20. FEJEZET: Vegyes feladatok
Feladat: 20.1.
a) Helyezzünk
15 piros pontot egy hatszög oldalaira úgy, hogy minden oldalon ugyanannyi piros pont legyen!
b) Oldjuk meg a feladatot
16 ponttal!
c)
2003 ponttal!
d) El lehet-e helyezni
15 pontot egy
hétszög oldalaira a fenti szabálynak megfelelően?
Feladat: 20.2.
Helyezzünk 10 piros és 14 kék pontot egy hatszög oldalaira úgy, hogy minden oldalon ugyanannyi piros pont legyen, mint kék!
Feladat: 20.3.
Ketten játszanak. Felváltva írnak be egy-egy előjelet minden szám elé (az 1-es elé is tehetnek) az alábbi sorban:
a) ,,Kezdő" azt szeretné, hogy a legvégül kapott előjeles összeg ne legyen osztható hárommal, míg ,,Második" azt szeretné, hogy osztható legyen hárommal. Hogyan érdemes játszani? Kinek kedvező a játék?
b) És ha megfordítják a szerepeket?
Feladat: 20.4.
Egy buli végén mindenki mindenkivel kezet fogott. Ekkor érkezett meg az egyik vendég barátja, hogy együtt menjenek majd el moziba, és kezet fogott azokkal, akiket ismert. Így összesen
68 kézfogás történt. A buli résztvevői közül hányan ismerték ezt az embert?
Feladat: 20.5.
Hat focicsapat körmérkőzéses tornán vett részt. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. A bajnokság végén az egyes csapatok 12, 10, 9, 8, 7 illetve 6 pontot gyűjtöttek össze. Hány pont járt a győzelemért, ha döntetlenért 1, vereség esetén 0 pontot kapott minden csapat?
Feladat: 20.6.
Színezzük ki a
3×3-as táblázat mezőit minél több színnel úgy, hogy bármely két használt színhez található legyen egy-egy ilyen színű, oldalukkal szomszédos mező. (Az egyes mezőknek csak egyféle színe lehet!)
Feladat: 20.7.
Ketten játszanak, felváltva húzzák be egy szabályos
2004-szög egy-egy átlóját. Tilos olyan átlót behúzni, amely metsz egy már korábban berajzoltat. Az
veszít, akinek a lépése után létrejön egy olyan négyszög, amelynek egyik átlója sincs behúzva. Kinek van nyerő stratégiája?
Feladat: 20.8.
Lehetséges-e olyan társaság, amelyben mindenkinek pontosan 6 barátja van, és bármely két embernek éppen 2 közös barátja van?
Feladat: 20.9.
A ,,VAKÁCIÓ" szó betűit egy
3×3×3-as kockában rendezte el a 7c osztály. A kocka elülső bal felső kis kockájában egy ,,V", az azzal lapban szomszédos kis kockákban egy-egy ,,A", az azok bármelyikével lapban szomszédos kis kockában egy-egy ,,K" stb. ... betű áll, végül az ,,Ó", a nagy kocka hátsó jobb alsó kis kockájában van. Hányféleképpen olvasható ki a ,,VAKÁCIÓ" szó, ha a ,,V"-ből indulva mindig csak lapban szomszédos (hátrébb vagy jobbra vagy lejjebb található) kis kockában található betűvel folytathatjuk az olvasást?
Feladat: 20.10.
a) A bergengóc lottón 7 számból húzzák ki a 3 nyerőszámot, és a játékosok három számra tippelnek minden szelvényen. Legalább hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük olyan, amely legalább két találatos lesz?
b)
A bergengóc lottó karácsonyi fordulójában a 7 számból csak 2 nyerőszámot húznak ki, de a játékosok továbbra is három számra tippelnek minden szelvényen. Legalább hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen köztük telitalálatos (azaz két találatos)?
Feladat: 20.11.
Bözsi 3 szál virágot kapott osztálytársaitól névnapjára: egy
rózsát, egy szegfűt és egy dáliát. Otthon három vázája van: egy
kristály, egy kínai porcelán és egy egyszerűbb kerámia.
Hányféleképpen rendezheti el a virágokat a vázákba,
a) ha mindegyik vázába egy-egy virágot szeretne tenni?
b) ha nincs ilyen kikötés?
Feladat: 20.12.
