2. FEJEZET: Városok Viadala, 1990--1999

Feladat: 2.1.
Egy nem működő mozgólépcsőn egy illető gyorsabban megy lefele, mint felfele. Mi a gyorsabb, egy felfele mozgó lépcsőn le- és felmennie, vagy egy lefele mozgó lépcsőn fel és lemennie? (Feltételezzük, hogy minden említett sebesség állandó, a mozgólépcső ugyanolyan gyorsan mozog lefele és felfele, továbbá emberünk mindkét irányba haladva gyorsabb, mint a mozgólépcső.) 3 pont
 

Feladat: 2.2.
Igazoljuk, hogy végtelen sok egész megoldása van a következő egyenletnek:

x2 + y2 - z2 =1997.

N. Vasziljev 3 pont
 

Feladat: 2.3.
Az ABCD négyzet BC oldalának pontja K. A KAD∠ szögfelezője a CD oldalt M-ben metszi. Igazoljuk, hogy AK=DM+BK. 4 pont
 

Feladat: 2.4.
Legkevesebb hány egyenest kell megadnunk, ha el szeretnénk érni, hogy egy sakktábla minden mezőjén legyen egy belső pont, melyen áthalad egy egyenes. Ábrával szemléltesd, hogy ennyi egyenes elég és bizonyítsd, hogy kevesebb viszont nem elég. A sakktábla mérete legyen: (a) 3×3; (b) 4×4. M. Vyalyi 2+4 pont
 

Feladat: 2.5.
Legkevesebb hány egyenest kell megadnunk, ha el szeretnénk érni, hogy egy sakktábla minden mezőjén legyen egy belső pont, melyen áthalad egy egyenes. Ábrával szemléltesd, hogy ennyi egyenes elég és bizonyítsd, hogy kevesebb viszont nem elég. A sakktábla mérete legyen: (a) 3×3 ; (b) 4×4 . M. Vyalyi 2+3 pont
 

Feladat: 2.6.
Adott egy háromszög a és b oldala. Mekkorának válasszuk a harmadik oldalt, hogy azon a beírt és hozzáírt körök érintési pontjai éppen harmadolópontok legyenek? 3 pont
 

Feladat: 2.7.
Igazoljuk, hogy végtelen sok egész megoldása van a következő egyenletnek:

xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=6.

N. Vasziljev 4 pont
 

Feladat: 2.8.
Legfeljebb hány huszár helyezhető el egy 5×5-ös sakktáblán úgy, hogy semely kettő nem üti egymást? Igazoljuk, hogy a maximum egyetlen elrendezéssel érhető el. A. Kanel 4 pont
 

Feladat: 2.9.
Mutassuk meg, hogy az alábbi sorozatnak tagja a 0 és állapítsuk meg, hányadik.

x1 =19,    x2 =97,    xn+2 = xn - 1 xn+1    (n=1,2,...).

A. Berzins 3 pont
 

Feladat: 2.10.
Az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja M. Szerkesszünk BC-vel párhuzamos olyan egyenest, amelynek az AB és AC oldalak közé eső szakasza M-ből derékszögben látszik. 3 pont
 

Feladat: 2.11.
Egy 1×n-es tábla minden mezőjén van egy korong. Első lépésben megfogunk egy korongot és valamely szomszédos mező korongjának tetejére helyezzük, így keletkezett egy korongtorony. A továbbiakban minden alkalommal egy korongtornyot helyezünk át, éppen annyi mezővel elmozdítva, ahány korongot tartalmazott a torony. Ha az áthelyezésnél nem üres mezőre tesszük a tornyot, akkor mindig a már ott lévő korong (vagy korongok közül a legfelső) tetejére rakjuk. Igazoljuk, hogy n-1 lépésben a korongok összegyűjthetők egyetlen korongtoronnyá. A. Sapovalov 5 pont
 

Feladat: 2.12.
Két kör metszi egymást az A és B pontokban. Egy közös érintőjük az elsőt C-ben, a másodikat D-ben érinti, CBD∠>CAD∠ . A CB egyenes a második kört még E-ben is metszi. Igazoljuk, hogy CAE∠ szögfelezője AD. P. Kozevnyikov 5 pont
 

Feladat: 2.13.
Egy kocka lapjait fehérre és feketére festettük. Van egy sakktáblánk, amelynek mezői éppen akkorák, mint a kocka egy lapja. A kockát a sakktábla egy mezőjére helyezzük, majd végiggörgetjük a táblán úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer kerüljön. Lehetséges-e, hogy minden alkalommal a kockán levő alsó mező színe megegyezzen a sakktábla éppen alatta levő mezőjének színével? A. Sapovalov 8 pont
 

Feladat: 2.14.
Egy szabályos háromszögre oldalaival párhuzamos egyeneseket rajzolunk, amelyek az oldalakat 10 egyenlő részre, a háromszöget pedig 100 egybevágó kis háromszögre osztják. Megrajzoljuk még a háromszög oldalegyeneseit is. Két szomszédos párhuzamos közötti részt sávnak nevezzük. Legfeljebb hány kis háromszög jelölhető ki úgy, hogy semely két kiválasztott se essen egy sávba? R. Zenodarov 9 pont
 

