Matkönyv feladatgyűjtemény: SzámelmĂ©let 7--8

5. FEJEZET: Közös osztó, közös többszörös

Bezárás: [ X ]
Feladat: 5.1.
[63] Egy kikötőben 2000. január 2-án együtt volt 4 hajó. Tudjuk, hogy az első hajó 4 hetenként, a második 8 hetenként, a harmadik 12 hetenként, a negyedik 16 hetenként fordul meg a kikötőben. Mikor találkoznak legközelebb ebben a kikötőben?
 
Feladat: 5.2.
[63] Matrózok, akik jó barátok voltak, egy szigeten kincset találtak: 48 egyforma ezüst tálkát, 72 egyforma ezüst hamutartót és 100 egyforma igazgyöngyöt. Nagy szerencséjük volt, mert éppen annyian voltak, hogy mind a háromféle ajándékon igazságosan tudtak osztozni. Hányan lehettek?
 
Feladat: 5.3.
[63] Nézzük a 240-et és a 108-at!
240= 24 ·3·5

108= 22 · 33 .
Keressünk
a)közös osztókat!

b) közös többszörösöket!
Van-e olyan közös osztójuk, amely

c) 10-zel osztható?

d) 7-tel osztható?

e) páratlan?
Van-e olyan közös többszörösük, amely

f) 10-zel osztható?

g) 7-tel osztható?

h) páratlan?

 
Feladat: 5.4.
[63] 240 és 108 közös osztói között van-e
a) legkisebb?

b) legnagyobb?
240 és 108 közös többszörösei között van-e
c) legkisebb?

d) legnagyobb?

 
Feladat: 5.5.
[63] A prímtényezős alak segítségével megadjuk néhány szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét, köztük néhányat hibásan. Keressük meg a jókat, a hibásakat pedig javítsuk ki!
60= 22 ·3·5

72= 23 · 32

396= 22 · 32 ·11

108= 22 · 33

(60,72)=2·3=6

(60,72)= 22 · 32 =36

(60,72)= 22 ·3=12

[60,72]=2·3·5=30

[60,72]= 23 · 32 ·5=360

(60,396)= 22 ·3=12

(60,396)= 22 · 32 =36

[60,396]= 22 · 32 ·5·11=1980

[60,396]= 22 · 33 ·5·11=5940

(60,108)= 22 ·3=12

(60,108)= 22 · 32 =36

[60,108]= 22 · 33 =108

[60,108]= 22 · 33 ·5=540

 
Feladat: 5.6.
[63] Határozzuk meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!
a) 23 · 32  és   25 ·3

b) 24 · 35  és   33 ·7

c) 27 · 34 · 56  és   35 · 53 · 132 .

 
Feladat: 5.7.
[63] Számítsuk ki a következőket!
(72,396)=

[72,396]=

(72,108)=

[72,108]=

(396,108)=

[396,108]=

(60,72,108)=

[60,72,108]=

(60,72,108,396)=

[60,72,108,396]=

 
Feladat: 5.8.
[63] Milyen x-re igazak a következő egyenlőségek?
[x,2·3]= 22 ·3·5

[x, 24 ]= 24 ·3

(x, 24 ·3)= 22 ·3

(x,3·5)=1

 
Feladat: 5.9.
[63] Keressünk olyan a és b számokat, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk, vagyis relatív prímek!
a
b

 
Feladat: 5.10.
[63] Keressünk olyan számokat, amelyek a 300-hoz képest relatív prímek!
 
Feladat: 5.11.
[63] 35, 76 és 28 három olyan szám, melyre (35,76,28)=1, vagyis relatív prímek. Keressünk még ilyen számhármasokat!
a
b
c

 
Feladat: 5.12.
[63] Keressünk olyan számokat, melyekre (a,b,c)=1, és
a) (a,b)=2              (a,c)=3              (b,c)=5
b) (a,b)=1 (a,c)=1 (b,c)=1
c) (a,b)=2 (a,c)=2 (b,c)=3
d) (a,b)=2 (a,c)=7 (b,c)=3
e) (a,b)=2 (a,c)=3 (b,c)=3

 
Feladat: 5.13.
[63] Keressünk olyan számokat, melyekre
a) (a,b)=2              (a,c)=3              (b,c)=5
b) (a,b)=1 (a,c)=1 (b,c)=1
c) (a,b)=2 (a,c)=2 (b,c)=3
d) (a,b)=2 (a,c)=7 (b,c)=3
e) (a,b)=2 (a,c)=3 (b,c)=3
a) (a,b,c)=1             
és              [a,b,c]=30
b) (a,b,c)=1 és [a,b,c]=60
c) (a,b,c)=2 és [a,b,c]=20
d) (a,b,c)=2 és [a,b,c]=40
e) (a,b,c)=3 és [a,b,c]=180

 
Feladat: 5.14.
[63] Milyen x-re igazak a következő egyenlőségek?
a) (x,1503)=2· 32 =18

b) (x,1503)= 32 =9

c) [x,1503]= 22 · 32 ·167=6012

d) (x,1503,6012)=167

e) [x,12]=12·x

 
Feladat: 5.15.
[63] Írjuk le, hogy a prímtényezős alakok ismeretében hogyan állítható elő véges sok szám legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse!
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 5.16.
[63] Prímtényezős alakok segítségével határozzuk meg 120, 280 és 1000 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!
 
