4. FEJEZET: A Pascal-háromszög
Feladat: 4.1. Hányféleképpen juthatunk el az
1.
ábrán látható háromszög felső csúcsából az egyes pontokba, ha csak
ferdén lefelé (jobbra vagy balra lefelé) léphetünk? Írjuk rá
minden egyes csomópontra a lehetőségek számát!
1. ábra
Feladat: 4.2. [
68] Bizonyítsuk be, hogy a Pascal-háromszög szimmetrikus a
csúcsán át húzott függőleges egyenesre!
Feladat: 4.3. Adjuk össze a Pascal-háromszög
a) negyedik
b) ötödik
c) hatodik
d) tizedik
e)
n-edik
sorában álló számokat!
(A Pascal háromszög kezdő sora, amelyben egy darab 1-es áll,
szokás szerint, a
0. sor.)
Feladat: 4.4. Adjuk össze a Pascal-háromszög
a) negyedik
b) ötödik
c) hatodik
d) tizedik
e)
n-edik
sorában álló számokat váltakozó előjellel!
Feladat: 4.5. Keressük meg a háromszögszámokat (lásd
az
A.I.24.8. feladatot) a
Pascal-háromszögben!
Feladat: 4.6. Határozzuk meg a 100. tetraéderszámot! (Hány golyó van
az
1. ábrán a 100. kupacban? A
kupacsorozat oldal- és fölülnézetben is látható az ábrán.)
1. ábra
Feladat: 4.7. Adjuk össze a Pascal-háromszögben vastagon szedett számokat!
Végezzük el az összegzést hasonló állású egyenesek mentén (lásd
az
1. ábrát)! Miért érdekes az
eredmény?
1. ábra
Feladat: 4.8. Adjuk össze a Pascal-háromszögben vastagon szedett számokat!
Végezzük el az összegzést hasonló helyzetű paralelogrammákban
(lásd az
1. ábrát)! Miért érdekes
az eredmény?
1. ábra
Feladat: 4.9. Adjuk össze a Pascal-háromszögben vastagon szedett számokat!
Végezzük el az összegzést hasonló helyzetű trapézokban (lásd
az
1. ábrát)! Miért érdekes az
eredmény?
1. ábra
Feladat: 4.10. a) Színezzük ki a Pascal-háromszög első 20 sorában a
számok helyét paritásuk szerint. A
4.10.
ábrán el is kezdtük a színezést. Mit figyelhetünk meg?
b) A Pascal-háromszög mely soraiban áll mindenütt
páratlan szám?
c) A Pascal-háromszög mely soraiban áll (a szélétől
eltekintve) mindenütt páros szám?
Feladat: 4.11. Keressük meg a Pascal-háromszög azon sorait, amelyekben a két
szélső 1-estől eltekintve csupa
a) hárommal
b) öttel
osztható szám áll!
Feladat: 4.12. a) Számítsuk ki
(
3001
3
) értékét!
b) Mutassuk meg, hogy
(
3001
15
) osztható
3001-gyel! (Felhasznáhatjuk, hogy
3001 prímszám.)
Feladat: 4.13. Ismeretes, hogy
2009=
72
·41. Adjunk meg olyan
0<k<2009 pozitív egészt, amelyre
(
2009
k
) nem osztható
2009-cel!
Feladat: 4.14. Gyűjtsünk olyan számokat, amelyek csak egyszer fordulnak elő a
Pascal-háromszögben!
Feladat: 4.15. Az
(a+b) kéttagú összeg hatványaival már találkoztunk
az
A.I.16.15. feladatban.
Próbáljuk felírni
(a+b
)10
-t hasonló alakban! Keressük meg az
együtthatókat a Pascal-háromszögben!
Feladat: 4.16. A Pascal-háromszög egyik sorának négy szomszédos eleme a
következő:
Mennyi az
x?
Feladat: 4.17. A Pascal-háromszög egyik sorának három szomszédos eleme a
következő: 15504, 38760, 77520. Hanyadik ez a sor?