Feladat: 2.15.
Az ABC háromszög AB és AC oldalainak felezőpontjai rendre M és N. Az AB és AC oldalakon van P és Q úgy, hogy ACB∠ szögfelezője egyben MCP∠ szögfelezője, továbbá ABC∠ szögfelezője egyben NBQ∠ szögfelezője. Amennyiben AP=AQ, biztosan állíthatjuk-e, hogy ABC egyenlő szárú? V. Senderov 4 pont
 

Feladat: 2.16.
Az alábbi állítások közül melyik igaz? (a) Ha egy sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét egy töröttvonallal, akkor szétvágható egy egyenessel is. (b) Ha egy konvex sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét egy töröttvonallal, akkor szétvágható egy egyenessel is. (c) Ha egy konvex sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét egy töröttvonallal úgy, hogy a két rész forgatások és eltolások segítségével fedésbe hozható, akkor szétvágható egy egyenessel is. S. Markelov 1+2+4 pont
 

Feladat: 2.17.
Összeszorozzuk az összes különböző olyan számot, melyet az alábbi kifejezésből kaphatunk, az előjelek lehetséges kiválasztásaival: ±1±2±...±100. Bizonyítsuk be, hogy az eredmény (a) egész; (b) négyzetszám. A. Kanel 3 pont
 

Feladat: 2.18.
(a) Szabályos hatszög alakú, egybevágó szalvéták fekszenek egy asztalon. Átfedések is lehetnek. A szalvéták egyik oldala párhuzamos egy adott egyenessel. Szeretnénk beverni néhány szöget úgy, hogy minden szalvétát pontosan egyszer szögeljünk át. Sikerülni fog ez minden esetben? (b) Oldjuk meg a feladatot, ha a szalvéták szabályos ötszög alakúak. A Kanel 4 pont
 

Feladat: 2.19.
Iván egy titkos kódot fejlesztett ki, minden betűt egy legfeljebb 10 betűs szóval helyettesít. A kódolás akkor jó, ha minden kódolt szó egyféleképpen dekódolható, fejthető vissza. Szergej egy számítógép segítségével ellenőrizte, hogy minden legfeljebb 10 000 betűs szó egyféleképpen dekódolható. Következik-e ebből, hogy Iván kódja jó? (Iván és Szergej oroszok, a cirill abc-t használják, melyben 33 betű van. Tetszőleges betűsorozatot szónak tekintünk.) D. Pjontovszkij, S. Salumov 8 pont
 

Feladat: 2.20.
Egy szabályos háromszögre oldalaival párhuzamos egyeneseket rajzolunk, amelyek az oldalakat n egyenlő részre, a háromszöget pedig n2 egybevágó kis háromszögre osztják. Megrajzoljuk még a háromszög oldalegyeneseit is. Két szomszédos párhuzamos közötti részt nevezzük sávnak. Legfeljebb hány kis háromszög jelölhető ki úgy, hogy semely két kiválasztott se essen egy sávba, ha (a) n=10; (b) n=9? R. Zenodarov 7+7 pont
 

Feladat: 2.21.
Örzse, Erzsi és Rezső szavakat írtak a füzetükbe, Örzse írta a legtöbbet, Erzsi a legkevesebbet. A szavakért pontokat kaptak. Ha egy szót csak egy valaki írt, azért két pontot kapott. Ha egy szót ketten is leírtak, azért mindketten egy-egy pontot kaptak. A mindhármuk által leírt szavakért nem járt pont. Lehetséges-e, hogy Erzsinek lett a legtöbb pontja és Örzsének a legkevesebb? A. Sapovalov 3 pont
 

Feladat: 2.22.
Egy király bejárja a 8×8 -as sakktáblát, minden mezőre pontosan egyszer lép és végül a kiindulási mezőre jut vissza. Igazoljuk, hogy páros sok átlós lépést tesz útja során. V. Proizvolov 3 pont
 

Feladat: 2.23.
Egy O csúcsú szög egy-egy szárán találhatóak az AB és CD szakaszok, az A pont O és B között, a C pont O és D között van. Az AD és BC szakaszok felezőpontjain áthaladó egyenes AB-t M-ben, CD-t N-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy OM ON = AB CD . V. Senderov 3 pont
 

Feladat: 2.24.
Minden háromjegyű számnál tekintsük számjegyeinek szorzatát. Mennyi ezeknek a szorzatoknak az összege? G. Galperin 4 pont
 

Feladat: 2.25.
Pinokkió azzal henceg, hogy egy egyenlő szárú háromszöget felvágott három háromszögre úgy, hogy közülük bármely kettő összeilleszthető egy egyenlő szárú háromszöggé. Szerinted Pinokkió lódít? A. Sapovalov 5 pont
 

