12. FEJEZET: Markov láncok

Feladat: 12.1.
A juhászfiúból lett mesebeli vitéznek három próbát kell kiállnia. Az egyes próbákon a többitől függetlenül 2/3 valószínűséggel jut túl. A falujából indul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az nem sikerül, akkor vissza kell fordulnia, és újra neki kell vágnia az előző, korábban már teljesített próbának. Ha bármikor befuccsol a legelső próbán, akkor vége a mesének, kulloghat haza. Mennyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mind a három próbát?
 

Feladat: 12.2.
Ferde foci Két játékos - A és B - a [0;6] intervallumon focizik, a 0 az A játékos kapuja, míg a 6 a B játékosé. A labda kezdetben a 2-n áll. Egy lépés abból áll, hogy feldobnak egy szabályos érmét, és ha ,,Fej" lesz, akkor eggyel jobbra (nagyobb számra), ha ,,Írás". akkor eggyel balra (kisebb számra) teszik a ,,labdát". A nyer, ha B kapujába - azaz 6-ra - ér a labda, míg B nyer, ha A kapujába, a 0-ba kerül a labda. a) Melyik játékosnak mennyi a nyerési esélye? b) Mennyi a döntetlen esélye, tehát mennyi a valószínűsége, hogy sose kerül egyik kapuba se a labda? c) Hogyan változik a válasz az a), b) kérdésekre, ha nem pénzérmével, hanem szabályos dobókockával dobnak, és 1 valamint 2 esetén balra, 3, 4, 5 és 6 esetén jobbra tolják a labdát?
 

Feladat: 12.3.
Eufrozina és Fülöpke a büfében kártyáznak: a játék a hagyományos Fekete Leves. A ravasz Fülöpkénél három lap maradt, egy kőr, egy káró és egy treff, Eufrozinának még négy lapja van, minden színből egy-egy. Fülöpke következik, húz egy lapot Eufrozinától és ha ezzel lesz két egyfoma színű (a francia kártyában négy ,,szín" van) lapja, azokat lerakhatja, ha nem, akkor a kezében lévő négy lappal játszik tovább. Most Eufrozina jön, aki Fülöpke lapjai közül húz egyet hasonló feltételekkel és így tovább. A játékot az nyeri, aki valamennyi lapját le tudja rakni. Hány százalék a valószínűsége, hogy Fülöpke nyer?
 

Feladat: 12.4.
Egy bolyongó pont kezdetben a 3×3×3-as kocka középső egységkockájában van. Minden lépésében a hat lehetséges oldallap közül véletlenszerűen választ egyet, s a lapon keresztül átmegy a szomszéd egységkockába vagy kijut a kocka felszínére. a) Mennyi az esélye, hogy kijut a kocka felszínére? b) Mennyi az esélye, hogy mielőtt kijutna a felszínre, előbb még visszajut a középső kiskockába?
 

Feladat: 12.5.
Egy bolha a drótból készült ABCDA'B'C'D' kocka élein mozog. Minden csúcsból egyenlő - azaz 1 3 - valószínűséggel megy át valamelyik szomszédos csúcsba. a) Mennyi az esélye, hogy nem jut el sem a B' sem a C' pontba? b) Mennyi az esélye, hogy előbb jut el B'-be, mint C'-be?