6. FEJEZET: Kerületi szögek II.
Kísérletek
Feladat: 6.1.
Adott a
k kör és rajta az
A és a
B pont. Futtassunk a
C pontot
k-n és vizsgáljuk a
BCA∠ külső és belső szögfelezőjét!
Feladat: 6.2.
Dolgozzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal!
a) Adott a
k kör és rajta az
A és a
B pont. Futtassuk a
C pontot a körön és minden helyzetében mérjük fel az
AC oldal
C-n túli meghosszabbítására a
CB'=CB szakaszt. Vizsgáljuk a
B' pont mértani helyét!
b) Fogalmazzunk meg sejtést és bizonyítsuk is be!
Feladat: 6.3.
A
k,
l körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Forgassunk egy egyenest
A-n át és minden helyzetében képezzük
k,
l körökkel alkotott (
A-tól különböző)
K és
L metszéspontját.
Vizsgáljuk a
KLB háromszögek rendszerét illetve e háromszög nevezetes pontjainak mértani helyét!
Feladat: 6.4.
Dolgozzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal! Itt nem várunk bizonyítást, hanem kísérletezést, sejtés megfogalmazását.
Adott az
ABC háromszög.
a) Keressük azokat a
P pontokat, amelyeknek a háromszög oldalaira vonatkozó
PA
,
PB
,
PC
tükörképei egy egyenesre illeszkednek.
b) Keressük azokat a
p egyeneseket, amelyeknek a háromszög oldalaira vonatkozó
pA
,
pB
,
pC
tükörképei egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.
Feladat: 6.5.
Adott az
ABC háromszög és a
P pont.
Vizsgáljuk dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal a
P ponton átmenő
p egyenesnek a háromszög oldalaira vonatkozó
pA
,
pB
,
pC
tükörképei határolta háromszög nevezetes pontjainak mértani helyét, ha
p befutja az összes
P-n átmenő egyenest! Sejtések megfogalmazását várjuk.
Feladat: 6.6.
Jelölje az egység átmérőjű kör
h∈[0;1] hosszú húrjához tartozó kisebb (nem nagyobb) ívének hosszát
α(h), míg az
α∈R hosszúságú körív végpontjait összekötő húr hosszát
h(α).
Rajzoltassuk ki dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal a
h,
α függvényeket!
Két metsző kör
Feladat: 6.7.
A
k,
l körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Tekintsük a
k körön a
K pontot és képezzük a
KA egyenes és az
l kör második metszéspontjaként az
L pontot.
a) Mutassuk meg, hogy a
KBL háromszög hasonlóság erejéig egyértelmű, független a
K pont választásától!
b) Hogyan függ a
KBL∠ szög a
k,
l körök szögétől?
Definíció:
Két metsző kör szögén a körök (bármelyik) metszéspontjában a körökhöz húzott érintőegyenek szögét értjük.
Feladat: 6.8.
A
k,
l körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Tekintsük a
k körön a
K pontot és képezzük a
KA,
KB egyenesek és az
l kör második metszéspontjait, az
LA
,
LB
pontokat. A
k kör mely
K pontjára lesz az
LA
LB
szakasz hossza maximális?
Feladat: 6.9.
Adott két metsző kör és egy szakasz. Szerkesztendő a körök egyik metszéspontján át
a) az előre adott szakasszal egyenlő hosszúságú
b) a lehető leghosszabb
szelő (tehát az egyenes két körrel való második metszéspontjai közti részét vizsgáljuk, ahogy az
1. ábrán is látható).
1. ábra
Feladat: 6.10.
Az
a illetve a
b egyenes áthalad a
k,
l körök
A illetve
B metszéspontján és a
k,
l köröket
A-n illetve
B-n kívül még a
KA
,
LA
, illetve a
KB
,
LB
pontban metszi (lásd az
1. ábrát). Mutassuk meg, hogy a
KA
KB
,
LA
LB
egyenesek párhuzamosak!
1. ábra
Feladat: 6.11.
Adott két metsző kör,
k és
l. Határozzuk meg az egyik metszésponton át húzott egyenes
k-t még
K-ban,
l-t még
L-ben metszi. Határozzuk meg a
KL szakasz
F felezőpontjának (lásd az
1. ábrát) mértani helyét!