Feladat: 2.26.
Pinokkió azzal kérkedik, hogy néhány hasonló, nem derékszögű háromszöget összeillesztve egy téglalapot készített. (A háromszögek között lehetnek egybevágók is.) Vajon Pinokkió csak lódít? A. Fedorov 3 pont
 

Feladat: 2.27.
Minden négyjegyű számnál tekintsük számjegyeinek szorzatát. Mennyi ezeknek a szorzatoknak az összege? G. Galperin 3 pont
 

Feladat: 2.28.
Egy 8×8-as sakktábla minden mezőjét valamilyen színnel kifestettük úgy, hogy minden mezőnek legalább két oldalszomszédja vele azonos színű. Legfeljebb hány színt használhattunk fel? A. Sapovalov 3 pont
 

Feladat: 2.29.
Legyenek A, B, C és D olyan pozitív egészek, hogy az (a) egyenletrendszernek m, a (b) egyenletrendszernek n megoldása van. Határozzuk meg m és n értékét, ha m>n>1.

(a)       x2 + y2 =A,      |x|+|y|=B;

(b)       x2 + y2 + z2 =C,      |x|+|y|+|z|=D.

G. Galperin 4 pont
 

Feladat: 2.30.
Egy szög szárait érinti az O középpontú kör. Az egyik szögszárra tükrözzük O-t, így kapjuk az A pontot. A körhöz A-ból húzott érintők a szög másik szárát B és C pontokban metszik. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög köréírt körének középpontja az eredetileg adott szög szögfelezőjén van. I. Sharygin 5 pont
 

Feladat: 2.31.
Megadható-e 10 pozitív egész úgy, hogy egyikük sem osztható valamely másik számmal, de mindegyik számnak a négyzete osztható a többi számmal?
 

Feladat: 2.32.
Az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja O. Az AB oldalegyenes M pontjára MAD∠=AMO∠ . Bizonyítsuk be, hogy MD=MC. M. Smurov 3 pont
 

Feladat: 2.33.
Hat dobókockát kifúrtunk egy-egy szemköztes lapjuk középpontján át, majd egy rudat dugtunk a lyukakon át. Minden kocka szabadon forgatható a rúdon. Igazoljuk, hogy a kockákat beforgathatjuk úgy, hogy egy asztalra helyezve a legfelső lapok számai által alkotott hatjegyű szám osztható legyen héttel. (A kockák 1-től 6-ig számozottak, a szemköztes lapokon a számok összege 7.) G. Galperin 4 pont
 

Feladat: 2.34.
Az igazmondók és hazudósak falujába érkezett egy vándor. A falu lakói egy nagy körbe felálltak és mindenki megmondta, hogy a jobb oldali szomszédja igazmondó-e. Ezek után a vándor meg tudta állapítani, hogy a falu lakosságának hanyadrésze hazudós. A falu lakosságának hanyadrésze hazudós? B. Frenkin 4 pont
 

Feladat: 2.35.
Egy négyzetet 25 egybevágó kis négyzetre osztottunk. Néhány kis négyzetnek meghúzzuk valamely átlóját úgy, hogy semely két átlónak ne legyen közös pontja. (Még végpontja se!) Legfeljebb hány kis átlót húzhatunk be? I. Rubanov 7 pont
 

Feladat: 2.36.
10 ember ül egy kerek asztal körül, mindegyikük előtt néhány dió, összesen 100 dió. Egy jelre mindenki néhány diót a jobb oldali szomszédjának ad. Ha páros sok diója volt, akkor a diók felét, egyébként egy diót és a maradék felét adják mindig át. Ez ismétlődik többször. Bizonyítsuk be, hogy véges sok lépés után mindenkinek 10 diója lesz. A. Sapovalov 8 pont
 

Feladat: 2.37.
Legyenek a, b, c valós számok. Bizonyítsuk be a következő egyenlőtlenséget:

a3 a2 +ab+ b2 + b3 b2 +bc+ c2 + c3 c2 +ca+ a2 ≥ a+b+c 3 .

S. Tokarev 4 pont
 

Feladat: 2.38.
Egy egységoldalú négyzetet téglalapokra vágtunk. Minden téglalapnak tekintjük a rövidebb oldalát, ha téglalapunk egy kis négyzet volt, annak az oldalát. Bizonyítsuk be, hogy ezek összege legalább 1. 4 pont
 

Feladat: 2.39.
(a) A táblára felírták az 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 számokat. Bármely két szám letörölhető, ilyenkor viszont felírjuk a különbségük abszolút értékét. Ezt hétszer ismételve egyetlen szám marad a táblán. Lehet ez a 97? (b) A táblára felírták az 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 számokat. Bármely két szám letörölhető, ilyenkor viszont felírjuk a különbségük abszolút értékét. Ezt tízszer ismételve egyetlen szám marad a táblán. Mi lehet ez a szám? A. Sapovalov 2+3 pont
 

