Matkönyv feladatgyűjtemény: SzámelmĂ©let 7--8

4. FEJEZET: Prímtényezők

Bezárás: [ X ]
Feladat: 4.1.
Milyen számjegyre végződik öt szomszédos egész szám szorzata?
 
Feladat: 4.2.
[63] Keressünk öt-öt olyan számot, amelynek
a) nincs valódi osztója!

b) csak egy osztója van!

c) csak két osztója van!

d) csak három osztója van!

 
Feladat: 4.3.
[63] Bontsuk fel a 120-at két 1-nél nagyobb egész szám szorzatára! A tényezőket, ha lehet bontsuk még tovább tényezők szorzatára! Haladjunk tovább egészen addig, amíg lehet! Így a 120-at tovább nem bontható számok szorzatára bontjuk.
Végezzük el a felbontást a 120 más két tényezős szorzataiból kiindulva is! Mit tapasztalunk?
 
Feladat: 4.4.
[63] Bontsuk fel minél több tényező szorzatára és minél többféleképpen a 60-at, a 96-ot, a 360-at és a 420-at! Mit tapasztalunk?
 
Feladat: 4.5.
[63] Igazak-e a következő állítások?
a) Minden 6-tal osztható szám páros.
b) Minden 4-gyel osztható szám 4-gyel osztható számjegyre végződik.
c) Van olyan páratlan szám, amely osztható 18-cal.
d) Van olyan 7-tel osztható szám, amely osztható 5-tel.
e) Van olyan 10-zel osztható szám, amely páros.
 
Feladat: 4.6.
[63] 20 is osztható 4-gyel, és 28 is. Igaz-e, hogy osztható 4-gyel
a) az összegük is?

b) a pozitív különbségük is?

c) a szorzatuk is?
A szorzatukról többet is mondhatunk. Mit?
 
Feladat: 4.7.
[63] Keressünk két olyan 4-gyel osztható számot, amelyek hányadosa
a) 4-gyel nem osztható természetes szám!
b) 4-gyel osztható természetes szám!
 
Feladat: 4.8.
[63] Keressünk olyan számokat, amelyek
a) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, de 2 és 4 szorzatával nem oszthatók!
b) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, és 2-nek és 4-nek a szorzatával is oszthatók!
c) 2-vel és 3-mal is oszthatók, de 2 és 3 szorzatával nem oszthatók!
 
Feladat: 4.9.
[63] A 36   960-at és a 4225-öt bontsuk törzstényezőkre!
 
Feladat: 4.10.
[63] Határozzuk meg a következő számok prímtényezős felbontását!
12100

7510 · 4520

 
Feladat: 4.11.
[63] Van-e 2-nek olyan hatványa, amelyik osztható 7-tel?
 
Feladat: 4.12.
[63] Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a) 217 · 317 = x17

b) 417 = 2x

c) 360 = 9x

d) 460 = 8x

e) x2 = 261

f) x3 = 327

 
Feladat: 4.13.
[63] Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis!
a) 24 · 35 26 · 37

b) 38 · 113 24 · 39 · 114

c) 26 · 74 28 · 73 ·5

d) 24 ·3· 52 26 · 54 · 73

 
Feladat: 4.14.
[63] Igaz-e, hogy pozitív egész x, y értékekre
a) 7xy7x vagy 7y

b) 15xy15x vagy 15y

c) 23xy23x vagy 23y

d) 91xy91x vagy 91y

 
Feladat: 4.15.
Az n egész számra teljesül, hogy minden olyan esetben, amikor oszt egy szorzatot, akkor a szorzatnak legalább az egyik tényezőjét is osztja. Melyek az ilyen tulajdonságú n egészek?
 
Feladat: 4.16.
[63] Igaz-e, hogy pozitív egész x értékekre
a) 2x és 3x6x

b) 2x és 10x20x

c) 2x és 10x5x

d) 2x és 6x12x

 
Feladat: 4.17.
[63] Igaz-e, hogy pozitív egész x értékekre
a) 21 x2 21x

b) 12 x2 12x

c) 12 x2 36 x2

d) 137x13x

 
Feladat: 4.18.
[63] Egy x pozitív egész szám négyzete osztható 280-nal. Mire lehet ebből következtetni?
 
Feladat: 4.19.
[63] Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az 1260-szorosa egy egész szám harmadik hatványa?
 