1. ábra
Feladat: 6.12. [
50]
Szerkesszünk kört két egyenlő sugarú kör egyik metszéspontja körül. Igazoljuk, hogy ennek a két körrel való
K,
L metszéspontja (lásd az
1. ábrát) az eredeti körök
B metszéspontjával egy egyenesen van!
1. ábra
Feladat: 6.13. [
184]
*
A 2003. évi II. Olimpiai Válogatóverseny 2. feladata
A
k,
l körök metszéspontjai
A és
B. Választunk
k-n két pontot, legyenek ezek
K1
és
K2
(
K1
,
K2
,
A és
B négy különböző pont). A
K1
A,
K2
A egyenesek
l-lel való,
A-tól különböző metszépontjai legyenek
L1
és
L2
. Legyen
M a
K1
K2
és
L1
L2
egyenesek metszéspontja.
Igazoljuk, hogy
K1
és
K2
különböző választásainál a
K1
L1
M háromszög körülírt körének középpontja mindig egy rögzített körön lesz.
Lásd még a 6.64.-6.65., 6.66.-6.67. feladatokat.
A téma egy magasabb szinten újraindul a 12. fejezetben a 12.2., 12.3. feladatoktól.
Az ív felezőpontja
Feladat: 6.14.
Az
ABC háromszögbe írható kör középpontja
I, a
BC oldalához írható kör középpontja
IA
. Bizonyítsuk be, hogy
BICIA
húrnégyszög.
Feladat: 6.15.
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
CAB szögének belső szögfelezője felezi a körülírt kör
A-t nem tartalmazó
BC
^
ívét!
Feladat: 6.16.
Mutassuk meg, hogy a háromszög bármelyik szögének szögfelezője és az azzal a szöggel szemközti oldal felezőmerőlegese a háromszög körülírt körén metszi egymást!
Feladat: 6.17.
Szerkesztendő háromszög, ha adott két csúcsa, valamint a
körülírt és a beírt kör középpontja.
Feladat: 6.18.
Mutassuk meg, hogy az
ABC háromszög beírt körének
I középpontján, a
BC oldalhoz hozzáírt kör
IA
középpontján valamint a
B,
C csúcsokon átmenő kör (lásd a
6.14. feladatot) középpontja az
ABC háromszög
k körülírt körén van!
Feladat: 6.19.
Adottak a
k körön az
A és a
B pontok. Határozzuk meg a
k-ba írt
ABCD trapéz átlói metszéspontjainak halmazát, ha
C és
D változik.
Feladat: 6.20.
Adott az
ABC háromszög
k körülírt köre és rajta a
B és a
C csúcs. Határozzuk meg a háromszögbe írható kör középpontjának mértani helyét!
Feladat: 6.21.
Messe az
ABC háromszög
A-ból induló belső szögfelezője a szemközti oldalt az
NA
pontban, a köré írt kört
HA
-ban. Bizonyítandó, hogy
HA
NA
·
HA
A=
HA
B2
.
Feladat: 6.22.
Jelölje az
ABC háromszög beírt körének középpontját
I, az
A-hoz tartozó belső szögfelező és a háromszög körülírt körének
A-tól különböző metszéspontját
HA
és legyen
AI=
pa
,
BI=
pb
,
CI=
pc
,
IHA
=
da
.
a) Fejezzük ki a
pa
da
hányadost a háromszög oldalainak segítségével!
b) Fejezzük ki a
pa
da
szorzat értékét a háromszög beírt és körülírt köre sugarának (
r,R) segítségével!
c) Adjuk meg a
pb
pc
szorzat értékét az
ABC háromszög beírt körének sugara és a
da
szakasz segítségével!
Feladat: 6.23.
Adott az
ABC háromszög
A csúcsa, az
A-ból induló belső szögfelező és az
ABC háromszög köré írt kör második metszéspontja,
HA
, továbbá e szögfelező és a
BC oldal metszéspontja,
NA
. Adott továbbá az
ABC háromszögbe írható kör sugarának hossza. Szerkesztendő az
ABC háromszög.
Feladat: 6.24.
Igaz-e, hogy bármely háromszög bármelyik - nem egyenlő hosszú oldalak közti - csúcsánál
a) a szögfelező a magasságvonal és a körülírt kör középpontjához húzott sugár közé esik?
b) a szögfelező a magasságvonal és a súlyvonal közé esik?
c) a súlyvonal a szögfelező és a körülírt kör középpontjához húzott sugár közé esik?
