7. FEJEZET: Görbék

Feladat: 7.1.
Melyik nevezetes görbe paraméterezését adja meg a γ(t)=(cht;sht) képlet?
 

Feladat: 7.2.
ciklois Egy kerék csúszásmentesen gördül az egyenes talajon. Írjuk le a kerék egy pontjának pályáját! Tegyük fel, hogy a kerék a számegyenes origójából indul, és kezdetben a vizsgált pont épp az origóban van. A t időpillanatban a kerék érintési pontja a számegyenesen legyen épp t-ben. Adjuk meg a mozgó pont koordinátáit t függvényében!
 

Feladat: 7.3.
Asztrois Egy r sugarú kör belsejében csúszásmentesen gördül egy negyedakkora sugarú kör. A kisebb kör egy pontjának pályáját elemezzük. Legyen a nagy kör középpontja a koordinátarendszer origója, és a t=0 időpontban a vizsgált mozgó pont legyen a két kör érintési pontja, a γ(0)=(r;0) pont. a) Vázoljuk a görbét! b) Tételezzük fel, hogy t idő alatt a két kör érintési pontja az origó körül t radián szöget fordult el. Írjuk fel a vizsgált pont koordinátáit! c) Algebrai görbe-e az asztrois? Van-e olyan kétváltozós polinom, p(x;y), amelynek zérushelyeinek halmaza épp a fent definiált görbe?
 

Feladat: 7.4.
Arkhimédeszi spirális Egy pont egyenletesen mozog egy egyenesen, amely egyenletesen forog egy pontja körül. Írjuk le a mozgó pont pályáját! a) Vázoljuk a görbét! b) Legyen kezdetben a forgó egyenes az x-tengely, rajta a mozgó pont kezdetben az origó, a forgási középpont pedig mindig az origó. Jelölje a az egyenesen való haladási sebesség és az egyenes forgási szögsebességének hányadosát. Paraméterezzük a spirálist az egyenes origó körüli elfordulásának θ szögével! c) Algebrai görbe-e az Arkhimédeszi spirális? Van-e olyan kétváltozós polinom, p(x;y), amelynek zérushelyeinek halmaza épp a fent definiált görbe?
 

Feladat: 7.5.
Bernoulli-féle Lemniszkáta a) Alább négy definíciót olvashatunk. Mutassuk meg, hogy mind a négy ugyanazt a görbét definiálja! Def. 1. Azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek az F1 (- 2 2 ;0), F2 ( 2 2 ;0) pontoktól való távolságának szorzata 1 2 . Def. 2. Az ABCD rúdszerkezet az AB, BC, CD, DA rudakból és az A, B, C, D pontokban található csuklókból áll. Az AB, CD rudak hossza 2 egység, míg a BC, DA rudaké 1 egység. Az A, B pontokat az F1 (- 2 2 ;0), F2 ( 2 2 ;0) pontokhoz rögzítjük, míg C és D mozog. Hol helyezkedhet el a CD szakasz felezőpontja amikor a szerkezet átmetszi önmagát? Def. 3. Invertáljuk az x2 - y2 =1 egyenletű hiperbolát az origó körüli egység sugarú körre! Def. 4. Állítsunk merőlegest az x2 - y2 =1 hiperbola érintőire az origóból. Mi a talppontok mértani helye? b) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta egyenlete Descartes koordinátarendszerben:

x2 - y2 =( x2 + y2 )2 .

(1)

c) Adjuk meg a P pont koordinátáit, ha tudjuk, hogy illeszkedik a fenti lemniszkátára és az origótól való távolsága t!
 

Feladat: 7.6.
Logaritmikus spirál A logaritmikus spirál egyenlete polárkoordinátákban: r=a· ebφ , ahol a és b konstansok. a) Mutassuk meg, hogy tetszőleges α, β szögek esetén a görbe φ∈[0;α] íve hasonló a φ∈[β,β+α] ívhez! b) Vázoljuk a spirált!
 

