8. FEJEZET: Furcsa függvények
Feladat: 8.1. Van-e olyan
f:R→R
a) függvény
b) folytonos függvény
amelyre
f(x) pontosan akkor racionális, ha
f(x+1) irracionális?
Feladat: 8.2. Van-e olyan
f:R→R folytonos függvény, amelynek lokális szélsőértékhelyei:
a)
X0
=-2 (minimum),
X1
=0 (maximum),
X2
=2 (minimum);
b)
X0
=-2 (minimum),
X1
=2 (minimum);
és más lokális szélsőértékhelye nincs? Van-e a mindenhol deriválható függvények között ilyen?
Feladat: 8.3. Legyen
f az
x0
∈R szám egy környezetében értelmezett függvény.
Tekintsük a
|
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx
,
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x-Δx)
2Δx
|
határértékeket. Szemléltessük jelentésüket! Melyikük létezéséből következtethetünk a másik létezésére? Milyen kapcsolat van a két határérték között, ha mindkettő létezik?
Feladat: 8.4. Legyen
f az
x0
∈R pont egy
U környezetében értelmezett,
x0
-ban differenciálható függvény. Mutassuk meg, hogy ha
{
αn
}⊂U,
{
βn
}⊂U tetszőleges sorozatok, melyekre
αk
≠
βk
(
k∈N) és
|
limk→∞
αk
=
limk→∞
βk
=
x0
,
|
akkor
|
limk→∞
f(
αk
)-f(
βk
)
αk
-
βk
=
f'
(
x0
).
|
Feladat: 8.5. Az alábbi függvények
0-n kívül minden valós számon értelmezettek. Közülük melyiket lehet úgy értelmezni
0-ban, hogy ott
a) folytonos
b) differenciálható
legyen?
|
f1
(x)=sin
1
x
,
f2
(x)=xsin
1
x
,
f3
(x)=
x2
sin
1
x
.
|
Feladat: 8.6. Az
1 ábrán a
g függvény grafikonja látható. A grafikon darabjai
3 ill.
(-3) meredekségű szakaszok, végpontjaik az
x-tengelyen ill. az
y=x egyenesen vannak. Legyen
g(0)=0.
a) Mutassuk meg, hogy
g a
[-4;4] intervallumban folytonos!
b) Mutassuk meg, hogy
g a
(-4;4) intervallumban végtelen sok helyen nem differenciálható!
Jelöle
G(x) a
g függvény grafikonja az
x tengely és az
x=-4 egyenes által határolt rész előjeles területét (az
x tengely alatti területrészek negatívan, az a fölöttiek pozitívan számolandók). Tehát pl
G(-4)=G(4)=0.
c) Mutassuk meg, hogy
G a
(-4;4) intervallum minden pontjában differenciálható!
d) Határozzuk meg
G'
(0) értékét!
e) Mutassuk meg, hogy
G-nek minimuma van
0-ban, de a
0 egyik bal oldali környezetében sem igaz, hogy
G'
(x)<0!
1. ábra
Feladat: 8.7. [
89] Mutassuk meg, hogy a
|
h(x)={
x+
x2
,
ha
x
racionális
,
x-
x2
,
ha
x
irracionális
;
|
függvény
a) a
0-ban differenciálható;
b)
h'
(0)>0;
c)
0 egyik környezetében sem monoton.
Feladat: 8.8. Döntsük el, hogy az alábbi függvények közül melyek folytonosak illetve differenciálhatóak az
a)
x=0, b)
x=1, c)
x=2
pontban!
I.
f1
(x)={
1,
ha
x
racionális,
0,
ha
x
irracionális.
II.
f2
(x)={
x,
ha
x
racionális,
-x,
ha
x
irracionális.
III.
f3
(x)={
x2
,
ha
x
racionális,
-
x2
,
ha
x
irracionális.
IV.
f4
(x)={
1
q3
,
ha
x=
p
q
,p∈Z,q∈
N+
,(p,q)=1,
0,
ha
x
irracionális.
Feladat: 8.9. Van-e olyan függvény, amely az
[0;1] intervallumon folytonos, kontinum sok helyen zérus, de nincs olyan nem üres nyílt intervallum, amelyen azonosan
0?
Feladat: 8.10. [
155]
Van-der-Waerden függvénye
A
ϕ0
függvény grafikonja az
1. ábra felső részén látható,
ϕ0
periódusa
1, értékkészlete a
[0;
1
2
] intervallum. A grafikon szimmetrikus az
x=
k
2
(
k∈Z) egyenesekre.
Legyen
ϕn
(x)=
1
2n
ϕ0
(
2n
x) (
n∈
N+
). A
ϕ1
,
ϕ2
függvények grafikonja feketével húzva látható az alábbi ábra középső ill. alsó részén. Legyen továbbá
|
Φn
(x)=
ϕ0
(x)+
ϕ1
(x)+…+
ϕn
(x).
|
1. ábra
Rajzoljuk meg a
Φ1
,
Φ2
,
Φ3
függvények grafikonját!
b) Mutassuk meg, hogy
Φk
grafikonja egyenes szakaszokból áll és ezek meredeksége olyan egész, amelynek paritása
(k+1) paritásával egyezik meg.
c) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x)=
limn→∞
Φn
(x) határérték minden
x∈R-re létezik!
d) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x) függvény minden
x∈R-ben folytonos!
e) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x) függvény semelyik
x∈R-ben sem differenciálható!
f) Határozzuk meg
Φ(x) maximumát!
g) Adjuk meg
Φ(x) összes maximumhelyét!