16. FEJEZET: Függvénytranszformációk
Feladat: 16.1.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvény képe látható.
1. ábra
Végezzük el az alábbi függvényérték-transzformációkat, s ez alapján vázoljuk a függvények grafikonját:
a)
y=f(x)-3;
b)
y=f(x)+2;
c)
y=2f(x);
d)
y=0,5f(x);
e)
y=-f(x);
f)
y=-3f(x);
g)
y=|f(x)|.
Mi az eredeti függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
Mi az értelmezési tartománya és az értékkészlete a transzformált függvényeknek?
Feladat: 16.2.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvény képe látható.
1. ábra
Végezzük el az alábbi függvényérték-transzformációkat, s ez alapján vázoljuk a függvények grafikonját:
a)
y=f(x-1);
b)
y=f(x+5);
c)
y=f(3x);
d)
y=f(0,5x);
e)
y=f(-x);
f)
y=f(-2x);
g)
y=f(|x|)
Mi az eredeti függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
Mi az értelmezési tartománya és az értékkészlete a transzformált függvényeknek?
Feladat: 16.3.
Ábrázoljuk az
x→-2|x+3|-4 függvényt az alábbi 1- 5. transzformációs lépések sorozatával! (A 3., 4. lépések egyszerre is elvégezhetők.)
1.)
x→|x|;
2.)
x→|x+3|;
3.)
x→2|x+3|;
4.)
x→-2|x+3|;
5.)
x→-2|x+3|-4.
Feladat: 16.4.
Ábrázoljuk transzformációs lépések segítségével az alábbi függvényeket!
a)
a(x)=0,5|x+3|-5, ha
x∈[-6;2];
b)
b(x)=-
1
3
|x-2|+5;
c)
c(x)=-3|x-3|+2, ha
x∈[-1;4].
Mi a függvények értelmezési tartománya és értékkészlete?
Határozzuk meg a függvénygörbék tengelymetszeteit is!
Feladat: 16.5.
Ábrázoljuk az
x→-2(x+3
)2
+3 függvényt az alábbi 1 - 5. transzformációs lépések sorozatával! (A 3. és 4. lépések egyszerre is elvégezhetők.)
1.)
x→
x2
;
2.)
x→(x+2
)2
;
3.)
x→2(x+2
)2
;
4.)
x→-2(x+2
)2
;
5.)
x→-2(x+2
)2
+3.
Feladat: 16.6.
Ábrázoljuk transzformációs lépések segítségével az alábbi függvényeket!
a)
a(x)=0,5(x+3
)2
-5, ha
x∈[-6;2];
b)
b(x)=-
1
3
(x-2
)2
+5
c)
c(x)=-0,2(x-3
)2
-1, ha
x∈[-4;1];
d)
d(x)=2
x2
+3x-5.
Mi a függvények értelmezési tartománya és értékkészlete?
Határozzuk meg a függvénygörbék tengelymetszeteit is!
Feladat: 16.7.
Ábrázoljuk a
x→-
2
x+2
+3 függvényt az alábbi 1- 5. transzformációs lépések sorozatával! (A 3., 4. lépések egyszerre is elvégezhetők.)
1.)
x→
1
x
;
2.)
x→
1
x+2
;
3.)
x→
2
x+2
;
4.)
x→-
2
x+2
;
5.)
x→-
2
x+2
+3.
Feladat: 16.8.
Ábrázoljuk transzformációs lépések segítségével az alábbi függvényeket!
a)
a(x)=
2
x+3
-5
ha
x∈[-5;3];
b)
b(x)=
3
x-2
+4;
c)
c(x)=
4
2x-1
+3
ha
x∈[-4;2];
d)
d(x)=
2x+1
x+1
.
Mi a függvények értelmezési tartománya és értékkészlete?
Határozzuk meg a függvénygörbék tengelymetszeteit is!
Feladat: 16.9.
Ábrázoljuk az
x→-2x-1+3 függvényt az alábbi 1 - 5. transzformációs lépések sorozatával! (A 3., 4. lépések egyszerre is elvégezhetők.)
1.)
x→x;
2.)
x→x-1;
3.)
x→2x-1;
4.)
x→-2x-1;
5.)
x→-2x-1+3.
Feladat: 16.10.
Ábrázoljuk az
x→-3-2(x+1)+5 függvényt az alábbi transzformációs lépések sorozatával! (A 3., 4. valamint a 6., 7. lépések egyszerre is elvégezhetők.)
