6. FEJEZET: Binomiális eloszlás
Feladat: 6.1. Legyen
A egy véletlen kísérlet
p valószínűségű eseménye. Ha a kísérletet végrehajtjuk
n-szer, mennyi az esélye, hogy az
A esemény pontosan
k-szor következik be?
Feladat: 6.2. Összefüggések a Pascal háromszögben
a) Igazoljuk, hogy
k(
n
k
)=n(
n-1
k-1
).
Adjuk meg zárt alakban az alábbi összegeket!
b) A Pascal háromszög
n-edik sorában az elemek összege:
pn
=
∑k=0
n(
n
k
). Pl
n=7-re:
c)
en
=
∑k=0
nk(
n
k
). Pl
n=7-re:
|
0·1+1·7+2·21+3·35+4·35+5·21+6·7+7·1=?
|
d)
dn
=
∑k=0
n
k2
(
n
k
). Pl
n=7-re:
|
0·1+1·7+4·21+9·35+16·35+25·21+36·7+49·1=?
|
Feladat: 6.3. [
12] Adjuk meg a következő összeget explicit alakban!
|
2·1·(
n
2
)+3·2·(
n
3
)+4·3·(
n
4
)+…
|
Feladat: 6.4. [
67] Egy repülőgéptársaság nyilvántartásában szereplő utolsó
16222 helyfoglalásból
2357-et lemondtak. Ezért a társaság kis rátartással több helyet enged lefoglalni, mint ahány elfoglalható hely van.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy
125 ülőhelyre
135 helyfoglalás mellett lesz valaki, akinek nem jut hely?
b)
125 hely esetén mekkora túlfoglalást tartunk ésszerűnek?
c) Hasonló adatok mellett egy másik repülőtársaság
21 fős várólistát fogad el. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a teljes várólista az utaslistára kerül?
Feladat: 6.5. [
12]
Oltóanyag vizsgálata
Ha egészséges szarvasmarhákat valamely betegségnek teszünk ki, akkor az állatok
25%-a betegszik meg. Egy újonnan felfedezett oltóanyag vizsgálata céljából
n egészséges állatnak védőoltást adnak, majd fertőzésnek teszik ki őket. Hogyan lehet értékelni a kísérlet eredményét? Az alábbi három eset közül melyik mutatja leginkább a vakcina hatékonyságát?
a)
10 beoltott állatból egy sem fertőződött meg;
b)
17 beoltott állatból egy fertőzödött meg;
c)
23 beoltott állatból kettő fertőzödött meg.
Feladat: 6.6. [
12]
Energiaellátási feladat
Tegyük fel, hogy
n=10 munkás időről időre valamilyen villamos készüléket használ. Meg akarjuk becsülni mennyi a teljes terhelés. Első közelítésként tegyük fel, hogy egymástól függetlenül dolgoznak és mindegyikük bármely időpillanatban egyforma
p valószínűséggel igényel egységnyi villamos teljesítményt. Ha egy munkás óránként átlagosan
12 percen át használ áramot, akkor
p=
1
5
. Ha a rendszer hat egységnyi energiát szolgáltat, akkor mekkora valószínűséggel lép fel túlterhelés?
Feladat: 6.7. [
67]
USA érettségi, 1984
Egy dobozban 11 golyó van, 1-től 11-ig megszámozva. Kihúzunk közülük visszatevés nélkül hatot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kihúzott számok összege páratlan?
Feladat: 6.8. Az
n=7,
p=1/3,
q=2/3 paraméterű binomiális eloszlás tagjai:
P(X=0)≈0.058527663465935 P(X=1)≈0.204846822130773
P(X=2)≈0.307270233196159 P(X=3)≈0.256058527663466
P(X=4)≈0.128029263831733 P(X=5)≈0.038408779149520
P(X=6)≈0.006401463191587 P(X=7)≈0.000457247370828
Tehát a legutóbbi szám annak valószínűségét adja meg, hogy hét kísérletből mind a hétszer a
p valószínűségű esemény következik be.
Adjuk meg az
n=8,
p=1/3,
q=2/3 paraméterű binomiális eloszlást (6 tizedesjegy pontossággal)!
Feladat: 6.9. Legyen
0≤p≤1 tetszőleges rögzített szám és
q=1-p. Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!
a)
Pn,p
=
∑k=0
n(
n
k
)
pk
qn-k
;
b)
En,p
=
∑k=0
nk(
n
k
)
pk
qn-k
.
c)
Dn,p
=
∑k=0
n
k2
(
n
k
)
pk
qn-k
.
Feladat: 6.10. Határozzuk meg az
(n,p,q) paraméterű binomiális eloszlás
a) mediánját;
b) móduszát;
c) várható értékét;
d) szórását!