Matkönyv feladatgyűjtemény: SzámelmĂ©let 7--8

17. FEJEZET: Prímek eloszlása

Bezárás: [ X ]
Feladat: 17.1.
Két pozitív egész szám különbsége és a szorzata is prím. Melyik ez a két szám?
 
Feladat: 17.2.
Két prímszám különbsége 1995. Határozzuk meg az összegük osztóit!
 
Feladat: 17.3.
Hol van a legnagyobb hézag 1-től 100-ig a prímek között?
 
Feladat: 17.4.
Hány ikerprím van 1 és 100 között? És hány trikerprím (azaz három szomszédos páratlan szám, amelyek mind prímek)? Vannak-e ilyenek még 100 fölött?
 
Feladat: 17.5.
Adjunk meg
a) 10

b) n
egymást követő pozitív egész számot, melyek egyike sem prím!
 
Feladat: 17.6.
Mutassuk meg, hogy van olyan 1-nél nagyobb egész szám, amely az első 100 prímszám egyikével sem osztható!
 
Feladat: 17.7.
Igazoljuk, hogy végtelen sok prímszám van!
 
Feladat: 17.8.
Az alábbi műveletek eredménye mind prímszám:
2+1=3

2·3+1=7

2·3·5+1=31
Igaz-e, hogy az első n prímszám szorzatánál eggyel nagyobb szám minden n esetén prím?
 
Feladat: 17.9.
Mutassuk meg, hogy végtelen sok
a) 4k+3

b) 3k+2
alakú prímszám van ( kZ)!
 
Feladat: 17.10.
Tekintsük az alábbi számokat:
21 +1=3

22 +1=5

24 +1=17

28 +1=129.
Általában a 2 2n +1 alakú számokat ( nN) Fermat-számoknak nevezik. Mutassuk meg, hogy bármely két Fermat-szám relatív prím!
(Fermat azt hitte, hogy 2 2n +1 értéke mindig prím. Ezt Euler cáfolta meg 1732 körül, megmutatva, hogy 2 25 +1 nem prím.)
 
Feladat: 17.11.
A Fermat-számok segítségével adjunk új bizonyítást arra, hogy végtelen sok prímszám van!
 
Feladat: 17.12.
[32] Bizonyítsuk be, hogy ha három 3-nál nagyobb prímszám számtani sorozatot alkot, akkor a sorozat különbsége osztható hattal!
 
Feladat: 17.13.
[32] Tíz 3000-nél kisebb prímszám számtani sorozatot alkot. Melyek ezek a számok?
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.14.
Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számokból álló végtelen hosszú számtani sorozatban végtelen sok összetett szám van!
 
Feladat: 17.15.
[32] Bizonyítsuk be, hogy öt egymás utáni egész szám közül mindig ki lehet választani egy olyat, amely az összes többihez relatív prím!
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.16.
Készítsünk algoritmust, ami eldönti egy számról, hogy prím-e.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.17.
Készítsünk algoritmust, ami megszámolja a prímszámokat egy adott számig.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.18.
Készítsünk algoritmust, ami kiírja fájlba a prímszámokat egy adott számig.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.19.
Készítsünk algoritmust, ami 4n+1 alakú prímszámokat keres ( nN).
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.20.
Készítsünk algoritmust, ami 4n+1 alakú prímszámokat keres és fájlba menti őket ( nN).
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.21.
Készítsünk algoritmust, ami a megtalált 4n+1 alakú prímszámokat felbontja két négyzetszám összegére. ( nN).
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.22.
Készítsünk algoritmust, ami Fermat-féle prímeket keres. Fermat-prímnek nevezünk egy számot, ha felírható 2n +1 alakban, ahol n kettőhatvány ( n= 2k , kN).
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 17.23.
Készítsünk algoritmust, ami Mersenne-prímeket keres. A Mersenne-prím olyan prímszám, ami felírható 2p -1 alakban, ahol p prímszám.
 
[  Segítség, útmutatás  ] , [  Megoldás  ]
Feladat: 17.24.
Jelölje p(n) az n-edik prímet. Írjunk programot, amely beolvassa n értékét és kiírja p(n)-t!
 
Feladat: 17.25.
Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amelynek egyik kezdőszelete sem összetett szám? (Pld a 137 kezdőszeletei: 1, 13, 137.)
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 17.26.
Melyik az a 10 legkisebb egymást követő pozitív egész, amelyek egyike sem prím?
 
[  Segítség, útmutatás  ]
Feladat: 17.27.
Megadandó pozitív prímekből álló 10-tagú számtani sorozat.
 
Feladat: 17.28.
[52] Keressünk különböző prímszámokból álló 3×3-as bűvös négyzetet!
 
[  Segítség, útmutatás  ] , [  Megoldás  ]