Feladat: 4.18. Bergengóciában a Pascal-háromszög helyett a Mascal-háromszöggel
számolnak. Ennek
0. sorában három elem áll:
A Mascal-háromszög képzési szabálya a Pascal-háromszögével
azonos. Határozzuk meg a Mascal-háromszög
n-edik sorában az
elemek
a) összegét
b) előjeles összegét!
Feladat: 4.19. [
84] Dr. Kekec a Piscal-háromszögre esküszik. Ennek
0-adik sorában
egyetlen 1-es áll, az alatta levő sorokban minden szám a fölötte
lévő három szám összegével egyenlő (az üres helyek 0-nak
tekintendők).
| | | | 1 | | | | | 0. sor |
| | | 1 | 1 | 1 | | | | 1. sor |
| | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | | | 2. sor |
| 1 | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 | 1 | | 3. sor |
|
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
⋱ | |
Mutassuk meg, hogy a Piscal-háromszögben a 2. sortól kezdve
mindegyik sorban van páros szám.
Feladat: 4.20. Határozzuk meg a Piscal-háromszög (lásd a
4.19. feladatot)
n-edik sorában található számok
a) összegét;
b) váltakozó előjelű összegét!
Feladat: 4.21. [
141] Bontsuk fel a zárójelet!
a)
(1+x+
x2
)2
;
b)
(1+x+
x2
)3
;
c)
(1+x+
x2
)4
.
Feladat: 4.22. Az
1. ábrán úgy írtunk a karikákba számokat, hogy mindegyik szám a fölötte levő két szám összege legyen!
1. ábra
Milyen szám kerül a legalsó karikába?
b) Hogyan változik a legalsó szám értéke, ha a
0. sorban szereplő
3-ast
2-vel növeljük? És ha a
2-est
1-gyel csökkentjük?
c) Egy hasonlóan képzett számtáblázatban ismerjük a legalsó számot. Meghatározható-e ebből az egyetlen adatból a felső sorban található öt szám összege?
d) Egy hasonlóan képzett számtáblázatban ismerjük a szimmetriatengelyben szereplő három számot (a színezett karikákban lévőket). Meghatározható-e ebből az egyetlen adatból a felső sorban található öt szám összege? Adjuk meg a kérdéses összeget, ha a tengelyben álló három szám felülről lefelé olvasva:
1,
1,
10.
Feladat: 4.23. Az
1.
ábrán látható számháromszög alsó sorába az
1,
2,
3,
4,
5 számokat írjuk valamilyen sorrendben és minden további szám az alatta levő kettő összege lesz. Az alsó számok hányféle sorrendje esetén lesz a legfölülre kerülő szám öttel osztható?
1. ábra
Feladat: 4.24. [
47] Képezzük a következő számháromszöget:
|
0 | |
1 | |
2 | |
3 |
……… |
2008 | |
2009 |
|
1 | |
3 | |
5 | |
…… | |
4017 | |
| |
… | |
… | |
… |
… |
… | | |
Itt az első sorban a
0 és
2009 közötti egész számok állnak növekvő sorrendben. A táblázat további elemeit az ezek fölött (balra, illetve jobbra) álló két szám összeadásával kapjuk. Bizonyítsuk be, hogy a táblázat legutolsó sorában álló (egyetlen) elem osztható
2009-cel!
Feladat: 4.25. Mutassuk meg a kifejezések algebrai alakját használva, hogy
|
(
n
2
)+(
n
3
)=(
n+1
3
).
|
Feladat: 4.26. A Pascal háromszög egyik sorában felírtunk néhány egymás melletti
elemet. Az egyik számot azonban elírtuk. Melyiket?
a) 92 561 040, 193 536 720,
154 817 320, 573 166 440, 818 809 200.
b) 7 726 160, 9 657 700, 9 657 700,
9 657 700, 7 726 160.
Feladat: 4.27. Készítsünk algoritmust, ami előállítja a Pascal háromszög
n.
sorát!
Feladat: 4.28. Készítsünk algoritmust, ami az
n. soráig kiírja a
Pascal-háromszöget!