Feladat: 6.25.
Szerkesztendő háromszög, ha adott egyik oldala, a vele szemközti szöge és a beírt kör sugara.
Feladat: 6.26.
Szerkesztendő háromszög, ha adott az a három pont, ahol a
a) szögfelezők
b) magasságvonalak
a (csúcsoktól különböző pontban) metszik a körülírt kört.
Feladat: 6.27.
Szerkesztendő háromszög, ha adott az egyik csúcsból kiinduló magasság, szögfelező és súlyvonal hossza.
Feladat: 6.28. [
165]
Adott az
ABC háromszög. Adjuk meg a sík összes olyan
X pontját, amelyre az
ABX háromszög körülírt körének középpontja illeszkedik a
CX egyenesre,
BCX körülírt körének középpontja
AX-re, míg a
CAX-é
BX-re!
Feladat: 6.29.
Szerkesszünk háromszöget, ha ismert az
a oldal hossza, a szemközti szög és a szemközti csúcsból induló szögfelező hossza.
Érintő szárú kerületi szögek
Bemelegítésül ajánljuk a Geometriai feladatok gyűjteménye[50] kötet alábbi példáit: 964., 965., 966., 994., 995.
Feladat: 6.30.
Messe az
ABC háromszög körülírt körének
C-beli érintője az
AB egyenest
P-ben, míg az
ACB∠ belső szögfelező egyenese
AB-t
Q-ban. Mutassuk meg, hogy
PQ=PC!
Feladat: 6.31.
Az
ABC háromszög
AB oldalán mozog a
P pont. Tekintsük azt a szöget, amelyet a
PAC és a
PBC háromszög köré írt körhöz a
P pontban húzott érint?k bezárnak. Mutassuk meg, hogy ez a szög állandó.
Feladat: 6.32.
Legyen az
ABC háromszög beírt köre középpontjának merőleges vetülete a
BC,
CA,
AB oldalon rendre
X,
Y és
Z. Fejezzük ki az
XYZ háromszög szögeit az
ABC háromszög szögeinek ismeretében.
Feladat: 6.33. [
115]
Az
AD szakasz érinti az
ABC háromszög körülírt körét, az
AC szakasz pedig az
ABD háromszög körülírt körét. Határozzuk meg a
BD
BC
arány értékét, ha tudjuk, hogy
AD
AC
=3.
Lásd még . feladatot illetve a 16. fejezet 16.10.-16.12. példáit.
A magasságpont és a körülírt kör
Feladat: 6.35.
Mutassuk meg, hogy az
ABC háromszög magasságvonalainak
TA
,
TB
,
TC
talppontjai alkotta
TA
TB
TC
háromszög szögeit felezik az
ABC háromszög magasságvonalai!
Feladat: 6.36.
Tükrözzük az
ABC háromszög magasságpontját a háromszög
a) oldalaira
b) oldalfelezőpontjaira!
Mutassuk meg, hogy a kapott pontok illeszkednek az
ABC háromszög körülírt körére!
Feladat: 6.37.
Tükrözzük az
ABC háromszög körülírt körét a háromszög oldalegyeneseire! Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést és bizonyítsuk be!
Feladat: 6.38.
Mutassuk meg, hogy ha három azonos sugarú kör egy közös ponton megy át, akkor páronkénti másik metszéspontjuk körülírt köre az eredeti körökkel azonos sugarú!
Feladat: 6.39.
A magasságponton átmenő egyenesek tükörképei
Mutassuk meg, hogy az
ABC háromszög magasságpontján átmenő egyenesnek a háromszög oldalaira vonatkozó tükörképei a háromszög körülírt körén egy pontban metszik egymást.
Feladat: 6.40.
A körülírt kör egy pontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei
Mutassuk meg, hogy a háromszög körülírt köre tetszőleges pontjának a háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei egy egyenesen vannak, amelyre illeszkedik a háromszög magasságpontja is.
Feladat: 6.41.
Simson egyenes
Mutassuk meg, hogy a sík egy pontjának valamely háromszög oldalaira vonatkozó merőleges vetületei pontosan akkor illeszkednek egy egyenesre, ha a kiindulásul vett pont illeszkedik a háromszög körülírt körére.