Picurka ország lakói olyan lottón játszanak, ahol az 1, 2, 3,
…, 45 számok közül húznak ki 3-at.
a) Kiszámolták, hogy ha minden lakó másképp töltené ki a
szelvényt, akkor is kijöhetnek olyan számok, hogy senki se legyen
telitalálatos. Hányan lakhatnak Picurka országban?
b) Picurka országban János bácsi nagyon sok szelvényt
vett: minden lehetséges módon kiválasztott három számot, és
beadott egy-egy szelvényt minden ilyen kitöltéssel. Hány
két-találatos szelvénye lett így?
c) Picurka ország lakosainak száma egyre nő, így áttérnek
a 45-ből 42-es lottóra, azaz most a 45 számból 42-t fognak kihúzni
és ennyire is kell tippelni. Így most hány szelvényt kell
kitölteni a biztos telitalálathoz?
d) Ha Picurka ország új lottóján kitöltjük az összes
lehetséges módon a lottószelvényt, akkor hány 41 találatos
szelvényünk lesz?
e) És hány 40 találatos?
Feladat: 20.13.
a) Egy piros egy kék és egy zöld golyót keresztülfúrtunk
és egy madzagra valamilyen sorrendben ráfűzzük mind a hármat. Így
hány különböző nyaklánc képezhető?
b) És ha még egy fekete golyónk is van és mind a négyet
fel akarjuk használni?
Feladat: 20.14.
Hét ember találkozott, egyesek kezet is fogtak
egymással. Lehetséges-e, hogy mindenki pontosan 3-szor
fogott kezet?
Feladat: 20.15.
Felvehető-e
a síkon 5 szakasz úgy, hogy mindegyik három
másikat metsszen?
Feladat: 20.16.
Három betörő kirabolt egy bankot. A rendőrség nagyon gyorsan kiért
a helyszínre és nyolc gyanúsítottat szedett össze. A rendőrök
tudják, hogy hárman bűnösök közöttük és azt is, hogy az alábbi
vallomásokban az ártatlanok igazat mondanak:
A:
D ártatlan;
B:
F ártatlan;
C:
E ártatlan;
D:
H ártatlan;
F:
G ártatlan;
G:
C ártatlan;
H:
B ártatlan;
A,
B,
C,
D,
E,
F,
G és
H közül melyik három a
rabló?
Feladat: 20.17.
Lehet-e 9 db
háromszöglapból konvex testet építeni?
Feladat: 20.18.
Lehet-e egy
szabályos hétszög átlóit és oldalait hat
színnel színezni úgy, hogy minden csúcsból
induljon mindenféle él?
Feladat: 20.19.
Egy kör
alakú asztalnál 77-en ülnek, s mindenki gondol egy
egész számra, majd mindenki felírja egy
cédulára két szomszédja számának
összegét. Bizonyítsuk be, hogy nem állhat minden
cédulán 1991.
Feladat: 20.20.
Elhelyezhetők-e
a szabályos nyolcszög csúcsaiba az 1, 2, ..., 8
számok úgy, hogy bármely három szomszédos
csúcsban levő számok összege 13-nál nagyobb
legyen?
Feladat: 20.21.
Van-e öt
olyan egész szám, melyekből képezve az összes
kéttagú összeget, eredményül 10 egymást
követő számot kapunk?
Feladat: 20.22.
Határozzuk meg a 100. hatszögszámot! (Hány korong van
az
1. ábrán a 100. kupacban?)
1. ábra
Feladat: 20.23.
Határozzuk meg a 100. ötszögszámot! (Hány korong van
az
1. ábrán a 100. kupacban?)
1. ábra
Feladat: 20.24.
Hányféleképpen írhatjuk egy hatszög
csúcsaihoz az 1, 1, 1, 3, 3, 3 számokat, ha
a) a hatszög oldalai közt nincs két egyforma?
b) a hatszög szabályos és az egymásba forgatható
elrendezéseket nem különböztetjük meg?
Feladat: 20.25.
Fel lehet-e
írni egy kör kerületére 10
különböző számot úgy, hogy mindegyik
szám két szomszédja számtani közepe legyen?
Feladat: 20.26.
Fel
lehet-e írni egy kör kerületére az 1, 2,
..., 10 számokat úgy, hogy bármely két
szomszédos szám különbsége 3,4 vagy 5 legyen?
Feladat: 20.27.
