5. FEJEZET: Egyenlőtlenségek

Feladat: 5.1.
[60] Adjuk meg az alábbi egyenletek valós megoldásainak számát az a paraméter függvényében!
a) x3 -3x=a
 

 
b) 3 x5 -50 x3 +135x=a
 

 
c) x2 ex =a
 

 
d) ax =x
 


 

Feladat: 5.2.
[60] Mely a valós számokhoz található olyan b pozitív paraméterérték, amelyre az x2 +a=2blnx egyenletnek pontosan egy megoldása van ( x-ben)?
 

Feladat: 5.3.
[60] Mutassuk meg, hogy ha az a, b pozitív számok összege 1, akkor bármely x, y számokra teljesül az xa yb ≤ax+by egyenlőtlenség!
 

Feladat: 5.4.
Mutassuk meg, hogy 0≤x esetén a) x- x2 2 ≤ln(1+x)≤x. b) x- x2 2 + x3 3 - x4 4 ≤ln(1+x)≤x- x2 2 + x3 3 . c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot! d) Mely x számok esetén konvergens az ln = ∑k=1 n (-1 )k+1 k xk sorozat? e) Határozzuk meg 1- 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 -… végtelen sor összegét! f) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban és b)-ben -1<x<0 esetén?
 

Feladat: 5.5.
[61] Igazoljuk, hogy 0< x1 < x2 esetén

x2 - x1 ln x2 x1 < 1 2 ( x1 + x2 ).

 

Feladat: 5.6.
Mutassuk meg, hogy 0≤x esetén a) x- x3 6 ≤sinx≤x és 1- x2 2 ≤cosx≤1. b) x- x3 3! + x5 5! - x7 7! ≤sinx≤x- x3 3! + x5 5! és 1- x2 2! + x4 4! - x6 6! ≤cosx≤1- x2 2! + x4 4! . c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot! d) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban, b)-ben és c)-ben x<0 esetén? e) Mutassuk meg, hogy az

sn = ∑k=0 n (-1 )k (2k+1)! x2k+1 ,       cn = ∑k=0 n (-1 )k (2k)! x2k

sorozatok tetszőleges x valós szám esetén konvergensek és határértékük sinx illetve cosx.
 

Feladat: 5.7.
Igazoljuk, hogy 0<x esetén
a) 1+x< ex ;
 
b) 1+x+ x2 2 < ex !
c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot! d) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban és b)-ben x<0 esetén?
 

Feladat: 5.8.
a) Igazoljuk, hogy 0≤x< π 2 esetén tg x≥x+ x3 3 . b) Adjunk meg minél nagyobb olyan a valós számot, amelyre 0≤x< π 2 esetén tg x≥x+ x3 3 + ax5 .
 

Feladat: 5.9.
Igazoljuk, hogy 0≤x<1 esetén 1+ x 2 ≥1+x≥1+ x 2 - x2 8 .
 

Feladat: 5.10.
a) Mutassuk meg, hogy az f(x)= 1 x függvény a (0;∞) jobbról végtelen intervallumon alulról nézve (szigorúan) konvex! b) Igazoljuk a számtani és harmonikus közép közti egyenlőtlenséget n db pozitív számra!
 

Feladat: 5.11.
a) Mutassuk meg, hogy az f(x)= x2 függvény alulról nézve (szigorúan) konvex R-en! b) Igazoljuk a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget n db pozitív számra!
 

Feladat: 5.12.
Melyik háromszögben
a) maximális
 
b) minimális
a

sinα+sinβ+sinγ

kifejezés értéke, ahol α, β és γ a háromszög három belső szögét jelöli?
 

Feladat: 5.13.
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyiknek
a) maximális
 
b) minimális
a kerülete?
 

Feladat: 5.14.
Adott sugarú körbe írt n-szögek közül melyiknek
a) maximális
 
b) minimális
a kerülete?
 

Feladat: 5.15.
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyiknek
a) maximális
 
b) minimális
a területe?
 

Feladat: 5.16.
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyikben maximális az oldalak négyzetösszege?
 

Feladat: 5.17.
Mutassuk meg, hogy

a a2 + b2 + b b2 + c2 + c c2 + a2 ≤ 3 2

egyenlőtlenség bármely valós a,b,c számokra teljesül!