9. FEJEZET: Vegyes feladatok
Feladat: 9.1. [
116]
Adjunk meg a síkon végtelen sok pontot úgy, hogy közülük bármely
kettőnek a távolsága (egy előre megadott egységhez viszonyítva)
racionális legyen, és a pontok ne legyenek mind egy egyenesen!
Megadhatók-e a pontok úgy hogy ne legyen olyan egyenes, amelyik
közülük hármon megy át?
Feladat: 9.2.
Az alábbiakban
kXYZ
-vel jelöljük az
X,
Y,
Z pontokon átmenő kört.
Legyen adva a síkon négy tetszőleges pont,
A,
B,
C és
D. Ha
P olyan pont, amelyre a
kABP
,
kCDP
körök érintik egymást és a
kADP
,
kBCP
körök
P-n kívül még
P'-ben metszik egymást, akkor
kABP'
és
kCDP'
érintik egymást.
1. ábra
Feladat: 9.3.
Nemzetközi Diákolimpia 2012/5
Legyen az
ABC háromszögben
BCA∠=
90o
, és legyen
D a
C-ből induló magasság talppontja. Legyen
X a
CD szakasz belső pontja. Legyen
K az
AX szakasznak az a
pontja, amire
BK=BC. Hasonlóan, legyen
L a
BX szakasznak az
a pontja, amire
AL=AC. Legyen
M az
AL és
BK egyenesek
metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy
MK=ML.
Feladat: 9.4. [
8]
Casey szerint Hart megközelítése Malfatti tételéhez
Adott három irányított kör:
k1
,
k2
,
k3
. Az
e3
,
f3
irányított egyenesek
k1
-et érintik,
k2
-t antiérintik.
Az
e2
,
f2
egyenesek
k3
-at érintik,
k1
-et antiérintik, míg
e1
és
f1
érintik
k2
-t, míg
k3
-at antiérintik. Mutassuk meg, hogy
e1
,
e2
és
e3
pontosan akkor
mennek át egy közös ponton, ha
f1
,
f2
és
f3
átmennek egy közös ponton.
Feladat: 9.5.
Tekintsük az
ABCD érintőnégyszöget, és annak
A csúcsán át az
e egyenest, mely a
BC oldalt
M-ben, a
CD oldal meghosszabbítását pedig
N-ben metszi. Jelölje az
ABM,
MCN,
NDA háromszögek beírt körének közésppontját rendre
I1
,
I2
és
I3
. Mutassuk meg, hogy az
I1
I2
I3
háromszög magasságpontja az
e egyenesen van!
Feladat: 9.6.
Messe az
ABC háromszög
A csúcshoz tartozó belső illetve külső szögfelezője a
BC oldalegyenest az
A1
illetve az
A2
pontban és tekintsük az
A1
A2
szakasz
kA
Thalesz körét. Képezzük ehhez hasonlóan a
B1
,
B2
,
C1
,
C2
pontokat illetve azok segítségével a
kB
,
kC
köröket! Mutassuk meg, hogy a
kA
,
kB
,
kC
körök (lásd az
1. ábrát)
a) egymást két pontban metszik,
b) és egymással páronként egyenlő -
60∘
-os - szöget zárnak be.
1. ábra
Feladat: 9.7. [
115]
Adott az
y=
kx2
parabola. Határozzuk meg az
x2
-2px+
y2
-2qy=0 egyenletű kör középpontját úgy, hogy az adott parabolával való metszéspontjainak abszcisszái az
x3
+ax+b=0 egyenlet gyökeit adják. (Az egyik metszéspont mindig az origó, a másik hármat keressük.)