Megjegyzés
A vetületi pontok meghatározta egyenest a köri pont Simson egyenesének nevezzük. Előfordul még a ,,Wallace egyenes" megnevezés is.
Feladat: 6.42.
Adott az
ABC háromszög és egy tetszőleges
Q pont. Jelölje
Q tükörképeit az
AB,
BC,
CA oldalegyenesekre vonatkozólag rendre
QC
,
QA
és
QB
, az
A,
QB
,
QC
pontokon átmenő kört vagy egyenest
kA
, a
B,
QC
,
QA
pontokon átmenőt
kB
végül a
C,
QA
,
QB
pontokat tartalmazót
kC
, az
ABC háromszög körülírt körét
k. Mutassuk meg, hogy a
kA
,
kB
,
kC
,
k köröknek van egy
P közös pontja, amelynek az
ABC háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei
Q-val és a háromszög
M magasságpontjával egy egyenesen vannak.
Feladat: 6.43.
Egyenes tükörképei
Adott az
ABC háromszög. Mozgassunk egy
e egyenest a síkon és képezzük
e-nek az
AB,
BC,
CA oldalakra vonatkozó
eC
,
eA
,
eB
tükörképeit. Ha az
ABC háromszög nem derékszögű és magasságpontja nem illeszkedik
e-re, akkor az
eC
,
eA
,
eB
egyenesek háromszög határolnak, amit a továbbiakban
eΔ
-val jelölünk. Ha az
ABC háromszög
C-nél fekvő szöge derékszög, akkor
eA
és
eB
párhuzamosak,
eΔ
,,elfajul", egyik csúcsa végtelen messze van.
a) Az
eΔ
háromszögek egymáshoz mind hasonlóak.
b) Ha az
e egyenessel párhuzamos, az
ABC háromszög
M magasságpontján áthaladó egyenes
m és
m-nek az oldalakra vonatkozó tükörképei egymást a körülírt kör
P pontjában metszik, akkor
P az
eΔ
háromszög beírt vagy egyik hozzáírt körének középpontja. Ha
ABC hegyesszögű, akkor
P a beírt, ha
BAC∠>
90∘
, akkor
P az
eA
oldalhoz hozzáírt kör középpontja.
c) Az
e,
m egyenesek távolsága megegyezik az
eΔ
háromszög beírt (vagy a fentiek szerint a megfelelő hozzáírt) körének sugarával.
c) Az
eΔ
háromszög csúcsai a
PA,
PC,
PB egyenesekre illeszkednek.
d) Az
eΔ
háromszög területe csak
e-nek az
M ponttól való távolságától (és az
ABC háromszögtől) függ.
Szélsőérték feladatok
Feladat: 6.44.
Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük az
c oldal hosszát, a másik két oldal összegét -
(a+b)-t - és a
c-vel szemközti szöget.
Feladat: 6.45.
Adott a
K kör és egy
AB húrja. Hogyan válasszuk meg a
C csúcsot, a kör kerületén, hogy a legnagyobb területű
ABC háromszöget kapjuk?
Feladat: 6.46.
Adott a
K kör és egy
AB húrja. Hogyan válasszuk meg a
C csúcsot, a kör kerületén, hogy a legnagyobb kerületű
ABC háromszöget kapjuk?
Feladat: 6.47.
Adott körbe írható háromszögek közül melyik területe a legnagyobb?
Feladat: 6.48.
Adott körbe írható háromszögek közül melyik területe a legnagyobb?
Feladat: 6.49.
Keressük meg a hibát a
6.47M. és a
6.48M. megoldásban!
Feladat: 6.50.
A
6.47M. megoldásban lényegében a következő eljárást alkalmaztuk.
1. Ha az
ABC háromszögnek van olyan csúcsa, amely nem esik a kör kerületére, akkor a csúcsokat a háromszög egy belső
P pontjából - például a súlypontjából - ,,kitoljuk" a háromszög kerületére, ezzel növeljük a háromszög területét. Ha a háromszög mindhárom csúcsa a körön van, akkor következik a 2. lépés.
2. Ha a háromszög mindhárom oldala egyenlő, akkor az eljárás befejeződött. Ha nem, akkor a 3. lépés következik.
3. Ha a háromszögnek van két nem egyenlő oldala, pl.
AC≠BC, akkor a
C csúcsot a megfelelő
AB
^
ív felező pontjába tolva növeljük a háromszög területét és ismét a 2. lépés következik.