Feladat: 4.20.
[63] Válasszunk ki három egymást követő pozitív egész számot! Szorozzuk össze őket, és nézzük meg, milyen számokkal osztható a szorzat!
 
Feladat: 4.21.
[63] Igaz-e az, hogy bárhogy is választunk ki három egymást követő pozitív egész számot, a szorzatuk biztosan osztható 6-tal?
 
Feladat: 4.22.
[63] Mivel osztható biztosan 4 szomszédos pozitív egész szám szorzata?
 
Feladat: 4.23.
[63] Mivel osztható biztosan 7 szomszédos pozitív egész szám szorzata?
 
Feladat: 4.24.
[63] . rajzokról három-három címke hiányzik. Keressük meg, hogy melyik rajzhoz melyik címkehármas tartozik!
a)
60 valódi osztói

63 valódi osztói

20 valódi osztói
b)
343 valódi osztói

243 valódi osztói

42 valódi osztói
c)
6 valódi osztói

60 valódi osztói

90 valódi osztói
d)
60 valódi osztói

30 valódi osztói

48 valódi osztói
e)
22 · 73 valódi osztói

25 · 75 valódi osztói

27 · 55 · 75 valódi osztói

 
Feladat: 4.25.
[63] Összeszorozzuk 1-től kezdve az első 100 pozitív egész számot:
1·2·3·4·5··97·98·99·100

Hány nulla van a kapott szorzat végén?
 
Feladat: 4.26.
[111] Ebben a feladatban prímkártyákkal dolgozunk, tehát olyan kis lapokkal, amelyekre egy-egy prímszám van írva. Hét számot - ezeket A, B, C, D, E, F és G jelöli - előállítottunk prímtényezős alakban. A számok betűjele mellé helyeztük prímkártyáikat, de néhány kártyát lefordítva tettünk az asztalra, ezekből csak a hátoldalukra rajzolt x látható.
A:
3

5

x

x
B:
2

2

3

x
C:
x

x

x
D:
x

x

x

3

7

3
E:
5

2

2

x
F:
3

7

x
G:
5

5

3

3

x

Az A, B, C, D, E, F, G számok közül melyikre igaz?

a) Lehet, hogy négyzetszám;                 b) Biztosan páros;
c) Biztos, hogy nem négyzetszám; d) Biztos, hogy osztható 9-cel;
e) Biztosan nem köbszám (azaz nem harmadik hatvány);
f) Biztos, hogy nem osztható 35-tel; g) Biztosan 0-ra végződik;
h) Lehet, hogy osztható 12-vel; i) Biztos, hogy nem 0-ra végződik;
j) Biztos, hogy nem osztható 8-cal.

Alább elárulunk még egy-egy információt az A, B, C, D, E, F, G számokról. Így ki lehet találni a letakart prímeket?

k)
A: négyzetszám.
B: 8 többszöröse.
C: 0-ra végződik és osztható 7-tel.
D: páros négyzetszám.
E: 15 többszöröse.
F: ha még egy hármas prímkártyát hozzátennénk, négyzetszám lenne.
G: A kilencedrésze köbszám.
 
Feladat: 4.27.
[59] Osztójáték
a) Két játékos felváltva mondhatja a 24 pozitív osztóit, de a 24-et, és már kimondott osztó osztóját nem lehet mondani. Az veszt, akinek már nem marad osztó.
A kezdőnek vagy a másodiknak szóló játékosnak kedvező-e a játék? Mi a nyerő stratégia?
b) Mi a helyzet, ha a 24 helyett a 36 osztóival játszunk?
 
Feladat: 4.28.
[59] Rajzoljuk le
a) 32,            b) 30,            c) 60
osztóit és tegyünk közéjük piros, kék és zöld nyilakat úgy, hogy bármely osztótól a kétszereséhez piros, a háromszorosához kék, az ötszöröséhet zöld nyíl mutasson. Próbáljuk úgy elrendezni az osztókat, hogy az egyforma színű nyilak egymással párhuzamosak legyenek!
 
Feladat: 4.29.
[63] Egyetlen olyan szám van, amelynek pontosan egy osztója van. Melyik az? Pontosan két osztója a prímszámoknak van. Soroljunk fel néhányat!
Keressünk olyan számokat, amelyeknek pontosan három osztójuk van. Melyek ezek a számok?
Keressünk olyan számokat, amelyeknek négy osztójuk van!
 