Egy 100 fős
katonai alakulatnál a napi ügyeletet mindig hárman
látják el. Meg lehet-e szervezni az ügyeletet
egymást követő napokon át úgy, hogy
bármely két fő együtt csak egyszer ügyeljen?
Feladat: 20.28.
Egy kocka
néhány csúcsát pirosra, ill. kékre
színezzük; legyen több piros, mint kék. Van-e
olyan kiterítése a kockának, amikor a
hálózatban több kék csúcs van, mint piros?
(Érdemes egy konkrét színezéssel indítani a
kérdést.)
Feladat: 20.29.
A 45 tagú Majmok Tudományos Akadémiája ülést tartott. Ezen az
ülésen három kérdést tűztek napirendre, mely fölött szavazással
óhajtottak dönteni. A kérdések a következők voltak:
1. Okosabb-e a majom, mint az ember?
2. Szebb-e a majom, mint az ember?
3. Igaz-e, hogy az ember a majom őse?
A szavazás után kiderült, hogy az 1. és 3. kérdésre egyaránt 23-23
igen szavazat érkezett, míg a második kérdésre csak 17.
Az 1. kérdésre igennel válaszolók közül 13-an a 2.,12-en pedig a
3. kérdésre feleltek nemmel.
Igent mondott a 2. és 3. kérdésre 6 ,,akadémikus", de közülük
ketten az első kérdésre nemmel szavaztak.
Hányan szavaztak mind a három kérdésre nemmel?
Feladat: 20.30.
Kiszíneztük
két színnel a tér pontjait. Igazoljuk, hogy
tetszőleges d-hez létezik d oldalú szabályos
háromszög.
Feladat: 20.31.
a) Bálint kijelöl egy pontot a rajzlapján,
majd megkérdi húgát: ,,Milyenre színezzem
Piroska?" ,,Pirosra!" -feleli a lány. Ezután Bálint
Bálint új pontokat t?z ki, minden pont után
Piroska dönti el, hogy kék legyen, vagy piros. Kaphat-e
Bálint olyan szabályos háromszöget, melynek minden
csúcsa azonos szín?, ha ezt a húga nem akarja?
b) Mi a helyzet akkor, ha Bálint előre
kijelöl valahány pontot, s ezután jön húga a
színes ceruzákkal?
Feladat: 20.32.
Kiszíneztük
két színnel a tér pontjait. Igazoljuk, hogy van olyan
háromszög a síkon, amelynek a csúcsai és a
súlypontja is azonos szín?ek.
Feladat: 20.33.
Bizonyítsuk
be, hogy az első 1000 pozitív egész számot
tíz diszjunkt halmazra lehet bontani úgy, hogy mindegyik
csoportban legyen legalább két szám és egy
halmazon belül semelyik két szám
különbsége ne legyen az adott halmazban.
Feladat: 20.34.
Adj meg
a) minél kevesebb
b) minél kisebb
pozitív egészeket
úgy, hogy a belőlük képzett
különbségek között legyenek az 1, 2, 3, 4, 5,
6 számok.
Feladat: 20.35.
Hány 5
jegy? szám készíthető az 1 és 2
jegyekből, amelyek legalább három helyen
különböznek?
Feladat: 20.36.
Egy
szabályos ötszög minden csúcsába egy-egy
számot írtunk. Ezután az oldalakra és az
átlókra ráírtuk a végpontjaikban álló
számok összegét. Igazoljuk, ha ez utóbbi tíz
szám közül 7 egész, akkor mind a 10 egész.
Feladat: 20.37.
Egy 5
×5-ös táblába lehet-e úgy
számokat írni, hogy mindegyik sorban a számok
szorzata 20 legyen, mindegyik oszlopban a számok szorzata 30
legyen?
Feladat: 20.38.
Egy 5
×5-ös táblába lehet-e úgy számokat írni,
hogy a számok összege pozitív legyen, de bármely
2
×2-es részben a négy szám összege
negatív legyen?
Feladat: 20.39.
Nagyapáim
dédapjai ugyanazok a személyek-e, mint dédapáim
nagyapjai?
Feladat: 20.40.
Hány olyan
szám van, amelynek jegyei szigorúan monoton
csökkennek?
Feladat: 20.41.
Hány olyan
szám van, amelynek jegyei monoton csökkennek?
Feladat: 20.42.
