Matkönyv feladatgyűjtemény: SzámelmĂ©let 7--8

19. FEJEZET: Racionális és irracionális számok

Bezárás: [ X ]
Feladat: 19.1.
[108] Ha
a) 1 7

b) 1 52
tizedestört alakjának felírnánk több mint 100 tizedesjegyét, akkor mi állna a 100. helyen?
 
Feladat: 19.2.
Számoljuk ki 1 7 , 2 7 , 3 7 , 4 7 , 5 7 és 6 7 tizedestört alakját és tegyünk megfigyelést!
Számoljuk ki 1 13 értékét! Melyik tört tizedestört alakját lehet ennek alapján azonnal megmondani az alábbiak közül:
a) 2 13 ;

b) 3 13 ;

c) 4 13 ?

 
Feladat: 19.3.
Válasszuk ki az alábbi törtek közül azokat, amelyek tizedestört alakja véges!
3 40



31 7



21 60



3 1024



1 2005



7 1250 .

 
Feladat: 19.4.
Határozzuk meg, hogy az alábbi törtek tizedestört alakjában hány jegy van a tizedesvessző után!
2 5



3 8



7 125



1 5120



4 512 .

 
Feladat: 19.5.
Az alábbi törtek tizedestört alakja periodikus. Adjunk felső becslést a periódus hosszára!
1 9



1 11



2 19



123 2005 .

 
Feladat: 19.6.
Igaz-e, hogy minden racionális szám tizedestört alakja periodikus vagy véges?
 
Feladat: 19.7.
Melyek azok a racionális számok, amelyek tizedestört alakja véges?
 
Feladat: 19.8.
Van-e olyan tizedestört, amelyik nem periodikus?
 
Feladat: 19.9.
A négyzetszámokból a következő tizedestörtet készítjük:
0,149162536.

Mi ennek a számnak a
a) 100-adik
b) 1000-edik tizedesjegye?
c) Ismétlődő tizedestört-e a fenti szám?
 
Feladat: 19.10.
a) Adott a síkon egy négyzet. Szerkesszünk kétszer akkora területű négyzetet körzővel és vonalzóval!
b) Hányszorosa lesz az így kapott négyzet oldala az eredeti négyzetének?
 
Feladat: 19.11.
Adott a síkon egy szakasz. Képzeljünk el egy kockát, melynek ez a szakasz az oldaléle. Szerkesszünk a kocka testátlójával egyenlő hosszú szakaszt! Milyen hosszú a testátló, ha az adott szakasz hossza 1 egyég?
 
Feladat: 19.12.
Van-e olyan négyzetszám, amelynek a
a) kétszerese



b) háromszorosa



c) négyszerese



d) hatszorosa



e) tizenkétszerese
is négyzetszám?
 
Feladat: 19.13.
Bizonyítsuk be, hogy a 2 irracionális, azaz nem írható fel két egész szám hányadosaként!
 
Feladat: 19.14.
Melyek azok az n pozitív egészek, amelyekre n irracionális?
 
Feladat: 19.15.
Adott a síkon az egységnyi hosszúságú szakasz. Szerkesszünk
a) 2



b) n
hosszúságú szakaszt körzővel és vonalzóval!
 
Feladat: 19.16.
Döntsük el az alábbi számokról, hogy racionálisak vagy irracionálisak!
a) 22



b) 2+3



c) 169



d) 23.

 
Feladat: 19.17.
Az alábbi állítások közül melyek igazak?
a) Két racionális szám összege mindig racionális;
b) Két irracionális szám összege mindig irracionális;
c) Egy racionális és egy irracionális szám összege mindig irracionális;
d) Két racionális szám szorzata mindig racionális;
e) Egy racionális és egy irracionális szám szorzata mindig irracionális;
f) Két irracionális szám szorzata mindig irracionális.
 
Feladat: 19.18.
Igazoljuk, hogy tetszőlegesen adott hat irracionális szám közül mindig kiválasztható három úgy, hogy bármely kettő összege irracionális!
 
Feladat: 19.19.
Igaz-e, hogy tetszőlegesen adott
a) hét

b) öt

c) négy
irracionális szám közül mindig kiválasztható három úgy, hogy bármely kettő összege irracionális?
 
Feladat: 19.20.
Készítsünk algoritmust, ami közönséges tört alakból tizedes tört alakba tud átváltani.
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 19.21.
Készítsünk algoritmust, ami közönséges tört alakból tizedes tört alakba tud átváltani és megtalálja a tizedestört alak periódusát is!
 
[  Megoldás  ]
Feladat: 19.22.
Készítsünk algoritmust, ami tizedes törtet tovább nem egyszerűsíthető közönséges tört alakba tud átváltani, ha
a) az adott tizedestört véges;
b) a tizedestört a periódusával és az az előtti résszel adott.