Feladat: 4.30.
[63] Ha próbálgatással keressük egy szám osztóit, meddig kell elmenni a próbálgatással?
 
Feladat: 4.31.
[63] Hány osztója van a következő számoknak:
160

366

1991?

 
Feladat: 4.32.
[63] Egy n pozitív egész szám összes osztójának a számát d(n)-nel jelöljük. Az nd(n) függvény úgynevezett számelméleti függvény. Folytassuk a táblázat kitöltését!
n123456789101112
d(n)1223242
n131415161718202124303132
d(n)

 
Feladat: 4.33.
[63] Határozzuk meg d(n) értékét ( k tetszőleges pozitív egész számot, p tetszőleges prímszámot jelent)!
n d(n)
3
32
33
34
:
3k
n d(n)
5
52
53
54
:
5k
n d(n)
11
112
113
114
:
11k
n d(n)
13
132
133
134
:
13k
n d(n)
p
p2
p3
p4
:
pk

 
Feladat: 4.34.
[63] Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!
d( 23 · 32 )=

d( 23 · 52 )=

d(19·23)=

d(19·23·31)=

d(2· 53 · 72 )=

 
Feladat: 4.35.
[63] Próbáljuk megfogalmazni és képlettel leírni, hogy ha ismeretes egy szám prímtényezős felbontása, miként állapítható meg, hogy összesen hány osztója van!
 
Feladat: 4.36.
[63] Hány osztója van a következő számoknak:
720

960

30  000?

 
Feladat: 4.37.
[63] Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek
a) 9 osztója van

b) 10 osztója van?

 
Feladat: 4.38.
[63] Keressünk olyan számokat, amelyeknek pontosan
a) 3

b) 4

c) 5

d) 6
osztója van!
 
Feladat: 4.39.
[63] Van-e olyan 1000-nél kisebb szám, amelynek
a) pontosan 30

b) több mint 30
osztója van?
 
Feladat: 4.40.
[63] 6 melyik hatványának van pontosan
a) 24

b) 49

c) 100
osztója?
 
Feladat: 4.41.
[63] Van-e olyan 33-mal osztható szám, amelynek pontosan 33 osztója van?
 
Feladat: 4.42.
a) Keressünk olyan pozitív egész számot, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is, és 6 különböző pozitív osztója van!
b) Van-e olyan 3-mal is és 4-gyel is osztható pozitív egész, amelynek 7 különbözó osztója van?
 
Feladat: 4.43.
Hány olyan osztója van 3600-nak, amely
a) osztható 2-vel?
b) osztható 6-tal?
c) négyzetszám?
d) ha osztható 2-vel, akkor 3-mal is?
 
Feladat: 4.44.
A 14 osztói nagyság szerinti sorrendben: 1, 2, 7, 14. Alább megadjuk néhány pozitív egész szám osztóinak hiányos listáját. Találjuk ki mely számok osztói vannak nagyság szerint felsorolva!
a) 1

3

A

B

15

C.

b) 1

D

E

8

F

G.

c) 1

H

I

J

22

K.

d) 1

L

M

9

N

O.

 
Feladat: 4.45.
Egy számnak tíz osztója van. Mi lehet ez a szám, ha az osztók közt van a
a) 32?

b) 6?

c) 9 és a 11?

 
Feladat: 4.46.
[46] Egy törtszámról a következőket tudjuk:
- egyszerűsített alakja 2 5 ;
- számlálójának és nevezőjének összege kétjegyű négyzetszám.
Melyik ez a törtszám?
 
Feladat: 4.47.
Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyiknek a 245 szöröse négyzetszám?
 
Feladat: 4.48.
Lehet-e két négyzetszám szorzata és hányadosa is négyzetszám?
 
Feladat: 4.49.
a) Keressünk olyan pozitív egész számot, amelyet 2-vel szorozva négyzetszámot, 3-mal szorozva köbszámot kapunk!
b) Adjunk meg olyan számot, amelyre a fentiek mellett még az is igaz, hogy ötszöröse teljes ötödik hatvány!
 
Feladat: 4.50.
Készítsünk algoritmust, ami megadja egy szám prímtényezős felbontását.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 4.51.
Készítsünk algoritmust, ami a prímtényezős alakból előállítja az eredeti számot!
 
[  Megoldás  ]