Mutassuk meg, hogy ez az eljárás nem minden
ABC háromszögre ér véget.
Megjegyzés. Ez a példa egyben arra is jó példa, hogy az úgynevezett ,,mohó algoritmus" nem mindig célra vezető. Hiszen itt is arról van szó, hogy minden lépésben ,,a lehető legjobbat" lépjük, vagyis a lehető legnagyobb területű/kerületű háromszöget állítjuk elő - ám az eljárásunk sosem jut el a legjobbhoz! A 6.52. feladatnál látni fogjuk, hogy ügyesebb eljárással már véges sok lépés után a legjobbhoz jutunk.
De előbb a
6.51. feladatban még tisztázzuk, hogy melyik háromszögeknél vezet célra a mohó algoritmus.
Feladat: 6.51.
Adjuk meg az összes olyan háromszöget, amelynek mindhárom csúcsa a körön van, és amelyre a
6.50. feladatban adott eljárás (véges sok lépés után) véget ér.
Feladat: 6.52.
Hogyan lehetne kijavítani a
6.50. feladat eljárását úgy, hogy minden, a szabályostól különböző háromszögből véges sok lépésben a terület növelésével a szabályos háromszöghöz jussunk?
Feladat: 6.53.
Hogyan lehetne kijavítani a
6.50. feladat eljárását úgy, hogy minden, a szabályostól különböző háromszögből véges sok lépésben a kerület növelésével a szabályos háromszöghöz jussunk?
Feladat: 6.54.
Vajon a
6.52. a
6.53. feladat megoldása bizonyítja-e, hogy adott körbe írható háromszögek közül a szabályos háromszög területe és kerülete a legnagyobb?
Vegyes feladatok
Feladat: 6.55.
Az
ABC háromszögben az
BNB
,
CNC
szögfelezőkön (
NB
az
AC oldal,
NC
a
BA oldal megfelelő pontja)
a beírt kör
I középpontja és az oldalak közti
INB
,
INC
szakaszok hossza egyenlő egymással.
Következik-e ebből, hogy az
ABC háromszög egyenlő szárú?
Feladat: 6.56.
Adottak a síkon az
A,
B pontok az
e
egyenes azonos oldalán. Kiválasztjuk az egyenesen azt az
M ill.
N pontot, melyre
AM+BM minimális, illetve
AN=BN. Bizonyítsuk
be, hogy
A,
B,
M,
N egy körön fekszenek!
Feladat: 6.57.
Az
ABC hegyesszögű háromszög
B és
C
csúcsán átmenő kör az
AB oldalt másodszor
P-ben, az
AC oldalt pedig másodszor
Q-ban
metszi. Bizonyítsuk be, hogy az
A csúcsot az
APQ háromszög
köré írt körének középpontjával összekötő egyenes merőleges
BC-re.
Feladat: 6.58.
Egy
C pontból a
k1
körhöz húzott
érintők legyenek
CA,
CB (
A és
B az érintési pontok).
k2
kör érinti az
AB egyenest
B-ben és átmegy
C-n.
k1
és
k2
második metszéspontja
M. Bizonyítsuk be, hogy az
AM
egyenes felezi a
BC szakaszt!
Feladat: 6.59.
Az
ABC háromszög beírt köre az
AB,
BC,
CA oldalakat rendre a
C1
,
A1
,
B1
pontokban
érinti. Az
ABC háromszög köré írt kör
C-t nem tartalmazó
AB
^
ívének felezőpontja legyen
C2
, az
A-t nem
tartalmazó
BC
^
ív felezőpontja
A2
, a
B-t nem
tartalmazó
CA
^
ív felezőpontja pedig
B2
. Bizonyítsuk
be, hogy az
A1
A2
,
B1
B2
,
C1
C2
egyenesek egy ponton
mennek át!
Feladat: 6.60.
Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét két pontban metszi el egy kör.
a) Mutassuk meg, hogy ha a három oldalegyenesen választott egy-egy metszéspontban (
A1
,
B1
,
C1
) az adott oldalegyenesre állított merőlegesek egy ponton mennek át (
P1
), akkor mindegyik oldalegyenesen a másik metszéspontban (
A2
,
B2
,
C2
) állított merőlegesek is egy ponton (
P2
) mennek át (lásd az
1. ábrát)!
