1. FEJEZET: Városok Viadala, 1980--1989

Feladat: 1.1.
Egy kör kerületén piros és kék pontok vannak. Kijelölhetünk egy új piros pontot, miközben két szomszédja színt vált. Ki is vehetünk egy meglévő piros pontot, szomszédai ekkor is átszíneződnek. Igazoljuk, hogy ha kezdetben két piros pont volt, akkor nem juthatunk a fenti lépésekkel olyan helyzetbe, hogy két kék legyen.
 

Feladat: 1.2.
Két testet felületszomszédosnak nevezünk, ha nincs közös belső pontjuk és van egy-egy lapjuk, melyek közös része egy sokszög. Lehetséges-e, hogy 8 tetraéder közül bármely kettő felületszomszédos?
 

Feladat: 1.3.
A végtelen síkon két játékos a következőt játssza. Van k+1 bábu: k darab bárány és egy farkas. Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel. Minden lépés iránya tetszőlegesen választható,de hossza legfeljebb egy méter lehet. A játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy k minden értékéhez létezik olyan kezdő elrendezés, melyből indulva a farkas sohasem kaphat el bárányt, ha X kezd.
 

Feladat: 1.4.
Igazoljuk, hogy minden pozitív valós szám felírható 9 olyan szám összegeként, melyeknek (tizes számrendszerbeli alakjában) csak kétfajta jegy lehet, 0 és 7.
 

Feladat: 1.5.

 

Feladat: 1.6.

 

Feladat: 1.7.
Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O, a háromszögön belül helyezkedik el. O-ból merőlegeseket bocsátunk az oldalakra, ezek meghosszabbítva a köréírt kört a K,M,P pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy
OK → + OM → + OP → = OI →
ahol I a háromszög beírt körének középpontja.
 

Feladat: 1.8.

 

Feladat: 1.9.

 

Feladat: 1.10.
Egy mindkét irányban végtelen hosszú folyosó egyik oldalán végtelen sok szoba helyezkedik el. A szobák egymást követő egész számokkal vannak megszámozva, és minden szobában van egy zongora. A szobákban véges sok zongorista él. (Egy szobában akár több is.) Minden nap két szomszédos szobában lakó zongorista (pl. a k-adik és a k+1-edik) megelégeli a másik gyakorlását, és a k-1-edik illetve k+2-edik szobába költöznek át. Igazoljuk, hogy véges számú nap elteltével abbahagyják a költözködèst.