Peti és
Pali 5 mérkőzéssel akarta eldönteni, hogy
melyikük a jobb sakkozó. Ez azonban nem sikerült, mert
a végén mindkettejüknek 2,5-2,5 pontja volt.
Hányféleképpen történhetett ez meg, ha a
győztes 1 pontot, a vesztes 0 pontot kapott, s
döntetlenért 0,5-0,5 pont járt?
Feladat: 20.43.
Az 1, 2, 3, 4
számjegyekből elkészítjük az összes
lehetséges olyan tizedestörtet, amelynek egy, kettő
vagy három tizedesjegye van és mindegyik számjegyet
pontosan egyszer tartalmazza. Mennyi az így kapott
tizedestörtek összege?
Feladat: 20.44.
Hányféleképpen
lehet 4 piros és 4 kék gyöngyből karkötőt
készíteni?
Feladat: 20.45.
Hányféleképpen
helyezhetünk el 5 levelet a megcímzett
borítékokba úgy, hogy semelyik levél se a jó
címzéshez kerüljön?
Feladat: 20.46.
Egy négyzet mindegyik oldalát 7 egyenlő részre osztottuk. Hány
olyan háromszög van, amelynek csúcsai a négyzet oldalain megjelölt
(csúcsoktól különböző) osztópontok közül kerülnek ki?
Feladat: 20.47.
Egy osztály 16 tanulója evezőstúrára készül. Minden diáknak
pontosan 3 barátja van az osztályban (a barátságokat tekintsük
kölcsönösnek). A túrán 8 kétszemélyes kenuban kell
elhelyezkedniük. Biztosan igaz-e, hogy be lehet őket osztani úgy,
hogy mindenki egy barátjával kerüljön egy csónakba?
Feladat: 20.48.
El lehet-e osztani 1000 üveggolyót 5 gyerek között
úgy, hogy mindenkinek páratlan sok golyó jusson?
Feladat: 20.49.
Lehet-e 10 egész szám összege és szorzata is 10?
Feladat: 20.50.
Csalafinta Csaba azzal henceg barátainak, hogy sikerült 15
kockacukrot beletennie három m?anyag pohárba úgy,
hogy mindegyikben páratlan sok kockacukor van. Hihetünk-e
neki?
Feladat: 20.51.
Lehet-e 100 különböző páratlan szám
reciprokának összege 1?
Feladat: 20.52.
Lehet-e az 1, 2, ..., 30 számokat 10 csoportra osztani
úgy, hogy minden csoportban 3 szám legyen és
közülük a legnagyobb egyenlő legyen a másik
kettő összegével?
Feladat: 20.53.
A bet?k valós számokat jelölnek. Bizonyítsuk
be, hogy az abc, def, ghi, -gbf, -dhc, -aei számok mindegyike
nem lehet pozitív.
Feladat: 20.54.
Van-e olyan szám, amelyben a jegyek összege 9, a
kétszeresében a jegyek összege 10?
Feladat: 20.55.
Panni és Peti is leírtak egy 7 jegy? számot a
füzetükbe. Panni észrevette, hogy mindkét
számban pontosan ugyanazok a jegyek szerepelnek. Peti
kiszámolta, hogy a két szám különbsége
1369631. Mutassuk meg, hogy valamelyikük tévedett.
Feladat: 20.56.
Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek segítségével
felírható-e két olyan hétjegy? szám, hogy
egyik a másiknak kétszerese legyen?
Feladat: 20.57.
Van-e öt olyan egész szám, amelyből képezve az
összes kéttagú összeget, eredményül
tíz egymást követő egész számot kapunk?
Feladat: 20.58.
Ki lehet-e rakni hézag és átfedés nélkül 2
egység oldalú és 3 egység oldalú
négyzetekből egy 101 egység oldalú négyzetet?
Feladat: 20.59.
Kilenc korong van az asztalon, ezek egyik oldala kék a
másik piros. Kezdetben minden korongnak a piros oldalát
látjuk. Megfordíthatunk 4 korongot. Ezt a lépést
többször ismételhetjük. Elérhető-e, hogy
minden korongnak a kék oldalát lássuk?
Feladat: 20.60.
A ,,csodakert" fáin 25 banán és 30 narancs van.
Egy-egy alkalommal két gyümölcsöt veszünk le,
ha egyformákat vettünk le, akkor egy narancs nő
helyettük. Ha különbözőeket vettünk le,
akkor egy banán nő. Utolsóként milyen
gyümölcs marad?