1. ábra
Igazoljuk, hogy ebben a szituációban
b)
ABP1
∢≡
P2
BC∢,
BCP1
∢≡
P2
CA∢,
CAP1
∢≡
P2
AB∢ (mod
180∘
)!
c)
P1
A1
P1
C1
=
P2
C2
P2
A2
,
P1
B1
P1
A1
=
P2
A2
P2
B2
,
P1
C1
P1
B1
=
P2
B2
P2
C2
!
Feladat: 6.61.
Egy kör és egy négyszög úgy helyezkedik el a síkon, mint az a
6.61. ábrán látható. Tudjuk, hogy a kör négyszögön belüli két-két szembenfekvő ívének összege egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög húrnégyszög!
1. ábra
Feladat: 6.62. [
168]
A
k1
,
k2
körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Egy egyenes az
1. ábrán látható módon a
P1
,
Q2
,
Q1
,
P2
pontokban metszi a két kört. Mutassuk meg, hogy
P1
BQ2
∠=
P2
AQ1
∠!
1. ábra
Feladat: 6.63.
Adott az
ABC háromszög. Ha
P a sík tetszőleges, de az
ABC háromszög oldalegyeneseire nem illeszkedő pontja, akkor
tekintsük az
ABP,
BCP,
CAP háromszögek
kC
,
kA
,
kB
körülírt köreit és azok
OC
,
OA
,
OB
középpontját.
Legyen az
OA
OB
OC
háromszög körülírt körének középpontja
P'.
A
P' pont a háromszög melyik nevezetes pontja, ha
P az
ABC háromszög
a) magasságpontja;
b) beírt körének kp-ja?
Feladat: 6.64. [
168]
Az
O1
illetve
O2
középpontú
k1
,
k2
körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Az
O1
B egyenes
k2
-t még
B2
-ben, az
O2
B egyenes pedig
k1
-et még
B1
-ben metszi. Mutassuk meg, hogy (lásd az
1. ábrát)
a) az
O1
,
O2
,
A pontokon át fektetett
k körre illeszkedik
B1
és
B2
is!
b) az
AB egyenest és a
k kör
A-tól különböző
C metszéspontjára
CB=
CB1
=
CB2
!
c) ha a
B-n át
B1
B2
-vel párhuzamosan húzott egyenes a
k1
,
k2
köröket még a
D1
,
D2
pontokban metszi, akkor
D1
D2
=
AB1
+
AB2
!
1. ábra
Feladat: 6.65. [
168]
A
k2
kör és az
O1
középpontú
k1
kör az
A,
B pontokban metszik egymást. Legyen
C a
k1
kör
k2
körlap belsejében található ívének tetszőleges pontja és jelölje a
BC,
AC egyenesek
k2
körrel alkotott másik metszéspontját
EB
, illetve
EA
. Mutassuk meg, hogy
az
O1
C,
EA
EB
egyenesek merőlegesek egymásra!
Feladat: 6.66.
a) Adott háromszög köré szerkesszünk szabályos háromszöget, tehát az adott háromszög csúcsai illeszkedjenek a szabályos háromszög oldalegyeneseire (megengedjük, hogy ne magára az oldalra essen a csúcs, hanem az oldal meghosszabbítására)!
b) Melyik a legnagyobb ilyen szabályos háromszög?
Feladat: 6.67.
Adott háromszög köré szerkesszünk egy másik adott háromszöghöz hasonló háromszöget!
Feladat: 6.68.
Szerkesztendő négyszög, ha adott két átlója, az átlók szöge és két
egymás melletti szöge.
Feladat: 6.69.
Szerkesztendő négyszög, ha adott két átlója, az átlók szöge és két szemközti szöge.
Feladat: 6.70.
Adott egy szög, melynek csúcsa az
O pont, szárai a
b,
c félegyenesek és
M tetszőleges pont a szög szögfelezőjén. Két kört is rajzolunk, amelyek az
O és az
M ponton is átmennek. Az első kör a szög szárait a
B1
és
C1
pontokban, a második kör pedig a
B2
,
C2
pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy
B1
B2
=
C1
C2
!