9. FEJEZET: Vegyes feladatok

Feladat: 9.1.
[80] Az f folytonos és monoton növekedő függvény a [0;1] intervallumban értelmezett, és értékkészlete is ugyanez az intervallum, továbbá f(0)=0, f(1)=1. Bizonyítsuk be, hogy a függvény grafikonját le lehet fedni n darab egyenként 1 n2 területű téglalappal (a téglalapok oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel)!
 

Feladat: 9.2.
[5] Stirling formula Alább a logaritmus görbe alatti, 1 és n abszcisszák közés eső In területének vizsgálatából n! értékére nyerünk aszimptotikus formulát. Legyen i∈ N+ esetén Ai (i;0), Bi (i;lni), valamint jelölje Ci a logaritmus görbe Bi+1 -beli érintőjének i abszcisszájú pontját és Si , Ti , ti rendre az Ai Ai+1 Bi+1 Bi négyszög, a Bi Bi+1 Ci háromszög (az ábrán a szürke és fekete tartomány együtt) illetve a Bi Bi+1 húr és a logaritmusgörbe közti tartomány (az 1. ábrán a fekete tartomány) területét.

1. ábra

a) Fejezzük ki n-nel In értékét!

b) Fejezzük ki i-vel Si értékét!

c) Fejezzük ki n! értékét az In -re és Si -re kapott formulákból és a ti területekkel!

d) Mutassuk meg, hogy a τn = ∑i=1 n Ti sorozat konvergens!

e) Mutassuk meg, hogy a τ 'n = ∑i=1 n ti sorozat konvergens!

f) Határozzuk meg a cn =lnn!-(n+ 1 2 )lnn+n sorozat határértékét ( cn =1-τ 'n )!

g) Mutassuk meg, hogy

limn→∞ n! nn e-n 2πn =1.

(1)

 

Feladat: 9.3.
[126] Egy fűrészfog Alább (lásd az 1. ábrát) egy ,,fűrészfogat" vizsgálunk, amely végtelen sok f,,fog"-ból áll. A fogak az x tengely [0;1] intervalluma és az y=x függvény grafikonja között találhatók. A fogak derékszögű háromszögek, melyek két befogója vízszintes illetve függőleges az ábra szerint. A háromszög átfogója az origó felé haladva egyre meredekebb. A legnagyobb, az (1;1) pontban cégződő fűrészfog bal oldala 2 meredekségű, a következő fog bal oldala már 4 meredekségű, majd 6 meredekségű fog következik, és így tovább.

1. ábra

a) Mutassuk meg, hogy a fogazat (a ferde átfogók x tengellyel alkotott metszéspontjai) tartanak az origóhoz ( x=0-hoz)!

b) Határozzuk meg a háromszögek területének összegét!
 

Feladat: 9.4.
Ez a feladat az I0 (ξ)= ∫0 ξ dx 1- x2 integrálról szól, amely az origó középpontú egységkör azon ívének hosszát adja meg,amelynek x tengelyre eső vetülete a [0;ξ] intervallum. A primitívfüggvény felhasználása nélkül számítsuk ki az a)       x=1- u2 , b)       x= 1-1- z2 2             (0≤x,ξ≤ 1 2 ) helyettesítéssel adódó új integrandusokat (0≤u,z≤1), és az integrálás határait. Értelmezzük a kapott eredményt!
 

Feladat: 9.5.
(Fagnano a lemniszkátáról) a) Mutassuk meg, hogy a Bernoulli-féle lemniszkáta (lásd a 7.5. feladatot) origóból induló τ hosszú húrjához tartozó ívének hossza (lásd az 1. ábrát):

∫0 τ dt 1- t4 .

(1)

1. ábra

b) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta görbén a CM=τ hosszúságú és a

CN=τ'= 1- τ2 1+ τ2

hosszúságú húrhoz tartozó ívek negyedívre egészítik ki egymást, azaz a CM ^ ív az AN ^ ívvel, a CN ^ ív pedig az AM ^ ívvel egyenlő hosszú.

c) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta görbén a CM=τ hosszúságú húrhoz tartozó ív hosszának kétszeresével egyenlő a

CM2 =τ"= 2τ1- τ4 1+ τ4

hosszúságú húrhoz tartozó ív hossza.

d) Mutassuk meg, hogy ha a lemniszkáta CA tengelyére merőlegest állítunk az A végpontban és erre felmérjük az AT=CM szakaszt, akkor a CT félegyenes kimetszi a lemniszkátából azt az N pontot, amelyre a CM ^ , NA ^ lemniszkátaívek egyenlő hosszúak.
 

Feladat: 9.6.
(Fagnano és az ellipszis) a) Tekintsük a C középpontú r sugarú k kör AB ^ negyedkörívét és rajta a tetszőlegesen felvett M pontot (lásd az 1. ábrát). A k kör M-beli érintőjén vegyük fel a H, K pontokat úgy, hogy H a CB félegyenes metszéspontja legyen, míg K a H-tól M felé helyezkedjék el H-tól r távolságra. Messe a K-n át húzott CB-vel párhuzamos egyenes a negyedkörívet az N pontban. Mutassuk meg, hogy a kör BM ^ , NA ^ ívei egyenlők.

1. ábra

b) (Fagnano pont, mint extrémum)

Most egy k ellipszist vizsgálunk, melynek középpontja C, fél nagytengelye CA, fél kistengelye CB. Tekintsük az ellipszis AB ^ negyedívén egy tetszőleges M pontot és legyen a C középpont merőleges vetülete az ellipszis M-beli érintőjén T. Határozzuk meg az MT szakasz hosszának maximumát!

c) Tekintsük még az ellipszis M-beli érintőjén a H, K pontokat úgy, hogy H a CB félegyenes metszéspontja legyen, míg K a H-tól M felé helyezkedjék el H-tól a CA fél nagytengellyel egyenlő távolságra. Messe a K-n át húzott CB-vel párhuzamos egyenes a negyed ellipszisívet az N pontban. Mutassuk meg, hogy az ellipszis BM ^ , NA ^ íveinek különbsége a TM szakasz hosszával egyenlő.

d) (Fagnano pont, mint kerületfelező)

Ha az ACB ellipszisnegyed CA féltengelyére egy CAE egyenlő oldalú háromszöget szerkesztünk (lásd a 2. ábrát), és az AE oldalra felmérjük az AF=CB féltengelyt, akkor a C középpontú F-en átmenő kör a BA ^ ellipszisívet egy olyan O pontban metszi, amelyre

CA+ AO ^ =CB+ BO ^ ,

tehát a CA, CB féltengelyek és a BC ív alkotta zárt görbe kerületét felezi a CO egyenes.

2. ábra