Feladat: 20.61.
Egy sakkozó kertjét sakktábla mintára
alakította ki. 7 mező gyomos lett. Ha egy nem gyomos
mezőnek legalább két szomszédja is gyomos, akkor
az egy nap múlva szintén gyomossá válik.
Begyomosodhat-e az egész kert?
Feladat: 20.62.
Két kupacban gyufák vannak. Egy-egy alkalommal valamelyik
kupacba betszünk néhány szálat, s ugyanekkor a
másik kupacba kétszer annyit helyezünk.
Elérhető-e, hogy mindkét kupacban 50 gyufaszál
legyen, ha kezdetben az egyes kupacokban 7 és 34 gyufa volt?
Feladat: 20.63.
Szorozzuk meg a Pascal háromszög
n-edik sorában álló számokat
rendre az
1,
2,
4,
8,
… számokkal, azaz a 2
hatványaival! Mennyi lesz az így kapott számok összege? (Pl.
n=3
esetén az összeg:
1·1+2·3+4·3+8·1)
Feladat: 20.64.
A térbeli koordinátarendszer origójából hányféleképpen juthatunk
el a
(2;3;5) pontba, ha csak a koordinátatengelyekkel
párhuzamosan pozitív irányban léphetünk egyet-egyet?
Feladat: 20.65.
Határozzuk meg
(a+b+c
)10
kifejtett alakját!
Feladat: 20.66. [
120]
Rakjuk sorba a 2, 3, 4, 5,
…, 29, 30 egész számokat
(összesen 29 számot) úgy, hogy az első szám osztható legyen
1-gyel, a második kettővel, a harmadik hárommal,
… a
huszonkilencedik 29-cel. Hány megoldás van?
Feladat: 20.67.
Hat focicsapat körmérkőzéses tornán vett részt. Mindenki
mindenkivel egyszer játszott. A bajnokság végén az egyes csapatok
12, 10, 9, 8, 7 illetve 6 pontot gyűjtöttek össze. Hány pont járt
a győzelemért, ha döntetlenért 1, vereség esetén 0 pontot kapott
minden csapat?
Feladat: 20.68.
A Torpedó játékban egy
10×10-es táblán kell elhelyezni a
10 hajóból álló ,,hajórajt". Egy hajó a tábla egy
1×2-es
téglalapja, a különböző hajóknak megfelelő téglalapoknak nem lehet
közös pontja, még közös oldala, csúcsa sem. Bizonyítsd be, hogy 32
megfelelően választott ,,lövéssel" biztosan el lehet találni
legalább egy hajót!
Feladat: 20.69.
Lehetséges-e olyan társaság, amelyben mindenkinek pontosan 6
barátja van, és bármely két embernek éppen 2 közös barátja van?
Feladat: 20.70.
Ketten játszanak, felváltva húzzák be egy szabályos 2004-szög
egy-egy átlóját. Tilos olyan átlót behúzni, amely metsz egy már
korábban berajzoltat. Az veszít, akinek a lépése után létrejön egy
olyan négyszög, amelynek egyik átlója sincs behúzva. Kinek van
nyerő stratégiája?
Feladat: 20.71.
Képzeljük el, hogy a Föld körül 36
mesterséges bolygó kering. Igazoljuk, hogy minden
pillanatban van a Földön olyan hely, ahonnan legfeljebb 18
látható közülük.
Feladat: 20.72. [
115]
Adottak egy szabályos
n-szög csúcsai. Szeretnénk berajzolni a
sokszög összes oldalát és átlóját a ceruza felemelése nélkül. Mely
n-re lehetséges ez?
Feladat: 20.73. [
39]
Andris az 1,2,3,4 halmaz minden részhalmazát felírta egy-egy
piros cédulára. (Minden piros cédulára egy részhalmazt írt, s az
összes részhalmazt felírta.) Ezután sorra vette a piros cédulákat:
fogta az elsőt, és a rajta szereplő halmaz összes részhalmazát
felírta egy-egy fehér cédulára. Ezután vette a következő pirosat -
ennek részhalmazait is felírta fehérekre stb. Miután ezzel készen
lett vette a fehér cédulákat, mindegyik minden részhalmazát
felírta egy-egy zöld cédulára. Hány zöld cédulája van Andrisnak?
