7. FEJEZET: Görbék
Görbék paraméterezése
Feladat: 7.1.
Melyik nevezetes görbe paraméterezését adja meg a
γ(t)=(cht;sht) képlet?
Feladat: 7.2.
ciklois
Egy kerék csúszásmentesen gördül az egyenes talajon. Írjuk le a kerék egy pontjának pályáját!
Tegyük fel, hogy a kerék a számegyenes origójából indul, és kezdetben a vizsgált pont épp az origóban van. A
t időpillanatban a kerék érintési pontja a számegyenesen legyen épp
t-ben. Adjuk meg a mozgó pont koordinátáit
t függvényében!
Feladat: 7.3.
Asztrois
Egy
r sugarú kör belsejében csúszásmentesen gördül egy negyedakkora sugarú kör. A kisebb kör egy pontjának pályáját elemezzük. Legyen a nagy kör középpontja a koordinátarendszer origója, és a
t=0 időpontban a vizsgált mozgó pont legyen a két kör érintési pontja, a
γ(0)=(r;0) pont.
a) Vázoljuk a görbét!
b) Tételezzük fel, hogy
t idő alatt a két kör érintési pontja az origó körül
t radián szöget fordult el. Írjuk fel a vizsgált pont koordinátáit!
c) Algebrai görbe-e az asztrois? Van-e olyan kétváltozós polinom,
p(x;y), amelynek zérushelyeinek halmaza épp a fent definiált görbe?
Feladat: 7.4.
Arkhimédeszi spirális
Egy pont egyenletesen mozog egy egyenesen, amely egyenletesen forog egy pontja körül. Írjuk le a mozgó pont pályáját!
a) Vázoljuk a görbét!
b) Legyen kezdetben a forgó egyenes az
x-tengely, rajta a mozgó pont kezdetben az origó, a forgási középpont pedig mindig az origó. Jelölje
a az egyenesen való haladási sebesség és az egyenes forgási szögsebességének hányadosát. Paraméterezzük a spirálist az egyenes origó körüli elfordulásának
θ szögével!
c) Algebrai görbe-e az Arkhimédeszi spirális? Van-e olyan kétváltozós polinom,
p(x;y), amelynek zérushelyeinek halmaza épp a fent definiált görbe?
Feladat: 7.5.
Bernoulli-féle Lemniszkáta
a) Alább négy definíciót olvashatunk. Mutassuk meg, hogy mind a négy ugyanazt a görbét definiálja!
Def. 1. Azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek az
F1
(-
2
2
;0),
F2
(
2
2
;0) pontoktól való távolságának szorzata
1
2
.
Def. 2. Az
ABCD rúdszerkezet az
AB,
BC,
CD,
DA rudakból és az
A,
B,
C,
D pontokban található csuklókból áll. Az
AB,
CD rudak hossza
2 egység, míg a
BC,
DA rudaké
1 egység. Az
A,
B pontokat az
F1
(-
2
2
;0),
F2
(
2
2
;0) pontokhoz rögzítjük, míg
C és
D mozog. Hol helyezkedhet el a
CD szakasz felezőpontja amikor a szerkezet átmetszi önmagát?
Def. 3. Invertáljuk az
x2
-
y2
=1 egyenletű hiperbolát az origó körüli egység sugarú körre!
Def. 4. Állítsunk merőlegest az
x2
-
y2
=1 hiperbola érintőire az origóból. Mi a talppontok mértani helye?
b) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta egyenlete Descartes koordinátarendszerben:
c) Adjuk meg a
P pont koordinátáit, ha tudjuk, hogy illeszkedik a fenti lemniszkátára és az origótól való távolsága
t!
Feladat: 7.6.
Logaritmikus spirál
A logaritmikus spirál egyenlete polárkoordinátákban:
r=a·
ebφ
, ahol
a és
b konstansok.
a) Mutassuk meg, hogy tetszőleges
α,
β szögek esetén a görbe
φ∈[0;α] íve hasonló a
φ∈[β,β+α] ívhez!
b) Vázoljuk a spirált!
Görbék tulajdonságai
Feladat: 7.7.
