gyökei. Bizonyítsuk be, hogy

(α-γ)(β-γ)(α+δ)(β+δ)= q2 - p2 .

 

Feladat: 5.34.
Határozzuk meg a b együtthatót a

4 x4 -11 x2 +9x+b=0

egyenletben úgy, hogy legyen az egyenletnek két különböző gyöke, amelyek összege -1.