Feladat: 7.7.
Számítsuk ki az origó középpontú egység sugarú kör x∈[0;ξ] intervallum fölötti ívének hosszát az integrálszámítás segítségével!
 

Feladat: 7.8.
Számítsuk ki a 7.2. feladatban megadott ciklois t1 =2, t2 =3 paraméterértékek közés eső részének területét!
 

Feladat: 7.9.
Számítsuk ki a 7.3. feladatban megadott asztrois a) teljes ívének hosszát; b) által határolt tartomány területét! c) Mutassuk meg, hogy az asztrois érintőjének a koordinátatengelyek közé eső darabja állandó hosszúságú! (A fal mellett lecsúszó pálca asztroist érint.)
 

Feladat: 7.10.
A sík egy pontját megadja az origótól való r távolsága és helyvektorának az x-tengely pozitív félegyenesével bezárt ϕ (polár)szöge. Azt mondjuk, hogy megadtuk a görbe poláris egyenletét, ha meghatároztuk az r(ϕ) függvényt, tehát kifejeztük a sugarat a polárszög függvényében. a) Fejezzük ki a r(ϕ) poláris egyenlettel megadott görbe ϕ=α, ϕ=β közti ívének hosszát!
 

Feladat: 7.11.
Arkhimédeszi spirális a) Határozzuk meg a 7.4. feladatban megadott Arkhimédeszi spirális első teljes (a ϕ=0, ϕ=2π értékek közé eső) ívének hosszát! b) Számítsuk ki a sugár és az érintő szögét, azaz adjuk meg a ϕ paraméter függvényében a az origót a görbe ϕ paraméterű Pϕ pontjával összekötő egyenes és a spirál Pϕ pontjához húzott érintő egyenes szögét! c) A kör négyszögesítése Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy kör. Szerkesszük a körrel egyenlő területű téglalapot! d) Szögharmadolás Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy szög. Szerkesszük meg a szög harmadát!
 

Feladat: 7.12.
Forgassuk meg az y= x2 függvény grafikonja és az x tengely által határolt tartományt az x=0 és x=1 értékek között az x-tengely körül és határozzuk meg a keletkező forgástest térfogatát!
 

Feladat: 7.13.
Határozzuk meg az y=lnx függvény x-tengely körüli forgatásakor keletkező forgástes 1≤x≤2 abszcisszájú pontok által határolt részének térfogatát!
 

Feladat: 7.14.
Hengerek áthatása Két r sugarú körhenger úgy helyezkedik el, hogy forgástengelyük egy síkban fekszik és merőleges egymásra. Határozzuk meg a két henger közös részének térfogatát!
 

Feladat: 7.15.
Paraméterezett görbe forgatása Adjuk meg a γ(t)=(x(t),y(t)) paraméterezett görbe t=α, t=β paraméterértékekhez tartozó pontjai közti ívének x-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest térfogatát (feltételezzük, hogy ott y az x függvénye)!
 

Feladat: 7.16.
Parabola ívhossza Számítsuk ki az y= x2 normálparabola x=0 és x=1 abszcisszájú pontjai közti ívének hosszát!
 

Feladat: 7.17.
Exponenciális fv. grafikonjának ívhossza Számítsuk ki az y= ex exponenciális függvény x=0 és x=1 abszcisszájú pontjai közti ívének hosszát!
 

Feladat: 7.18.
Ciklois ívhossza, területe Határozzuk meg egy teljes ciklois ív (lásd a 7.2. feladatot) a) hosszát; b) alatti terület nagyságát!
 

Feladat: 7.19.
Logaritmikus spirál a) Határozzuk meg, hogy az r=a· ebϕ egyenletű logaritmikus spirál (lásd a 7.6. feladatot) mekkora szöget zár be azzal a sugáregyenessel, amit éppen metsz! (Tehát a görbe adott pontbeli érintőjének és a pontot az origóval összekötő egyenesnek a szögét kell meghatározni.) b) Számítsuk ki a görbe egy teljes ívének, a ϕ∈[0;2π] paramétertartományhoz tartozó ívnek a hosszát!