Feladat: 2.40.
Az ABCD konvex négyszög belső pontja M, AM=MB és CM=MD, továbbá AMB∠=CMD∠= 120∘ . Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan N pont, amelyre BNC és DNA szabályosak. I. Sharygin 5 pont
 

Feladat: 2.41.
Egy 8×8-as sakktábla "labirintust" képez, néhány szomszédos mező közé falakat helyezünk. Ha egy bástya be tudja járni az egész táblát falakon való áthaladás nélkül, akkor a labirintus jó, egyébként rossz. Jó, vagy rossz labirintusból van-e több? A. Sapovalov 6 pont
 

Feladat: 2.42.
(a) Két bűvész kártyatrükköt mutat be. A közönség egy önként jelentkező tagját megkérik, keverje meg az 52 lapos kártyapaklit. Ezek után egyikük találomra kihúz 5 lapot, megnézi őket. Ezek után egymás mellé helyezi a lapokat, egyiket (nem feltétlenül az elsőt) az asztal lapja felé fordítva, a többi négyet felfele. A második bűvész ezek után kitalálja, melyik lap van lefele fordítva. Bizonyítsuk be, hogy a bűvészeknek lehet biztos módszere ehhez a trükkhöz. (b) Biztosan bemutatható a mutatvány akkor is, ha az első négy kártyát látjuk, és az ötödik a kitalálandó? G. Galperin 6+6 pont
 

Feladat: 2.43.
Egy 20×20×20-as kockát 8000 egységkockából építettünk fel. Minden kis kockában van egy szám. Tudjuk, hogy bármely 20 kockában, amelyek a nagy kocka valamelyik élével párhuzamos oszlopot alkotnak, a számok összege 1. Az egyik kis kockában a 10 van. Három olyan 1×20×20-as téglatest alakú kockaszelet van, mely tartalmazza ezt a kis kockát és élei a nagy kocka éleivel párhuzamosak. Határozzuk meg azon kis kockákban levő számok összegét, amelyek nem tartoznak az említett három kockaszeletbe. A. Belov, 3 pont
 

Feladat: 2.44.
Egy négyzetszám egyes helyiértéken levő jegye a 9, tízes helyiértéken levő jegye a 0. Bizonyítsuk be, hogy a százas helyiértéken levő jegy páros. 3 pont
 

Feladat: 2.45.
Az ABC háromszög AB, BC és CA oldalain vannak rendre a C', A', B' pontok. Tudjuk, hogy AC'B'∠=B'A'C∠, CB'A'∠=A'C'B∠ és BA'C'∠=C'B'A∠. Igazoljuk, hogy C', A', B' éppen az oldalfelezőpontok. V. Proizvolov, 4 pont
 

Feladat: 2.46.
A televízió választási vitaműsorában 12 ember vesz részt. A vita egyik pontján valaki megjegyezte: Ëddig egy hamis állítás volt." Erre egy másik felszólalt: Ëddig két hamis állítás volt." Egy újabb illető közbeszólt: Ëddig három hamis állítás volt." És ez így ment tovább, a tizenkettedik ember azt mondta: Ëddig tizenkét hamis állítás volt." A vitavezető ekkor lezárta a beszélgetést. Mint később kiderült, a 12 ember közül legalább az egyik helyesen állapította meg az előtte elhangzó hamis állítások számát. Összesen hány hamis állítás hangzott el? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 2.47.
Adott két pozitív egész: m és n. Nevezzünk egy sakkfigurát (n,m)-krokodilnak, ez n mezőt lép vízszintesen, vagy függőlegesen, majd m mezőt erre merőleges irányban. Bizonyítsuk be, hogy egy végtelen sakktábla kiszínezhető fehérre és feketére úgy, hogy a figura minden lépése során az indulómezőtől különböző színű mezőre lép. A. Gerko, 5 pont
 

Feladat: 2.48.
Van 19 mérősúlyunk, sorban 1 grammostól a 19 grammosig. 9 acélból, kilenc bronzból és egy aranyból készült. Az acél súlyok összesen 90 grammal nehezebbek a bronzoknál. Milyen nehéz az arany mérősúly? V. Proizvolov, 3 pont
 

Feladat: 2.49.
A síkon adott n darab egységsugarú körlap, mindegyik határa áthalad egy P ponton, mely az összes körlap által letakart S síkidom belsejében van. Mekkora S kerülete? P. Kozevnyikov, 3 pont
 

Feladat: 2.50.
Egy 8×8-as sakktáblán 17 mezőt kijelöltek. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük kettő úgy, hogy egy huszár legalább három lépésben juthasson el egyikről a másikra. R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 2.51.
Mekkora a (0,1) intervallumból választott x1 , x2 ,..., x20 számok szorzatának legnagyobb lehetséges értéke, ha

x1 x2 ··· x20 =(1- x1 )(1- x2 )···(1- x20 ).