Feladat: 20.74.
Negyven gyufaszálat szétosztottunk húsz
skatulyába, mindegyikben van legalább egy gyufa, egyikben
sincs húsznál több. Igazoljuk, hogy
kiválasztható néhány skatulya, amelyekben
összesen 20 gyufa van.
Feladat: 20.75. [
39]
Egy kocka 6 lapját piros, fehér és kék színekkel akarjuk
kifesteni. Egy-egy oldalhoz csak egyféle szín használható és a
kocka kiszínezéséhez nem kell feltétlenül mindegyik színt
fölhasználnunk. Hányféle színes kockát kaphatunk, ha csak azokat
tekintjük különbözőnek, amelyek nem forgathatók egymásba?
Feladat: 20.76.
Össze lehet-e állítani egy
a)
3×3×3-as
b)
4×4×4-es
kockát
1×1×1-es fekete és
fehér kis kockákból úgy, hogy bármelyik kis kocka mellett pontosan
két vele megegyező színű, lapban szomszédos kis kocka legyen?
Feladat: 20.77. [ur:+]
Tekintsük a páratlan számokat az alábbi háromszögben elrendezve!
| | | | 1 | | | | | 1. sor |
| | | 3 | | 5 | | | | 2. sor |
| | 7 | | 9 | | 11 | | | 3. sor |
| 13 | | 15 | | 17 | | 19 | | 4. sor |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
⋱ | |
Határozzuk meg
a) Az első
n sorban összesen található számok számát!
b) Az első
n sorban összesen található számok összegét!
c) A
k. sorban található számok összegét!
d) Kíséreljünk meg a b) és c) részek eredményét nem
egymásból meghatározni! Vessünk össze utólag a két feladatrész
eredményét, állítsunk föl formulát!
Feladat: 20.78.
a) Hány téglalap van az
1. ábrán?
b) Ebből mennyi a négyzet?
(A kis téglalapok oldalai 1 és 2 egység hosszúak.)
1. ábra
Feladat: 20.79.
Pithagorasz táblázatában, a szorzótáblában,
a bal fölső saroktól
számított
n-edik sor és
m-edik oszlop
találkozásában található mezőben
az
n·m szorzat értéke áll.
Tekintsük az egy átlóban álló számok
összegét! (Az
1. ábrán
föltüntettük az 1. és a 2. átlóban kapott
összeget.) Mennyi lesz az 1999. átlóban kapott
összeg?
1. ábra
Feladat: 20.80.
A négyzethálós papíron néhány mező
fekete, a többi pedig fehér. Egy lépésben az
összes mező színe az alábbi szabály szerint
módosul:
a mező fekete lesz, ha 4 élszomszédja
közül egy vagy három (tehát páratlan
számú) fekete, illetve fehér lesz, ha nulla, kettő
vagy négy (azaz páros darab) élszomszédja fekete.
Mi lesz az
1. ábrán látható kutyából 8
lépés után? A papírt képzeljük
végtelen nagynak!
1. ábra
Feladat: 20.81.
Egyforma egyforintosokat osztunk ki gyerekek között úgy, hogy
mindenki kapjon legalább 1 forintot. Hányféleképpen oszthatunk
ki
a) 2 gyereknek 8 Ft-ot?
b) 3
gyereknek 8 Ft-ot?
c) 4 gyereknek 10 Ft-ot?
d)
k gyereknek
n Ft-ot?
Feladat: 20.82.
Hány olyan háromjegy? szám van, amelynek jegyei
monoton csökkennek?
Feladat: 20.83. [
47]
Az
A és
B pont között lépcsőt akarunk építeni. Az
AC
‾
távolság
4,5 méter a
CB
‾
távolság
1,5 méter (lásd az
1. ábrát). Az egyes lépcsőfokok
30 cm magasak, szélességük (hosszuk)
50 cm egész számú többszöröse. Hányféleképpen építhetjük meg a lépcsőt?
1. ábra
Feladat: 20.84.
Egy osztály nagyon sikeresen zárta a félévet. A
diákok több, mint fele ötöst kapott
bizonyítványába matematikából, de ugyanez
volt a helyzet angolból, magyarból,
történelemből és fizikából is.
Bizonyítsuk be, hogy az említett öt tantárgy
között van két olyan, amelyekre igaz, hogy az
osztály diákjainak több mint egyötöde
mindkettőből ötöst kapott.
