4. FEJEZET: Szélsőérték

Feladat: 4.1.
[126] Adott egyenes körkúpba írjunk maximális felszínű hengert!
 

Feladat: 4.2.
[10] 1 literes henger alakú bádog edényt akarunk készíteni. Hogyan válasszuk a méreteit, hogy a legkevesebb bádogra legyen szükségünk?
 

Feladat: 4.3.
[10] Egy négyzet alakú papírlapból a maximális térfogatú nyitott dobozt akarjuk készíteni. A sarkokon kis négyzeteket vágunk le, és az oldalt keletkező részeket felhajtjuk. Határozzuk meg a nagy és a levágandó kis négyzet oldalának arányát!
 

Feladat: 4.4.
[10] Hogyan lehet A-tól B-be az e egyenes érintésével az ACB alakú legrövidebb úton eljutni (az 1. ábra)?

1. ábra

 

Feladat: 4.5.
[10] A-ból B-be akarunk jutni a legrövidebb idő alatt; az e egyenesig cA egyenletes sebességgel haladunk, az e egyenesen túl pedig cB egyenletes sebességgel (az 1. ábra). Milyen úton menjünk?

1. ábra

 

Feladat: 4.6.
[10] Egy r sugarú kerek asztal közepe fölött van egy föl- és letolható lámpa. Milyen magasra kell a lámpát helyeznünk, hogy az asztal körül ülők a legjobban lássanak? (A fénytanból ismeretes, hogy a fényerősség a távolság négyzetével fordítottan, a fénysugaraknak az asztal síkjával alkotott szöge szinuszával pedig egyenesen arányos.)
 

Feladat: 4.7.
[10] Adva van egy r sugarú körlap (itatós papirosból). Mekkora nyílású körcikket vágjunk ki belőle, hogy a készítendő tölcsér alakú szűrő maximális térfogatú legyen?
 

Feladat: 4.8.
[10] Tapasztalásból tudják a mérnökök, hogy adott hosszúságú gerenda hordképessége egyenesen arányos a szélességével és a vastagságának a négyzetével. Hogyan vágjunk ki egy henger alakú fatörzsből olyan gerendát, melynek hordképessége maximális?
 

Feladat: 4.9.
[10] n galvánelemből állítunk elő telepet, éspedig olyan módon, hogy x elemet párhuzamosan és így y= n x csoportot sorba kapcsolunk. Hogyan kell az x-et megválasztanunk, hogy az így keletkező telep áramerőssége maximális legyen?
 

Feladat: 4.10.
[10] Egy adott körbe rajzolható derékszögű négyszögek közül melyiknek van maximális területe?
 

Feladat: 4.11.
[10] Hogyan kell egy adott gömbbe olyan hengert állítani, amelynek térfogata maximális?
 

Feladat: 4.12.
[10] Egy adott egyenes körkúpba helyezhető körhengerek közül melyiknek van maximális térfogata? (A henger alapja a kúp alapján legyen.)
 

Feladat: 4.13.
[10] Melyik az a négyzetalapú maximális
a) térfogatú
 

 
b) felületű
gúla, melynek mindegyik oldaléle a hosszúságú?
 

Feladat: 4.14.
Határozzuk meg az 1,   2,   33,   44,   55,… sorozat legnagyobb elemét!
 

Feladat: 4.15.
Milyen hosszú kamion fordulhat be a kereszteződésben? Legfeljebb milyen hosszú lehet az a szakasz, amely áttolható egy 5 egység szélességű sávból egy arra merőleges 2 egység szélességű sávba (lásd az 1. ábrát)?

1. ábra