A. Csernatyev, 4 pont
 

Feladat: 2.52.
Legyen egy ország IQ-ja a lakosság IQ átlaga. Tegyük fel, hogy a következőkben az országok népessége nem változik és az egyének IQ-ja is állandó marad. (a.1) Néhány ember áttelepül az A országból a B országba. Bizonyítsuk be, hogy ez által emelkedhet mindkét ország IQ-ja. (a.2) Ezek után néhány ember a B országból áttelepül az A országba. Köztük lehetnek visszatelepülők is. Előfordulhat, hogy ismét emelkedik mindkét ország IQ-ja? (b) Néhány ember áttelepül A-ból B-be, valamint néhányan áttelepülnek B-ből C-be. Ez által mindhárom ország IQ-ja emelkedett. Később néhányan áttelepülnek C-ből B-be, illetve néhányan B-ből A-ba. Előfordulhat, hogy ismét emelkedik mindhárom ország IQ-ja? A. Kanel, B. Begun, 1+3+2 pont
 

Feladat: 2.53.
Egymás mellé írtunk n szomszédos pozitív egészt valamilyen sorrendben úgy, hogy bármely egymás mellett elhelyezkedő három szám közül a bal szélső osztja a másik kettő összegét. Határozzuk meg n lehetséges legnagyobb értékét, ha a sorozat utolsó száma páratlan. A. Sapovalov, 3 pont
 

Feladat: 2.54.
Legyen ABC hegyesszögű háromszög, A' és C' tetszőleges pontok rendre BC-n és AB-n, B' pedig AC felezőpontja. (a) Bizonyítsuk be, hogy az A'B'C' háromszög legfeljebb fele akkora területű, mint az ABC háromszög. (b) Bizonyítsuk be, hogy az A'B'C' háromszög területe akkor és csak akkor negyede az ABC háromszög területének, ha A' és C' legalább egyike oldalfelező pont. E. Cserepanov, 2+2 pont
 

Feladat: 2.55.
Az 1,2,3,...,100 számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy minkettőben ugyanannyi a számok összege. Bizonyítsuk be, hogy elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy továbbra is ugyanannyi legyen az összegük. A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 2.56.
(a) Egy 8×8-as sakktábla felső sorának minden mezőjén áll egy fekete figura, az alsó sor minden mezőjén pedig egy fehér figura. Egy lépésben egy figurát mozdíthatunk függőlegesen, vagy vizszintesen egy üres szomszédos mezőre. Legkevesebb hány lépéssel érhető el, hogy minden fekete figura az alsó sorban, minden fehér figura a felső sorban legyen? (b) Oldjuk meg a feladatot, ha a tábla 7×7-es. A. Sapovalov, 3+4 pont
 

Feladat: 2.57.
Kitartó Kázmér és Fáradhatatlan Frigyes egy sorozatot gyártanak. Elindulnak egy pozitív egészből. Ezután felváltva készítik a sorozat következő elemét minig az utolsóból képezve: Kázmér valamely számjegyét hozzáadja, Frigyes valamely jegyét kivonja. Bizonyítsuk be, hogy lesz olyan szám, amely legalább 100-szor előfordul a sorozatban. A. Sapovalov, 8 pont
 

Feladat: 2.58.
(a) Legyenek a és b pozitív egészek, amelyekre [a,a+5]=[b,b+5]. Igazoljuk, hogy a=b. (b) Legyenek a,b és c pozitív egészek. Lehetséges, hogy [a,b]=[a+c,b+c]? A. Sapovalov, 2+3 pont
 

Feladat: 2.59.
Adott két ugyanakkora kör. Húzunk a középpontjaikat összekötő egyenessel egy párhuzamos AB szakaszt úgy, hogy az A és B között messe a köröket. A-ből érintőket húzunk a hozzá közelebbi körhöz, ugyanígy B-ből érintőket húzunk a hozzá közelebbi körhöz. Kiderült, hogy a négy érintő alkotta négyszög tartalmazza mindkét kört. Igazoljuk, hogy az érintők alkotta négyszögbe kör írható. P. Kozevnyikov, 4 pont
 

Feladat: 2.60.
Egy 3×3-as táblázat mezőiben áll 9 szám:

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 .

Tudjuk, hogy minden sorban és oszlopban ugyanannyi a számok összege, azaz

a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 .

Igazoljuk, hogy

a1 b1 c1 + a2 b2 c2 + a3 b3 c3 = a1 a2 a3 + b1 b2 b3 + c1 c2 c3 .

V. Proizvolov, 5 pont
 

Feladat: 2.61.
A 12 tagú zsűri számára egy kerek asztalt készítettek elő 12 székkel, mindenkinek egy névtábla jelzi a helyét. Elsőként Szórakozott Professzor érkezik meg a zsűritagok közül és véletlenül saját helye helyett a tőle jobbra levő szomszédos székre ül. Mostantól egyesével érkeznek a zsűritagok, mindenki leül a saját helyére, vagy ha az foglalt, akkor a sajátjától jobbra levők közül az első szabad székre. A kialakuló ülésrend a zsűritagok érkezési sorrendjétől függ. Hány különböző elrendezés lehetséges? A. Sapovalov, 6 pont
 

Feladat: 2.62.
Egy téglatest egy csúcsból induló éleinek hosszát összeadjuk és ezt nevezzük a téglatest méretének. Lehetséges-e, hogy egy téglatest tartalmaz egy önmagánál nagyobb méretű téglatestet? A. Sen, 7 pont
 

Feladat: 2.63.
Tekintsük a következő függvényt:

f(x)= x2 +ax+b x2 +cx+d .