Számítsuk ki az origó középpontú egység sugarú kör
x∈[0;ξ] intervallum fölötti ívének hosszát az integrálszámítás segítségével!
Feladat: 7.8.
Számítsuk ki a
7.2. feladatban megadott ciklois
t1
=2,
t2
=3 paraméterértékek közés eső részének területét!
Feladat: 7.9.
Számítsuk ki a
7.3. feladatban megadott asztrois
a) teljes ívének hosszát;
b) által határolt tartomány területét!
c) Mutassuk meg, hogy az asztrois érintőjének a koordinátatengelyek közé eső darabja állandó hosszúságú! (A fal mellett lecsúszó pálca asztroist érint.)
Feladat: 7.10.
A sík egy pontját megadja az origótól való
r távolsága és helyvektorának az
x-tengely pozitív félegyenesével bezárt
ϕ (polár)szöge. Azt mondjuk, hogy megadtuk a görbe
poláris egyenletét, ha meghatároztuk az
r(ϕ) függvényt, tehát kifejeztük a sugarat a polárszög függvényében.
a)
Fejezzük ki a
r(ϕ) poláris egyenlettel megadott görbe
ϕ=α,
ϕ=β közti ívének hosszát!
Feladat: 7.11.
Arkhimédeszi spirális
a) Határozzuk meg a
7.4. feladatban megadott Arkhimédeszi spirális első teljes (a
ϕ=0,
ϕ=2π értékek közé eső) ívének hosszát!
b) Számítsuk ki a sugár és az érintő szögét, azaz adjuk meg a
ϕ paraméter függvényében a az origót a görbe
ϕ paraméterű
Pϕ
pontjával összekötő egyenes és a spirál
Pϕ
pontjához húzott érintő egyenes szögét!
c) A kör négyszögesítése
Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy kör. Szerkesszük a körrel egyenlő területű téglalapot!
d) Szögharmadolás
Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy szög. Szerkesszük meg a szög harmadát!
Feladat: 7.12.
Forgassuk meg az
y=
x2
függvény grafikonja és az
x tengely által határolt tartományt az
x=0 és
x=1 értékek között az
x-tengely körül és határozzuk meg a keletkező forgástest térfogatát!
Feladat: 7.13.
Határozzuk meg az
y=lnx függvény
x-tengely körüli forgatásakor keletkező forgástes
1≤x≤2 abszcisszájú pontok által határolt részének térfogatát!
Feladat: 7.14.
Hengerek áthatása
Két
r sugarú körhenger úgy helyezkedik el, hogy forgástengelyük egy síkban fekszik és merőleges egymásra.
Határozzuk meg a két henger közös részének térfogatát!
Feladat: 7.15.
Paraméterezett görbe forgatása
Adjuk meg a
γ(t)=(x(t),y(t)) paraméterezett görbe
t=α,
t=β paraméterértékekhez tartozó pontjai közti ívének
x-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest térfogatát (feltételezzük, hogy ott
y az
x függvénye)!
Feladat: 7.16.
Parabola ívhossza
Számítsuk ki az
y=
x2
normálparabola
x=0 és
x=1 abszcisszájú pontjai közti ívének hosszát!
Feladat: 7.17.
Exponenciális fv. grafikonjának ívhossza
Számítsuk ki az
y=
ex
exponenciális függvény
x=0 és
x=1 abszcisszájú pontjai közti ívének hosszát!
Feladat: 7.18.
Ciklois ívhossza, területe
Határozzuk meg egy teljes ciklois ív (lásd a
7.2. feladatot)
a) hosszát;
b) alatti terület nagyságát!
Feladat: 7.19.
Logaritmikus spirál
a) Határozzuk meg, hogy az
r=a·
ebϕ
egyenletű logaritmikus spirál (lásd a
7.6. feladatot) mekkora szöget zár be azzal a sugáregyenessel, amit éppen metsz! (Tehát a görbe adott pontbeli érintőjének és a pontot az origóval összekötő egyenesnek a szögét kell meghatározni.)
b) Számítsuk ki a görbe egy teljes ívének, a
ϕ∈[0;2π] paramétertartományhoz tartozó ívnek a hosszát!