10. FEJEZET: Feltételes valószínűség

Feladat: 10.1.
Tíz azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig 2 fehér és 2 kék. A tizedik dobozban 5 fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra választott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. a) Mennyi a valószínűsége, hogy fehér lesz? b) A kivett golyó fehér lett. Mennyi a valószínűsége, hogy a tizedik dobozból való?
 

Feladat: 10.2.
Van egy-egy szabályos ,,dobótetraéderünk", dobókockánk és ,,dobóoktaéderünk". Mindegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk az első néhány pozitív egészt, tehát a tetraéderre 1-től 4-ig, a kockára 1-től 6-ig, az oktaéderre 1-től 8-ig. Feldobunk két szabályos érmét. Ha mindkettő fej, akkor a kockával, ha pontosan egyikük fej, akkor a tetraéderrel, ha mindkettő írás, akkor az oktaéderrel dobunk. a) Mennyi az esélye, hogy 1-est dobunk? b) 1-est dobtunk. Mennyi az esélye, hogy pontosan egy fejet dobtunk?
 

Feladat: 10.3.
Tegyük fel, hogy a férfiak 5%-a és a nők 0,25%-a színvak. Egy 20 nőből és 5 férfiból álló csoportból 1 személyt találomra kiválasztunk. Megállapítjuk, hogy színvak. Mennyi a valószínűsége, hogy nőt választottunk ki?
 

Feladat: 10.4.
a) Azokban a kétgyermekes családokban, ahol az egyik gyermek fiú, minek nagyobb a valószínűsége, annak, hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik lány? Esetleg egyformán valószínű? (Feltételezzük, hogy fiú és lány születésének azonos a valószínűsége.) b) Azokban a kétgyermekes családokban, ahol a kisebb gyermek fiú, minek nagyobb a valószínűsége hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik lány? Esetleg egyformán gyakori?
 

Feladat: 10.5.
Vetélkedő végén a győztes három ajtó közül választhat, az egyik mögött ott a Porsche, a másik kettő mögött apró ajándék van. A győztes választ egy ajtót. Ezek után a nem választott ajtók közül kinyitják neki az egyiket (vagy az egyetlent), ami mögött nem a Porsche van, és választást ajánlanak neki. Marad az ajtónál, másikat választ, vagy elviszi a látható kis ajándékot. Mit csináljon a győztes, ha a Porschéra hajt?
 

Feladat: 10.6.
[67] (Török érettségi, 1997) Az A dobozban 3 fehér és 4 piros, a B dobozban 5 fehér és 2 piros golyó van. Véletlenszerűen (egyenlő valószínűséggel) kiválasztjuk az egyik dobozt, és abból visszatevés nélkül kihúzunk két golyót. Mi a valószínűsége, hogy az egyik fehér, a másik piros lesz?
 

Feladat: 10.7.
[199] A tébécé korai felismerésére alkalmazott röntgenszűrésnél a tapasztalatok szerint hibák is előfordulnak. A kezdeti állapotban a betegek körülbelül 10%-át nem veszi észre a teszt, míg körülbelül 20%-ban egyébként egészséges embernél is pozitív eredmény (azaz valami gyanús folt a tüdőn) adódik. Tudjuk, hogy hazánkban a tébécé előfordulása 0,3%. a) Egy pozitív teszteredmény után mi az esélye, hogy tényleg tébécés az illető? b) Ha negatív az eredmény, akkor mi az esélye, hogy tébécés? c) Mindezek fényében vajon mire való ez a teszt?
 

Feladat: 10.8.
[195] Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztevevő 18 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten 0,8, heten 0,7, négyen 0,6, ketten 0,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel ez a lövész és mennyi ez a valószínűség?
 

Feladat: 10.9.
[195] Két város közötti távíróösszeköttetés olyan, hogy a leadott távírójelek közül a pontok 2/5-e vonallá torzul, a vonalak 1/3-a pedig ponttá. A leadott jelek közül a pontok és a vonalak aránya 5:3. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy ha a vevőoldalon pontot kapnak, akkor az adó pontot továbbított!
 

Feladat: 10.10.
[193] Tételezzük fel, hogy egy gyermek születésekor ugyanakkora a valószínűsége annak, hogy az újszülött fiú vagy lány! Tudjuk, hogy egy háromgyermekes családban van leány. Mennyi annak a valószínűsége, hogy valamelyik testvére fiú?
 

Feladat: 10.11.
[195] Minőségellenőrzés során sorban egymás után több terméket vizsgálnak meg. Ha egy megvizsgált termék jó, akkor +1-et, ha selejtes, akkor -1-et írnak le, és ezeket a számokat mindig összeadják. (Feltesszük, hogy a megvizsgált termékek egymástól függetlenül lehetnek jók vagy selejtesek.) Mindaddig új terméket vizsgálnak meg, amíg a részletösszegek -3 és +5 között maradnak. Ha a részletösszeg eléri a +5-öt, akkor befejezik a vizsgálatot és átveszik a tételt, ha a -3-at, akkor visszautasítják a tételt. Mekkora az átvétel valószínűsége, ha a termékeknek 80%-a jó?