Matkönyv feladatgyűjtemény: FĂĽggvĂ©nyek 11--12

1. FEJEZET: Harmadfokú függvények

Bezárás: [ X ]

A harmadfokú függvény

Ebben a fejezetben a harmadfokú függvény grafikonjának egyszer? geometriai tulajdonságait vizsgáljuk. A másodfokú függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus, és ez egyszer? függvénytranszformációval következik abból, hogy az x2 függvény páros függvény, így tengelyesen szimmetrikus. Az x3 függvény páratlan, tehát az origóra középpontosan szimmetrikus. Ezért azt remélnénk, hogy minden harmadfokú függvény középpontosan szimmetrikus. Csakhogy itt a helyzet bonyolultabb, mert nem kaphatunk meg minden harmadfokú függvényt az x3 függvényből. A másodfokú függvénynél a "teljes négyzetté alakítás" alapján tudunk minden másodfokú függvényt előállítani az x2 függvényből. Először tehát azt vizsgáljuk meg, hogy a hasonló eljárás segítségével mennyire egyszer?síthető a harmadfokú függvény alakja.

Ezután a függvény konvexitási tartományait, majd a monotonitási tartományait keressük meg. Mindkettőhöz használni fogjuk a differenciahányadost:
Definíció. Az x és y pontokban értelmezett f függvénynek e két ponthoz tartozó differenciahányadosa f(x)-f(y) x-y . Szavakkal: a függvény grafikonjának az x és y abszcisszájú pontokhoz tartozó pontjait összekötő húr meredeksége.
Használni fogjuk a következő egyszer? tényeket:
Tétel. Az (a,b) intervallumon értelmezett f függvény ebben az intervallumban pontosan akkor nő monotonan (szigorúan monotonan), ha az intervallum bármely rögzített x pontjára az f(y)-f(x) y-x függvény nem negatív (pozitív). Ezt a függvényt az f függvénynek az x pontjához tartozó differenciahányados függvényének nevezzük. Az f függvény pontosan akkor konvex ezen az intervallumon, ha minden x ponthoz tartozó differenciahányados függvény monoton nő.
A csökkenésre és a konkavitásra vonatkozó állításokat -1-gyel való szorzással kapjuk a fenti tételből.

A harmadfokú függvény szimmetriája

Feladat: 1.1.
Igazoljuk, hogy alkalmas x' =x+t választással az ax3 + bx2 +cx+d függvény a( x1 3 + px1 +q alakra hozható
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 1.2.
Az 1.1 feladat szerint elég az y= x3 +px+q függvény grafikonjának a geometriai tulajdonságát vizsgálnunk.
Igazoljuk, hogy az y= x3 +px+q függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus és keressük meg a szimmetria középpontját!
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 1.3.
Van-e szimmetria középpontja az általános ax3 + bx2 +cx+d harmadfokú függvénynek ( a nem nulla)?
 
[  Segítség, útmutatás  ]

A harmadfokú függvény konvexitása

Feladat: 1.4.
Igazoljuk, hogy az x3 +px függvény a szimmetria középpontja ütán" a grafikon konvex (a grafikon fölötti tartomány konvex), ëlőtte" konkáv (azaz a grafikon alatti tartomány konvex).
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 1.5.
állapítsuk meg az általános ax3 + bx2 +cx+d harmadfokú függvény ( a nem nulla) konvexitási (és konkávitási) tartományait!
 
[  Segítség, útmutatás  ]

A harmadfokú függvény valós gyökeinek száma I.

Feladat: 1.6.
Igazoljuk, hogy ha az x3 - ax2 +bx-c polinomban a2 <3b, akkor a polinomnak csak egy valós gyöke van.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 1.7.
Igazoljuk, hogy ha az ax3 + bx2 +cx+d polinomban b2 <3ac, akkor a polinomnak csak egy valós gyöke van.
 
[  Segítség, útmutatás  ]

A harmadfokú függvény monotonitása és helyi szélsőértékei

Feladat: 1.8.
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív x számra -5 x3 -2 x2 +3x≤ 16 27 .
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 1.9.
Igazoljuk, hogy minden nem negatív x számra x(4- x2 ≤ 16 33 .
Mikor áll fenn az egyenlőség?
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 1.10.
Bizonyítsuk be, hogy
x(p- x2 )≤ pp 33 ,
ha x pozitív. Egyenlőség x= p 3 esetén van.
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 1.11.
Tekintsük most az x3 -px+q harmadfokú függvényt. feladatban láttuk, hogy ennek a függvénynek egyetlen inflexiós pontja van, mégpedig az x=0 abszcisszájú pontban. A monotonitásáról a következőket tudjuk:
Ha p≤0, akkor ez a függvény szigorúan monotonan növekszik az egész számegyenesen.
Ha p>0, akkor eddig azt láttuk be, hogy a pozitív félegyenesen az ellentettjének pontosan egy maximuma van, az x= p 3 pontban. (Lásd az 1.10, tehát ennek a függvénynek a pozitív félegyenesen ugyanitt minimuma van.
Bizonyítsuk be, hogy a függvény a 0<x< p 3 intervallumon szigorúan monotonan csökken, az x> p 3 félegyenesen szigorúan monotonan növekszik.
A negatív félegyenesen pont fordítva viselkedik a függvény, mert páratlan.
 
[  Megoldás  ]

Összefoglalás és még egy geometriai tulajdonság

Feladat: 1.12.
Összefoglalás.
Tekintsük az f(x)= ax3 + bx2 +cx+d harmadfokú függvényt, ahol a nem nulla. Igazoljuk a következőket:
Az f függvény szimmetrikus a -b 3a abszcisszájú pontjára. Ha a pozitív, akkor a kisebb abszcisszájú pontok alkotta félegyenesen konkáv, az ellenkező félegyenesen konvex. Ha a negatív, akkor pont fordítva.
Ha b2  3ac, akkor pozitív (negatív) a esetén az egész számegyenesen szigorúan monotonan nő (csökken). Ezekben az esetekben pontosan egy nullhelye van a függvénynek. (Egyenlőség esetén lehet háromszoros nullhely is.)
Ha b2 >3ac, akkor pozitív (negatív) a esetén az f függvény
az x≤ -b 3a - b2 -3ac 3 a2 = x0 félegyenesen szigorúan monotonan nő (csökken), az x0 ≤ -b 3a + b2 -3ac 3 a2 = x1 intervallumon szigorúan monotonan csökken (nő), az x1 <x félegyenesen ismét szigorúan nő (csökken).
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 1.13.
Az 1.12 jelöléseit használva húzzunk párhuzamost az x-tengellyel az x0 abszcisszájú ponton át, messe ez másodszor az x0 ' abszcisszájú pontban a függvény grafikonját. Hasonlóan definiáljuk az x1 ' pontot. Bizonyítsuk be, hogy
x0 ' =-2 x0 és x1 ' =-2 x1 .
Mivel x0 és x1 egyenlő távol van -b 3a -tól (a szimmetria középpont abszcisszájától), ezért a fenti állítás geometriailag azt jelenti, hogy az 1.1 ábrán szereplő négy téglalap egybevágó.
E megjegyzés alapján kipróbálhatjuk, tudunk-e spontán módon olyan függvénygrafikont rajzolni, amelyik hasonlít egy harmadfokú függvényére.
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 1.14.
Milyen valós q számokra van három gyöke az x3 -px+q polinomnak?
 
[  Segítség, útmutatás  ]