9. FEJEZET: Vegyes feladatok
Feladat: 9.1. [
80]
Az
f folytonos és monoton növekedő függvény a
[0;1] intervallumban értelmezett, és értékkészlete is ugyanez az intervallum, továbbá
f(0)=0,
f(1)=1. Bizonyítsuk be, hogy a függvény grafikonját le lehet fedni
n darab egyenként
1
n2
területű téglalappal (a téglalapok oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel)!
Feladat: 9.2. [
5]
Stirling formula
Alább a logaritmus görbe alatti,
1 és
n abszcisszák közés eső
In
területének vizsgálatából
n! értékére nyerünk aszimptotikus formulát.
Legyen
i∈
N+
esetén
Ai
(i;0),
Bi
(i;lni), valamint jelölje
Ci
a logaritmus görbe
Bi+1
-beli érintőjének
i abszcisszájú pontját és
Si
,
Ti
,
ti
rendre az
Ai
Ai+1
Bi+1
Bi
négyszög, a
Bi
Bi+1
Ci
háromszög (az ábrán a szürke és fekete tartomány együtt) illetve a
Bi
Bi+1
húr és a logaritmusgörbe közti tartomány (az
1. ábrán a fekete tartomány) területét.
1. ábra
a) Fejezzük ki
n-nel
In
értékét!
b) Fejezzük ki
i-vel
Si
értékét!
c) Fejezzük ki
n! értékét az
In
-re és
Si
-re kapott formulákból és a
ti
területekkel!
d) Mutassuk meg, hogy a
τn
=
∑i=1
n
Ti
sorozat konvergens!
e) Mutassuk meg, hogy a
τ
'n
=
∑i=1
n
ti
sorozat konvergens!
f) Határozzuk meg a
cn
=lnn!-(n+
1
2
)lnn+n sorozat határértékét (
cn
=1-τ
'n
)!
g) Mutassuk meg, hogy
Feladat: 9.3. [
126]
Egy fűrészfog
Alább (lásd az
1. ábrát) egy ,,fűrészfogat" vizsgálunk, amely végtelen sok f,,fog"-ból áll. A fogak az
x tengely
[0;1] intervalluma és az
y=x függvény grafikonja között találhatók. A fogak derékszögű háromszögek, melyek két befogója vízszintes illetve függőleges az ábra szerint. A háromszög átfogója az origó felé haladva egyre meredekebb. A legnagyobb, az
(1;1) pontban cégződő fűrészfog bal oldala
2 meredekségű, a következő fog bal oldala már
4 meredekségű, majd
6 meredekségű fog következik, és így tovább.
1. ábra
a) Mutassuk meg, hogy a fogazat (a ferde átfogók
x tengellyel alkotott metszéspontjai) tartanak az origóhoz (
x=0-hoz)!
b) Határozzuk meg a háromszögek területének összegét!
Elliptikus integrálok
Feladat: 9.4.
Ez a feladat az
I0
(ξ)=
∫0
ξ
dx
1-
x2
integrálról szól, amely az origó középpontú egységkör azon ívének hosszát adja meg,amelynek
x tengelyre eső vetülete a
[0;ξ] intervallum.
A primitívfüggvény felhasználása nélkül számítsuk ki az
a)
x=1-
u2
,
b)
x=
1-1-
z2
2
(0≤x,ξ≤
1
2
)
helyettesítéssel adódó új integrandusokat
(0≤u,z≤1), és az integrálás határait. Értelmezzük a kapott eredményt!
Feladat: 9.5.
(
Fagnano a lemniszkátáról)
a) Mutassuk meg, hogy a Bernoulli-féle lemniszkáta (lásd a
7.5. feladatot) origóból induló
τ hosszú húrjához tartozó ívének hossza (lásd az
1. ábrát):
1. ábra
b) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta görbén a
CM=τ hosszúságú és a
hosszúságú húrhoz tartozó ívek negyedívre egészítik ki egymást, azaz a
CM
^
ív az
AN
^
ívvel, a
CN
^
ív pedig az
AM
^
ívvel egyenlő hosszú.
c) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta görbén a
CM=τ hosszúságú húrhoz tartozó ív hosszának kétszeresével egyenlő a
hosszúságú húrhoz tartozó ív hossza.
d) Mutassuk meg, hogy ha a lemniszkáta
CA tengelyére merőlegest állítunk az
A végpontban és erre felmérjük az
AT=CM szakaszt, akkor a
CT félegyenes kimetszi a lemniszkátából azt az
N pontot, amelyre a
CM
^
,
NA
^
lemniszkátaívek egyenlő hosszúak.
Feladat: 9.6.
(
Fagnano és az ellipszis)
a) Tekintsük a
C középpontú
r sugarú
k kör
AB
^
negyedkörívét és rajta a tetszőlegesen felvett
M pontot (lásd az
1. ábrát). A
k kör
M-beli érintőjén vegyük fel a
H,
K pontokat úgy, hogy
H a
CB félegyenes metszéspontja legyen, míg
K a
H-tól
M felé helyezkedjék el
H-tól
r távolságra. Messe a
K-n át húzott
CB-vel párhuzamos egyenes a negyedkörívet az
N pontban. Mutassuk meg, hogy a kör
BM
^
,
NA
^
ívei egyenlők.
1. ábra
b) (
Fagnano pont, mint extrémum)
Most egy
k ellipszist vizsgálunk, melynek középpontja
C, fél nagytengelye
CA, fél kistengelye
CB. Tekintsük az ellipszis
AB
^
negyedívén egy tetszőleges
M pontot és legyen a
C középpont merőleges vetülete az ellipszis
M-beli érintőjén
T. Határozzuk meg az
MT szakasz hosszának maximumát!
c) Tekintsük még az ellipszis
M-beli érintőjén a
H,
K pontokat úgy, hogy
H a
CB félegyenes metszéspontja legyen, míg
K a
H-tól
M felé helyezkedjék el
H-tól a
CA fél nagytengellyel egyenlő távolságra. Messe a
K-n át húzott
CB-vel párhuzamos egyenes a negyed ellipszisívet az
N pontban. Mutassuk meg, hogy az ellipszis
BM
^
,
NA
^
íveinek különbsége a
TM szakasz hosszával egyenlő.
d) (
Fagnano pont, mint kerületfelező)
Ha az
ACB ellipszisnegyed
CA féltengelyére egy
CAE egyenlő oldalú háromszöget szerkesztünk (lásd a
2. ábrát), és az
AE oldalra felmérjük az
AF=CB féltengelyt, akkor a
C középpontú
F-en átmenő kör a
BA
^
ellipszisívet egy olyan
O pontban metszi, amelyre
CA+
AO
^
=CB+
BO
^
,
|
tehát a
CA,
CB féltengelyek és a
BC ív alkotta zárt görbe kerületét felezi a
CO egyenes.
2. ábra