Tudjuk, hogy x2 +ax+b és x2 +cx+d nem lehet egyszerre 0. Bizonyítsuk be, hogy a következő két állítás ekvivalens: (i) Van olyan intervallum, melynek nincs közös eleme f(x) értékkészletével. (ii) f(x) kifejezhető az alábbi formában:

f(x)= f1 ( f2 (... fn-1 ( fn (x))...)),

ahol minden fj függvény kj x+ bj , vagy 1 x , vagy x2 alakú. A. Kanel, 8 pont
 

Feladat: 2.64.
Apa és fia korcsolyáztak egy kör alakú jégpályán. Időnként az apa leelőzte a fiát. A fiú megfordult és elkezdett a másik irányba körözni. Ekkor a találkozások ötször olyan gyakoriak lettek. Határozzuk meg a korcsolyázók sebességének arányát. Tairova, 3 pont
 

Feladat: 2.65.
ABC egy derékszögű háromszög. Az AB átfogóra kifele rajzoljuk az ABDE négyzetet. Az ACB∠ szögfelezője DE-t F-ben metszi. Határozzuk meg DF és EF arányát, ha AC=1 és BC=3. A. Blinkov, 4 pont
 

Feladat: 2.66.
Egy táblára felírták az a1 , a2 ,..., an pozitív egészeket. Egy másik táblára felírtuk a b0 , b1 ,..., bi számokat; legyen bj az első táblán levő j-nél nagyobb számok száma. A második táblára 0-t már nem írunk, amikor odaáig érkezünk, megállunk. Egy harmadik táblára írjuk a c0 , c1 , c2 ,... számokat, melyeket ugyanilyen módon kapunk a második tábla számaiból. Igazoljuk, hogy az első és a harmadik táblán ugyanazok a számok szerepelnek. H. Lebesgue, A. Kanel, 4 pont
 

Feladat: 2.67.
Egy négyzetet 100 téglalapra vágtunk, 9-9 vágás történt mindkét oldalával párhuzamosan. Tudjuk, hogy a 100 téglalap között pontosan 9 négyzet van. Bizonyítsuk be, hogy a 9 négyzet között van két egybevágó. V. Proizvolov, 5 pont
 

Feladat: 2.68.
Egy sorban áll egymás mellett 1999 szám. Az első és az utolsó kivételével minden szám a mellette levő két szám összege. Az első szám az 1. Mi az utolsó szám? V. Senderov, 3 pont
 

Feladat: 2.69.
Legyen ABC egy derékszögű háromszög. Az AB átfogóra kifele rajzoljuk az ABDE négyzetet. A háromszög C-ből induló szögfelezője DE-t F-ben metszi. Határozzuk meg DF EF értékét, ha AC=1 és BC=3. A. Blinkov, 3 pont
 

Feladat: 2.70.
Egy táblára felírták a a1 , a2 ,..., an pozitív egészeket. Egy másik táblára felírtuk a b0 , b1 ,..., bi számokat; legyen bj az első táblán levő j-nél nagyobb számok száma. A második táblára 0-t már nem írunk, amikor odaáig érkezünk, megállunk. Egy harmadik táblára írjuk a c0 , c1 , c2 ,... számokat, melyeket ugyanilyen módon kapunk a második tábla számaiból. Igazoljuk, hogy az első és a harmadik táblán ugyanazok a számok szerepelnek. H. Lebesgue, A. Kanel, 3 pont
 

Feladat: 2.71.
Egy fekete egységoldalú négyzet van a síkon. Hogyan helyezhető el 7 egységoldalú négyzet úgy, hogy ezek ne fedjék egymást és mindegyik letakarja a fekete négyzet valamely belső pontját? 5 pont
 

Feladat: 2.72.
Egy 9×9-es táblázat mezőit egyesével felváltva foglalja el két játékos, X és Y. X kezd. Az elfoglalt mezőkbe beírják saját betűjüket. Miután az egész táblázat betelt megszámolják azon sorokat és oszlopokat, amelyekben több X van, mint Y, legyen ezek száma A. Legyen X nyereménye B=A-(18-A). Határozzuk meg azt a B értéket, amelyre X elérheti, hogy nyereménye legalább B legyen, Y pedig elérheti, hogy ez legfljebb B legyen. A. Kanel, 5 pont
 

Feladat: 2.73.
Egy bankszámlán 500 forint van. Kétféle műveletet végezhetünk: kiveszünk a számláról 300 forintot, vagy beteszünk 198 forintot. Ezeket a műveleteket akárhányszor elvégezhetjük, de a számlán eredetileg levő pénzen kívül nem rendelkezünk mással. Legfeljebb mennyi pénzt tudunk felvenni a számláról és hogyan? AK. Tolpygo, 3 pont
 