Feladat: 5.17.
[63] Tudjuk, hogy a 12 közös osztója 600-nak és 480-nak.
a) Igaz-e, hogy 12|(600,480)?
b) Keressünk még közös osztókat, és figyeljük meg, milyen kapcsolat van a közös osztók és a legnagyobb közös osztó között!
 
Feladat: 5.18.
[63] a) Tudjuk, hogy a 960 közös többszöröse 240-nek és 160-nak. Igaz-e, hogy [240,160]960?
b) Keressünk még közös többszörösöket, és figyeljük meg, milyen kapcsolat van a közös többszörösök és a legkisebb közös többszörös között!
 
Feladat: 5.19.
[63] Keressünk két olyan számot, amelyeknek a legnagyobb közös osztója 1 (relatív prímek)! Számítsuk ki a legkisebb közös többszörösüket!
a) Mit tapasztalunk?
b) Keressünk még relatív prím számpárokat, és ellenőrizzük a sejtést!
 
Feladat: 5.20.
[63] Vizsgáljuk meg a következő szorzatokat! Milyen érdekességet tapasztalunk?
(12,35)·[12,35]=

(12,15)·[12,15]=

(8,9)·[8,9]=

(8,12)·[8,12]

(8,24)·[8,24]=
Fogalmazzuk meg általánosan, milyen kapcsolat van (a,b),a·b és [a,b] között! Indokoljuk az állítást!
 
Feladat: 5.21.
[63] Keressünk olyan x számokat, amelyekre igazak a következő egyenlőségek!
a) ( 2x · 32 , 25 ·3)= 23 ·3

b) ( 22 ·3· 52 ,x)=3

c) ( 22 ·3· 52 ,x)=20

d) [3· 52 ·7,x]=1050

e) [ 3x · 53 ,2· 33 ]=2· 33 · 53

f) [3· 52 ·7,x]=725

 
Feladat: 5.22.
[63] Igaz-e, hogy
a) ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor 24-gyel is osztható;
b) ha egy szám osztható 3-mal és 8-cal, akkor 24-gyel is osztható;
c) ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor 12-vel is osztható?
 
Feladat: 5.23.
[63] Keressünk példát arra, hogy egy szám osztható 3-mal és 15-tel, de nem osztható 45-tel!
Ha egy szám osztható 3-mal és 15-tel, mivel osztható még biztosan?
 
Feladat: 5.24.
[63] Keressünk olyan a és b számokat, amelyekre igaz az, hogy minden szám, amely osztható a-val is és b-vel is, osztható a·b-vel is!
Keressünk olyan számpárokat is, amelyekről már ránézésre látszik, hogy nem igaz rájuk az állítás!
Próbáljuk megfogalmazni, hogy milyen a-ra és b-re igaz az állítás!
 
Feladat: 5.25.
[63] Egy szám osztható a-val és b-vel. Milyen számokkal való oszthatóságra következtethetünk még ebből?
 
Feladat: 5.26.
[63] Igaz-e mindig, hogy ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható a és b legkisebb közös többszörösével, vagyis [a,b]-vel is? Nézzük meg még néhány példán!
 
Feladat: 5.27.
Melyik az a legkisebb pozitív egész, amely az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok mindegyikével osztható?
 
Feladat: 5.28.
Három szám legnagyobb közös osztója 1. Igaz-e, hogy a számok páronként relatív prímek?
 
Feladat: 5.29.
Határozzuk meg mindazokat az a és b természetes számokat, amelyekre igaz, hogy a·b=360 és a és b legnagyobb közös osztója 15.
 
Feladat: 5.30.
Két pozitív egész szám közül az egyik a 100. Mi lehet a másik szám, ha a két szám legkisebb közös többszöröse tízszer nagyobb, mint a két szám legnagyobb közös osztója?
 
Feladat: 5.31.
Határozzuk meg A= 20012000 + 20002001 és B=2000·2001 legnagyobb közös osztóját.
 
Feladat: 5.32.
Hány olyan a, b számpár van, amelyre [a,b]=60?
 
Feladat: 5.33.
Igaz-e az alábbi állítás vagy annak megfordítása?
Ha két pozitív egész összegéhez hozzáadva a legnagyobb közös osztójukat a legkisebb közös többszörösüket kapjuk, akkor a két eredeti szám aránya 2:3.
 
Feladat: 5.34.
Határozzuk meg az alábbi számok legnagyobb közös osztóját számológép használata nélkül!
a) 12345678 és 12345679

b) 12345678 és 12345680

c) 12345677 és 12345679

d) 12345678 és 12345681

e) 12345677 és 12345680

f) 12345678 és 12345714

 
[  Megoldás  ]
Feladat: 5.35.
Készítsünk algoritmust, ami beolvas két számot és meghatározza a legnagyobb közös osztójukat.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 5.36.
Készítsünk algoritmust, ami beolvas két számot és meghatározza a legkisebb közös többszörösüket.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 5.37.
Készítsünk algoritmust, amely megvalósítja a hatványozás műveletét. Beolvassa az a (alapot) és a b (kitevőt) és eredményképpen kiírja ab -t.
 
[  Megoldás  ]