Matkönyv feladatgyűjtemény: SzámelmĂ©let 7--8

15. FEJEZET: Diofantikus egyenletek

Bezárás: [ X ]
Feladat: 15.1.
Adjuk meg mindazokat az x, y egész számokat, amelyekre
a) 3x+9y=31

b) 3x+9y=333331!

 
Feladat: 15.2.
Adjuk meg mindazokat az x, y egész számokat, amelyekre x+x·y=11!
 
Feladat: 15.3.
Adjuk meg mindazokat az x, y egész számokat, amelyekre
a) xy+x+y=98

b) xy-x-y=98

c) xy-2x-2y=98

d) xy-2x-y=98

e) 2xy-2x-y=98

f) 2xy-x-y=98!

 
Feladat: 15.4.
Két pozitív egész szám szorzata 1000-rel nagyobb az összegüknél. Melyek lehetnek ezek a számok?
 
Feladat: 15.5.
Két pozitív egész szám összegének és szorzatának összege 1000. Melyek lehetnek ezek a számok?
 
Feladat: 15.6.
Adjuk meg mindazokat az x, y pozitív egész számokat [Ajánlott olvasmány: [16][44-56.] ,,Óegyiptomi számolás" fejezetében a törtek kezeléséről szóló rész.] , amelyekre
a) 1 x + 1 y = 1 7

b) 1 x + 1 y = 1 10 !

 
Feladat: 15.7.
Adjuk meg mindazokat az x, y egész (nem feltétlenül pozitív) számokat, amelyekre 1 x + 1 y = 3 7 !
 
Feladat: 15.8.
Egy szultánnak 143 felesége volt. Uralkodása csak legfeljebb 1000 napig tartott, ezalatt végig adót szedett: az első nap 144 aranyat, többi napon pedig mindig egy arannyal többet, mint az azt megelőző napon. Halála után feleségei szét tudták egyenlően osztani egymás között a beszedett adót. Hány napig uralkodhatott a szultán?
 
Feladat: 15.9.
Állítsuk elő 19 egymást követő egész szám összegeként a
a) 95-öt

b) 97-et!

 
Feladat: 15.10.
[108] Hányféleképpen lehet előállítani
a) 21-et

b) 1989-et
egymást követő pozitív egészek összegeként?
 
Feladat: 15.11.
Hányféleképpen lehet 1989-et előállítani egymást követő páratlan pozitív egészek összegeként?
 
Feladat: 15.12.
Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek oldalai cm-ben mérve egész számok és egyik befogója
a) 13cm

b) 14cm

c) 12cm

d) 202cm?

 
Feladat: 15.13.
Egy téglalap alakú sütemény széle megégett. A sütit az oldalaival párhuzamos - teljesen végig érő - vágásokkal kisebb darabokra vágtuk. Azt tapasztaltuk, hogy az égett - tehát a süti széléről származó - darabok száma megegyezik az égett részt nem tartalmazó - belső - szeletek számával. Hány részre vágtuk fel a süteményt?
 
Feladat: 15.14.
Hány olyan egymással nem egybevágó téglalap van, amelyben az oldalak centiméterben mérve egész számok, és a kerület mérőszáma megegyezik a terület mérőszámával ( cm2 -ben mérjük a területet)?
 
Feladat: 15.15.
[65] Van-e olyan konvex sokszög,
a) amelynek 117-tel több átlója van mint oldala?
b) amelynek 252 átlója van?
c) amelynek 172 átlója van?
d) amelyben az átlók száma prímszám?
e) amelyben az átlók számának és az oldalak számaának szorzata 160?
 
Feladat: 15.16.
[40] Bergengóciában a múlt században az autók rendszáma meghatározott számú betűből, és a betűk után írt meghatározott számú számjegyből állt. Számjegyként a 10-es számrendszer bármely jegyét fel lehetett használni, de a rendszámban szereplő betűk csak a góc ábécé magánhangzóiból kerülhettek ki. A századfordulóra minden lehetséges rendszámot kiadtak. Ekkor az autók ötöde taxi volt. Ezeken nem volt külön ,,taxi" felirat, hanem onnan lehetett felismerni őket, hogy a rendszámukban voltak ismétlődő jelek.
Hány magánhangzó van a góc ábécében, és hány autó volt Bergengóciában a századfordulón?
 
Feladat: 15.17.
[32] Egy sakkversenyen két hetedik osztályos és néhány nyolcadik osztályos tanuló vett részt. Minden résztvevő mindenkivel egy mérkőzést játszott. A két hetedik osztályos együtt szerzett 8 pontot, a nyolcadik osztályosok pedig egyenlő számú pontot szereztek. (A versenyen résztvevők 1 pontot kapnak, ha megnyerik a mérkőzést, és fél pontot a döntetlenért.) Hány nyolcadik osztályos vett részt a versenyen?
 
Feladat: 15.18.
Hányféleképpen állíthatók elő két négyzetszám összegeként az alábbi számok?

a) 1998

b) 1999

c) 2000

d) 2001

e) 2002

f) 2003

g) 2004?