Feladat: 2.74.
Az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja O. Igazoljuk, ha a BC egyenes érinti az ABO háromszög köré írt kört, akkor a CD egyenes érinti a BCO háromszög köré írt kört. A. Zaszlavszkij, 4 pont
 

Feladat: 2.75.
Két ember a következő játékot játsza. A kezdő felírja a 0-t, vagy az egyet, majd minden lépésében e két számjegy valamelyikét írja a már meglevő szám jobb végére, amíg a szám 1999 jegyű lesz. A kezdő minden lépése után -kivéve a legelsőt- a második játékos felcserél a leírt számok közül kettőt. Elérheti-e a második játékos, hogy az eredményben a jegyek szimmetrikusak legyenek a középsőre? I. Izmesztjev, 4 pont
 

Feladat: 2.76.
Egy körlapot n átmérője 2n egybevágó körcikkre oszt, ezek közül n piros, n pedig kék. A kékeket megszámoztuk valamely körcikktől kezdve az óra járásával ellenkező irányba indulva 1-től n-ig. Ugyanígy a pirosakat is megszámoztuk, de az óra járásával megegyező irányban. Igazoljuk, hogy van olyan félkör, amelynek cikkjein levő számok éppen 1, 2, ..., n. V. Proizvolov, 6 pont
 

Feladat: 2.77.
Az ABC háromszög beírt köre az AB és AC oldalakat rendre a P, Q pontokban érinti. Az AC és BC oldalak felezőpontjai rendre R és S. A PQ és RS egyenesek metszéspontja T. Bizonyítsuk be, hogy BT felezi az ABC∠ szöget. M. Evdokimov, 6 pont
 

Feladat: 2.78.
Egy bástya mozog a sakktáblán, egyszerre egyet léphet függőlegesen, vagy vízszintesen. 64 lépés után minden mezőn áthaladt és éppen visszaérkezett a kiindulási mezőre. Bizonyítsuk be, hogy útja során nem léphetett ugyanannyit vízszintesen, mint függőlegesen. A. Sapovalov, R. Sadikov, 9 pont
 

Feladat: 2.79.
Egy konvex poliéder úszik a tengerben. Előfordulhat-e, hogy térfogatának 90%-a a víz alatt van, de felszínének több, mint fele a víz felett? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 2.80.
Az ABCD húrnégyszög köré írt kör középpontja O. Legyen az ABO és CDO háromszögek köré írt köreinek második metszéspontja F. Bizonyítsuk be, hogy az AFD köré írt kör átmegy AC és BD metszéspontján. A. Zaszlavszkij, 4 pont
 

Feladat: 2.81.
Határozzuk meg mindazon egész (x,y) számpárokat, amelyekre x2 + y2 osztója x3 +y-nak is és x+ y3 -nek is. A. Zlobin, 5 pont
 

Feladat: 2.82.
Egy körlapot n átmérője 2n egybevágó körcikkre oszt, ezek közül n piros, n pedig kék. A kékeket megszámoztuk valamely körcikktől kezdve az óra járásával ellenkező irányba indulva 1-től n-ig. Ugyanígy a pirosakat is megszámoztuk, de az óra járásával megegyező irányban. Igazoljuk, hogy van olyan félkör, amelynek cikkjein levő számok éppen 1, 2, ..., n. V. Proizvolov, 5 pont
 

Feladat: 2.83.
Minden nemnegatív egész i esetén legyen M(i)=0, ha az i szám kettes számrendszerbeli alakjában páros sok 1-es van, különben legyen M(i)=1. (Az M(i) sorozat első néhány értéke 0,1,1,0,1,0,0,1,...) (a) Tekintsünk egy véges sorozatot:

M(0),M(1),M(2),.....,M(1000).

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat legalább 320 eleme azonos a jobb oldali szomszédjával, azaz M(i)=M(i+1). (b) Tekintsünk egy véges sorozatot:

M(0),M(1),M(2),.....,M(1000000).

Bizonyítsuk be, hogy ebben a sorozatban legalább 450000 M(i) esetén lesz M(i)=M(i+7). A. Kanel, 2+5 pont
 

Feladat: 2.84.
Egy bástya mozog a sakktáblán, egyszerre egyet léphet függőlegesen, vagy vízszintesen. 64 lépés után minden mezőn áthaladt és éppen visszaérkezett a kiindulási mezőre. Bizonyítsuk be, hogy útja során nem léphetett ugyanannyit vízszintesen, mint függőlegesen. A. Sapovalov, R. Sadikov, 8 pont
 

Feladat: 2.85.
Egy derékszögű háromszög alakú papírlapot összehajtottunk egy egyenes mentén úgy, hogy a derékszögű csúcs éppen egy másik csúcs fölé került. Így egy négyszöget kaptunk. (a) A kapott négyszög átlói milyen arányban osztják egymást? (b) Az összehajtott papírunkat elvágjuk a négyszög hosszabb átlójának mentén. Határozzuk meg a keletkezett papírdarabok közül a legkisebbnek a területét, ha az eredeti háromszög területe 1. A. Sapovalov, 2+2 pont
 

