2. FEJEZET: Kísérletek
Feladat: 2.1.
Három kockát dobunk fel. Mindenki 20-szor dob, összesen tehát
20n-szer, ahol
n a csoport létszáma. Alább
n=15-tel számolunk, tehát összesen
300 dobással.
a) A kísérlet elvégzése előtt tippelni kell, hogy az alábbi események hányszor fognak bekövetkezni:
| esemény |
20n=300-ból hányszor |
1. | Mindhárom egyforma | |
2. | Mind különböző | |
3. | Két egyforma, a harmadik különböző | |
4. | Van köztük hatos | |
5. | Se ötös, se hatos nincs köztük | |
6. | A három szám összege legalább 11 | |
7. | A három közül a legkisebb(ek) egyes(ek) | |
8. | A három közül a legkisebb(ek) kettes(ek) | |
9. | A három közül a legkisebb(ek) hármas(ok) | |
10. | A három közül a legkisebb(ek) négyes(ek) | |
11. | A három közül a legkisebb(ek) ötös(ök) | |
12. | A három közül a legkisebb(ek) hatos(ok) | |
b) Hogyan döntsük el a végén, hogy ki tippelt a legjobban?
c) Kezdjük el a kockadobást, töltsük ki az alábbi adatlapot!
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
kockák: | | | | | | | | | | | |
1.
∀= | | | | | | | | | | | |
2.
∀
kül.
| | | | | | | | | | | |
3.
2+1 | | | | | | | | | | | |
4.
∃6 | | | | | | | | | | | |
5.
∃/∃5,6 | | | | | | | | | | | |
6.
∑≥11 | | | | | | | | | | | |
7.
min=1 | | | | | | | | | | | |
8.
min=2 | | | | | | | | | | | |
9.
min=3 | | | | | | | | | | | |
10.
min=4 | | | | | | | | | | | |
11.
min=5 | | | | | | | | | | | |
12.
min=6 | | | | | | | | | | | |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | összesen |
kockák: | | | | | | | | | | |
1.
∀= | | | | | | | | | | |
2.
∀
kül.
| | | | | | | | | | |
3.
2+1 | | | | | | | | | | |
4.
∃6 | | | | | | | | | | |
5.
∃/∃5,6 | | | | | | | | | | |
6.
∑≥11 | | | | | | | | | | |
7.
min=1 | | | | | | | | | | |
8.
min=2 | | | | | | | | | | |
9.
min=3 | | | | | | | | | | |
10.
min=4 | | | | | | | | | | |
11.
min=5 | | | | | | | | | | |
12.
min=6 | | | | | | | | | | |
A fölső üres sorba kell beírni a három kockán látható számot, a többi rubrikába
× írandó, ha az az esemény bekövetkezett, üresen hagyandó, ha nem következett be. A legutolsó oszlopba a megfelelő sorban található
×-ek számát kell írni. Az utolsó oszlopba írt számokat a táblán összesíthetjük hogy megkapjuk a teljes,
20n, azaz
300 elemből álló minta adatait.
d) Számoljuk ki az egyes események matematikai esélyét!
Feladat: 2.2.
Feldobunk öt pénzérmét és felírjuk a fejek számát. Végezze el minden diák a kísérletet
30-szor, összesen tehát
30n-szer, ahol
n a csoport létszáma!
Tippeljük meg előre
a) a kapott számok (
30n db szám) átlagát és
b) szórását, valamint
c) rendre azt is, hogy hányszor kaptunk a
30n-ből
0,
1,
2,
3,
4 ill.
5 fejet!
a
30n szám | a fejek számának eloszlása |
átlaga | szórása |
0 fej |
1 fej |
2 fej |
3 fej |
4 fej |
5 fej |
| | | | | | | |
d) Most végezzük is el a kísérletet!
sorszám: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
fejek száma: | | | | | | | | | | | | | | | |
e) Számítsuk ki adatsorunk átlagát és szórását!
f) Összesítsük saját eredményeinket!
Fejek száma: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Σ |
Gyakoriság: | | | | | | |
30
|
g) Készítsünk egy nagy táblázatot a táblára, amelybe mindenki beírja saját eredményeit! Összesítsük a csoport eredményét!