1.)
x→x;
2.)
x→x+1;
3.)
x→2(x+1);
4.)
x→-2(x+1);
5.)
x→3-2(x+1);
6.)
x→-3-2(x+1);
7.)
x→-3-2(x+1)+5;
Feladat: 16.11.
Ábrázoljuk transzformációs lépések segítségével az alábbi függvényeket!
a)
a(x)=3x+2-5
ha
x≤14;
b)
b(x)=-x-4+6
ha
x∈[6;10];
c)
c(x)=
1
3
(x+1)-2;
d)
d(x)=-26-2x+3;
Feladat: 16.12.
Tekintsük az
f(x)=
x2
függvényt, majd adjuk meg a függvény képének az egyenletét, ha az alábbi geometriai transzformációkat hajtjuk végre! (Minden esetben függvényt kapunk?)
a) Tengelyes tükrözés az
x tengelyre;
b) tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
c) középpontos tükrözés az origóra;
d) középpontos tükrözés a
(2;1) pontra;
e) eltolás a
(3;0) vektorral;
f) eltolás a
(0;-4) vektorral;
g) eltolás a
(3;-2) vektorral;
h)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
i)
λ=
1
2
arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
j)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
k)
λ=
1
2
arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
l)
λ=3 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
m)
λ=-3 arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
n) forgatás
90∘
-kal az origó körül;
o) forgatás
-
90∘
-kal a
(2;1) pont körül.
Feladat: 16.13.
Végezzük el a
16.12. feladat geometriai transzformációit az alábbi alapfüggvényekkel is:
a)
a(x)=|x|;
b)
b(x)=
1
x
;
c)
c(x)=x.
Feladat: 16.14.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvény képe látható.
Végezzük el az alábbi geometriai transzformációkat, s ez alapján vázoljuk a függvények grafikonját!
1. ábra
a) Tengelyes tükrözés az
x tengelyre;
b) tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
c) középpontos tükrözés az origóra;
d) középpontos tükrözés a
(2;1) pontra;
e) eltolás a
(3;0) vektorral;
f) eltolás a
(0;-4) vektorral;
g) eltolás a
(3;-2) vektorral;
h)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
i)
λ=
1
2
arányú merőleges zsugorítás az
x tengelyre;
j)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
k)
λ=
1
2
arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
l)
λ=-3 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
m)
λ=-3 arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
Mi az eredeti függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
Mi az értelmezési tartománya és az értékkészlete a transzformált függvényeknek?
Feladat: 16.15.
Adjuk meg az
f(x)=
x2
függvény képének az egyenletét
y=g(x) alakban az alábbi transzformációk elvégzése után.
a)
λ=2 arányú nagyítás az origóból;
b)
λ=
1
2
arányú kicsinyítés az origóból;
c)
λ=-3 arányú nagyítás az origóból;
d) tengelyes tükrözés az
y=x egyenletű egyenesre.
Feladat: 16.16.
Végezzük el a
16.15. feladat transzformációit az alábbi alapfüggvényekkel is:
a)
a(x)=|x|;
b)
b(x)=
1
x
;
c)
c(x)=x.
Feladat: 16.17.
Adjuk meg az
f(x)=
x3
függvény képének az egyenletét, ha a függvény grafikonján rendre az alábbi transzformációkat hajtjuk végre:
a) tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
b) eltolás a
(3;2) vektorral;
c) középpontos tükrözés az
(1;2) pontra;
d)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre.
Feladat: 16.18.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
d függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (Több megoldás is lehetséges, attól függően, hogy a függvény változóját, vagy a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra
Feladat: 16.19.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
d függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (Több megoldás is lehetséges, attól függően, hogy a függvény változóját, vagy a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra
Feladat: 16.20.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
d függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (Több megoldás is lehetséges, attól függően, hogy a függvény változóját, vagy a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra
Feladat: 16.21.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
d függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (Több megoldás is lehetséges, attól függően, hogy a függvény változóját, vagy a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra
Feladat: 16.22.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
e függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (A
b és
c lépésben a függvény változóját, a
d és
e lépésben a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra
Feladat: 16.23.
Az
1. ábrán az
y=f(x) függvényt transzformációs lépések segítségével ábrázoltuk. Határozzuk meg az
a -
e függvényeket, s jellemezzük a végrehajtott transzformációs lépéseket! (A
b és
c lépésben a függvény változóját, a
d és
e lépésben a függvény értékét transzformáltuk.)
1. ábra