17. FEJEZET: A skatulyaelv a kombinatorikus geometriában

Feladat: 17.1.
Adott öt pont egy egységnégyzetben. Bizonyítandó, hogy van közöttük kettő, amelyek távolsága legfeljebb 1/2.
 

Feladat: 17.2.
[174]. Egy körlemezen nyolc pontot veszünk fel (a határoló körlemezt is a körlemezhez számítjuk). Bizonyítsuk be, hogy a nyolc pont között van két olyan, amelyek távolsága a kör sugaránál kisebb. (Kürschák-verseny, 1965.)
 

Feladat: 17.3.
Egy 7 egység oldalú négyzetben elhelyezünk 51 pontot. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a pontok között van három olyan, amely lefedhető egy egységsugarú körrel. (OKTV, 1997.)
 

Feladat: 17.4.
* Egy derékszögű háromszög két befogója 1 és 3. A háromszögben adott 25 pont. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a pontok közül három, amelyek lefedhetők egy 1/3 átmérőjű körlappal. (Arany Dániel-verseny, 1989H)
 

Feladat: 17.5.
Hány kisebb szabályos háromszöggel fedhető le egy egységoldalú szabályos háromszög?
 

Feladat: 17.6.
Hány egynél kisebb átmérőjű alakzattal fedhető le egy egységoldalú szabályos háromszög?
 

Feladat: 17.7.
Adott egy nem szabályos háromszög, a legnagyobb oldala egységnyi. Hány kisebb átmérőjű alakzatra van szükség a lefedéséhez?
 

Feladat: 17.8.
a) Hány kisebb zárt körlemezzel fedhető le egy zárt körlemez? b) Egy egységnyi sugarú zárt körlemezt kisebb sugarú egybevágó zárt körlemezekkel fedünk le. Legkevesebb hány körre van ehhez szükség? A legkevesebb körrel való lefedés esetén mennyi a lefedő körök sugarának a lehetséges minimuma? (OKTV 1996.)
 

Feladat: 17.9.
[176] Egy (zárt) körlapot feleakkora átmérőjű (zárt) körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg a legkevesebb számú körlappal? (Kürschák verseny, 1947.)
 

Feladat: 17.10.
Adott a síkon négy általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy nem hegyesszögű háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három, A,B,C, amelyekre BAC∠≥ 90∘ .)
 

Feladat: 17.11.
Adott a síkon öt általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy legalább 108 -os háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három, A,B,C, amelyekre BAC∠≥ 108∘ .)
 

Feladat: 17.12.
[176] Adott a síkon hat általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy legalább 120 -os háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három, A,B,C, amelyekre BAC∠≥ 120∘ .) (Kürschák verseny, 1958.)
 

Feladat: 17.13.
a) Adott a síkon hét általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy 120 -osnál nagyobb szögű háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három, A,B,C, amelyekre BAC∠> 120∘ . b) * Mutassuk meg, hogy bármely pozitív c számhoz megadható hét általános helyzetű pont a síkon úgy, hogy közülük bármely három által meghatározott bármelyik szög kisebb 120∘ +c-nél. (L. [176], 187. oldal; az eredmények Blumenthal amerikai matematikustól származnak.)
 

Feladat: 17.14.
[176] Adott a sík négy pontja. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott hat távolság közül a legnagyobb és a legkisebb hányadosa legalább 2. (Kürschák verseny, 1961.)
 

Feladat: 17.15.
Adott a sík öt pontja. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott tíz távolság közül a legnagyobb és a legkisebb hányadosa legalább 2sin 54∘ . (Arany Dániel-verseny, 1984H)
 

Feladat: 17.16.
Adott öt általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább három nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
 

Feladat: 17.17.
Adott hat általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább hat nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
 

Feladat: 17.18.
Adott hét általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább tizenegy nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
 

Feladat: 17.19.
Adott n>4 általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott háromszögeknek legalább a 30 százaléka nem-hegyesszögű. (Vö. IMO 1970/6. feladat, [183])
 

Feladat: 17.20.
a) Adott négy pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Mennyi az általuk alkotott hat távolság négyzetösszegének maximuma? b) Mennyi a távolságok négyzetösszegének maximuma öt, illetve hat pont esetén?
 

Feladat: 17.21.
* Adott négy általános helyzetű pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Bizonyítsuk be, hogy a négy csúcs között van három, amely által meghatározott háromszög beírt körének sugara legfeljebb (2-1)/2.
 

Feladat: 17.22.
* Adott öt általános helyzetű pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Bizonyítsuk be, hogy van az öt csúcs között van három, amely által meghatározott háromszög beírt körének sugara legfeljebb 1/2 tg 18∘ .
 

Feladat: 17.23.
Hat pont a síkon legalább hány különböző távolságot határoz meg?
 

Feladat: 17.24.
Bizonyítsuk be, hogy öt pont a síkon legalább három különböző távolságot határoz meg, kivéve ha az öt pont egy szabályos ötszög öt csúcsa.
 

Feladat: 17.25.
Hány olyan elrendezése lehetséges a síkon négy pontnak, ahol a négy pont csak két különböző távolságot határoz meg? A hasonló elrendezéseket azonosnak tekintjük.
 

Feladat: 17.26.
Adott egy 2 egység oldalú négyzet. Elhelyezhető-e a belsejében öt egységnégyzet úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
 

Feladat: 17.27.
Adott egy 3 egység oldalú kocka. Elhelyezhető-e a belsejében 28 egységoldalú kocka úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
 

Feladat: 17.28.
Bizonyítsuk be, hogy az egységkörben nem helyezhető el négy 1/2 oldalú négyzet úgy, hogy semely kettőnek ne legyen közös belső pontja. Megjegyzés. A feladat folytatását l. a 15.24. feladatban.
 

Feladat: 17.29.
Bizonyítsuk be, hogy az egységkörben nem helyezhető el négy 1/2 sugarú kör úgy, hogy semely kettőnek ne legyen közös belső pontja.
 

Feladat: 17.30.
Adott egy 2 egység oldalú konvex szabályos hatszög. Elhelyezhető-e a belsejében 11 egységnégyzet úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
 

Feladat: 17.31.
Adott a síkon egy konvex ötszög, P1 , csúcsai A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . A P1 ötszögből a Pi ötszöget az A1 Ai ‾ eltolással kapjuk. Bizonyítandó, hogy a P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ötszögek között van kettő, amelyeknek van közös belső pontja. A feladat folytatása a 17.32. feladat.
 

Feladat: 17.32.
Adott a térben egy 9-csúcsú konvex poliéder, P1 , csúcsai A1 , A2 ,…, A9 . A P1 ötszögből a Pi ötszöget az A1 Ai ‾ eltolással kapjuk. Bizonyítandó, hogy a P1 , P2 ,…, P9 poliéderek között van kettő, amelyeknek van közös belső pontja. (IMO 1971/2. feladat, [183] ) Igaz-e az állítás 8-csúcsú konvex poliéderekre is?