Diák | fejek száma | | a
30 szám |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Σ | átlaga | szórása |
1. (gyakoriságok): | | | | | | |
30 | | |
2. (gyakoriságok): | | | | | | |
30 | | |
3. (gyakoriságok): | | | | | | |
30 | | |
n. (gyakoriságok): | | | | | | |
30 | | |
Összesen: | | | | | | |
30n | | |
h) Határozzuk meg a
30n szám átlagát és szórását, valamint az egyes kimenetelek -
0 fej,
1 fej, ...
5 fej - relatív gyakoriságait!
i) Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott átlagok átlaga megegyezik a csoport által kapott
30n szám átlagával?
j) Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott szórások átlaga vagy összege megegyezik a csoport által kapott
30n szám szórásának átlagával vagy összegével?
k) Hogyan lehetett volna hatékonyan előzetesen megtippelni az egyes kimenetelek relatív gyakoriságait?
l) Hogyan lehetett volna hatékonyan előzetesen megtippelni a
30n szám átlagát és szórását?
Feladat: 2.3.
Egy pénzérmét addig dobunk fel, amíg fejet nem dobunk és felírjuk az ehhez szükséges dobások számát. A kísérletet minden diák
30-szor végzi el, összesen tehát
30n-szer, ahol
n a csoport létszáma. Alább egy
n=15 fős csoportlétszámmal dolgozunk, tehát összesen
450 kísérlettel.
a) A kísérlet elvégzése előtt tippelni kell, hogy az alábbi események hányszor fognak bekövetkezni a
30n=450 kísérlet közül (töltsük ki az alábbi táblázat harmadik - első üres - oszlopát!)
| esemény |
30n-ből hányszor |
30-ból én hányszor |
1. | 1-szer kellett dobni | | |
2. | 2-szer kellett dobni | | |
3. | 3-szor kellett dobni | | |
4. | 4-szer kellett dobni | | |
5. | 5-ször kellett dobni | | |
6. | 6-szor kellett dobni | | |
7. | 7-szer kellett dobni | | |
8. | 8-szor kellett dobni | | |
9. | 9-szer kellett dobni | | |
10. | legalább 10-szer | | |
b) Arra is tippeljünk, hogy átlagosan hányadikra jön ki az első fej!
c) Végezzük el a kísérletet (töltsük ki a fenti táblázat negyedik oszlopát!), majd a táblán készítsünk összesítést a
30n kísérletről!
d) Számoljuk ki az egyes események matematikai esélyét!
e) Számoljuk ki, hogy a valószínűségek alapját átlagosan hányadikra jön ki az első fej (az első fejig tartó dobássorozat hosszának várható értéke)!
Feladat: 2.4. [
67]
Egy kétlépéses kísérlet első lépéseként egy játékvezető három megadott kísérlet egyikét választja ki, mégpedig bármelyiket azonos valószínűséggel. A kiválasztott kísérletet ezután hússzor végrehajtja, és a kísérlet kimeneteit leírja. Ezekből az adatokból kell arra következtetni, hogy a három kísérlet közül melyiket hajtotta végre a játékvezető.
A három kísérlet a következő:
A változat: Feldob egy kockát, és
0-t ír le, ha a dobott szám
1 vagy
2;
1-et, ha
3 vagy
4; és
2-t, ha
5 vagy
6.
B változat: Feldob egy kockát, és
0-t ír le, ha a dobott szám
1,
2 vagy
3;
1-et, ha
4 vagy
5; és
2-t, ha a dobott szám
6.
C változat: Feldob két szabályos érmét, és a dobott fejek számát írja le.
A kísérlet egyik elvégzése során a következő sorozat adódott:
2,2,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,2,2,1,1,2,0,0.
|
Melyik változat eredményezte a sorozatot?
Feladat: 2.5. [
67]
Ez is egy ,,melyik az igazi" típusú feladat, mint a
2.4.
Most mindhárom változatban egy olyan dobozból húzunk golyót, amelyben 7 fehér és 3 piros golyó van.
A változat: Háromszor húzunk egy golyót úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kihúzott golyót.
B változat: Háromszor húzunk egy golyót úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza.
C változat: Mindaddig húzunk golyókat egymás után visszatevés nélkül, amíg az első fehér golyót ki nem húzzuk.
Mindhárom változatban a kísérlet kimenetele a kihúzott piros golyók száma.
A választott változat
20 egymás utáni végrehajtása után a következő minta adódott:
2,0,1,0,1,2,0,2,2,0,0,1,0,1,0,2,3,1,1,0.
|
Melyik változat eredményezte a sorozatot?