Feladat: 20.85.
Bergengóciában a hölgyek -és újabban a
férfiak is- szívesen hordanak színes
golyókból álló nyakláncokat,
karkötőket. Mivel a divat igen gyorsan változik,
népszer?ek lettek a festőgépek, melyek első
prototípusát Bigéc (a MikiFoszt cég mostani
igazgatója) fejlesztette ki. A Bigéc típusú
festőgépbe ötféle szín? golyót
(pirosat, kéket, zöldet sárgát és fehéret)
lehet beledobni. A gépnek van egy szabálya, amely
egyértelm?en megmondja, hogy melyik színt
melyikké alakítsa át. A gép érzékeli a
bedobott golyó színét, és a szabálya szerint
átfestett golyót adja ki. A Piri-gép például
minden golyót pirosra fest. Csak a sznobok veszik az Ident
gépet, amelyik minden golyót olyannak hagy, amilyen volt.
a) Összesen hányféle Bigéc típusú
festőgép lehetséges?
b) Ezek között hány olyan van, amelyik
semelyik golyót sem hagyja meg olyan szín?nek,
amilyen volt?
Feladat: 20.86.
a) Hány olyan Bigéc típusú festőgép van (lásd
a
20.85. feladatot), amely különböző színű golyókból
mindig különbözőeket készít?
b) És ezek között hány olyan van, amelyik semelyik golyót
sem hagyja meg olyan színűnek, amilyen volt?
Feladat: 20.87.
a) Hány olyan Bigéc festőgép van, amelyik pontosan egy
színt nem fest át más színre?
b) És hány olyan, amelyik legalább egy színt nem fest át
más színre?
Feladat: 20.88.
Bigéc gépeit úgy alakították ki, hogy egymás
mögé lehessen kapcsolni azokat.
Jelölje például D azt a gépet, ami a piros
golyókat kékre, a kékeket zöldre festi, a
többi színét pedig nem változtatja; Piri pedig
legyen az a gép, ami mindent pirosra fest.
Ha D mögé kapcsoljuk Pirit, akkor olyan összetett
gépet kapunk, ami ugyanúgy viselkedik, mint Piri, mindent
pirosra fest. Ha viszont Pirit vesszük előre és
mögé a D gépet, akkor új gépet kapunk: olyat,
amely mindent kékre fest. Egy gépet saját maga
mögé is kapcsolhatunk. Három D gépet egymás
mögé kapcsolva olyan gépet kapunk, amelyik a kék
és piros korongokat zöldre festi, a többi
színét nem változtatja.
a) Hány olyan gép van, amelynek két
példányát összekapcsolva olyan gépet kapunk,
mint Ident, ami minden korongot olyannak hagy, amilyen volt?
b) Hány olyan gép van, amelynek megfelelő
számú példányát összekapcsolva Identet
kapjuk?
Feladat: 20.89.
Bergengócia nemzeti ünnepe alkalmából
kedvezményesen árusítják mindazokat a gépeket, amelyeknek
a) két példányát
b) néhány (megfelelő számú)
példányát
egymás mögé kapcsolva az összekapcsolt gép úgy
működik, mint ,,Piri", azaz minden golyót pirosra fest.
Hányféle gépet árusítanak akciósan az a) illetve a b)
esetben?
Feladat: 20.90.
A MikiFoszt gyárban új stratégiát dolgoztak ki a
festőgépek minél olcsóbb
előállítása érdekében. Az
elképzelés szerint csak néhány fajta gépet
gyártanának, azokból viszont sokat, és e
néhány fajta gép példányainak megfelelő
összekapcsolásával állítanák elő a
többi gépet is.
Mennyi a ,,néhány", azaz legkevesebb hányfajta
gép segítségével lehet a stratégiát
megvalósítani, ha egyelőre csak annak a 120
gépnek az előállítására törekednek,
amelyek különböző szín? golyókból
különbözőeket készítenek?
Feladat: 20.91.
Készítsünk algoritmust, ami véletlenszerűen megkeveri a 32 lapos
magyar kártya paklit, amelynek elemeit a
v vektorban tároljuk. A
vektor egy eleme a kártya egy lapját jelenti, aminek van színe
(piros, zöld, makk, tök) és száma (VII, VIII, IX, X, alsó, felső,
király, ász).