Feladat: 2.86.
Legyen d= a1999 + b1999 + c1999 , ahol a, b és c egészek, a+b+c=0. (a) Lehet-e d=2? (b) Lehet-e d prím? V. Senderov, 2+2 pont
 

Feladat: 2.87.
Adott a síkon n egyenes, mindegyiket 1999 egyenes metszi. Határozzuk meg n lehetséges értékeit. R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 2.88.
Egy hagyományos órán 24 óra alatt a percmutató 24-szer fordul körbe, az óramutató pedig kétszer. Egy itáliai órásmester óráján a percmutató ugyanúgy 24-szer fordul körbe, de az óramutató csak egyszer 24 óra alatt. A percmutató hosszabb, mint az óramutató és a 0 óra az óralap legfelső pontjánál kezdődik. Hány olyan állapota van a mutatóknak az itáliai órásmester óráján, amit egy hagyományos óra is mutathat? 4 pont
 

Feladat: 2.89.
Egy 6×6-os sakktáblát 1×2-es dominókkal fedünk. Minden egyes dominón behúzunk egy átlót. Előfordulhat-e, hogy az átlók közt nincs kettő, melyek végpontja közös? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 2.90.
Egy háromszög beírt körének középpontját összekötöttük a csúcsokkal, így három kisebb háromszög keletkezett. Ezek egyike hasonló az eredeti háromszöghöz. Mekkorák a szögei? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 2.91.
Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok páratlan pozitív egész n szám létezik, amelyre 2n +n összetett szám. V. Senderov, 4 pont
 

Feladat: 2.92.
Adott a térben n sík, mindegyik 1999 másik síkot metsz. Határozzuk meg n lehetséges értékeit. R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 2.93.
Az 1,2,...,100 számokat 50 párba rendezzük, a párokat megszámozzuk 1-től 50-ig. Lehetséges-e, hogy minden k esetén, 1≤k≤50, a k-adik párt alkotó két szám különbsége osztható k-val? V. Proizvolov, 4 pont
 

Feladat: 2.94.
Egy 8×8-as sakktáblát 1×2-es dominókkal fedünk. Minden egyes dominón behúzunk egy átlót. Előfordulhat-e, hogy az átlók közt nincs kettő, melyek végpontja közös? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 2.95.
Egy téglalap alakú lap belsejéből téglalap alakú lyukakat vágtunk ki, ezek oldalai az eredeti oldalaival párhuzamosak. Adjuk meg azt a legkisebb számot, ahány téglalapra minden esetben szétvágható a lyukas papírunk. A. Sapovalov, 9 pont
 

Feladat: 2.96.
Az 1,2,..., n számokat szeretnénk egy kör mentén elhelyezni valamilyen sorrendben úgy, hogy bármely két egymás mellé kerülő szám összege osztható legyen az óra járásával megegyező irányban következő számmal. Milyen n esetén lehetséges ez? A. Sapovalov, 3 pont
 

Feladat: 2.97.
Egy téglalap alakú papíron van (a) néhány kijelölt pont egy egyenes mentén. (b) három kijelölt pont, nem feltétlenül egy egyenesen. A papírt többször összehajthatjuk egy-egy olyan egyenes mentén, amin nincs kijelölt pont. Ezek után egy tűvel átszúrjuk az összehajtogatott papírt. Bizonyítsuk be, hogy elérhető a következő: a papír széthajtogatása után azt látjuk, minden kijelölt pontot átszúrtunk, és máshol viszont nem keletkezett lyuk. A. Sapovalov, 2+3 pont
 

Feladat: 2.98.
Kitartó Kázmér és Fáradhatatlan Frigyes egy sorozatot gyártanak. Elindulnak egy pozitív egészből. Ezután felváltva készítik a sorozat következő elemét minig az utolsóból képezve: Kázmér valamely számjegyét hozzáadja, Frigyes valamely jegyét kivonja. Bizonyítsuk be, hogy lesz olyan szám, amely legalább 100-szor előfordul a sorozatban. A. Sapovalov, 6 pont
 

Feladat: 2.99.
Az ABC háromszög AC és CB oldalain a hozzáírt körök érintési pontjai legyenek rendre K és L. Bizonyítsuk be hogy az AB és KL szakaszok felezőpontjain áthaladó egyenesre teljesül: (a) felezi az ABC háromszög kerületét. (b) párhuzamos az ACB∠ szögfelezőjével. L. Emelianov, 3 pont
 

Feladat: 2.100.
(a) Az 1,2,3,...,100 számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy minkettőben ugyanannyi a számok összege. Bizonyítsuk be, hogy elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy továbbra is ugyanannyi legyen az összegük. (b) Az 1,2,3,..., n számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy minkettőben ugyanannyi a számok összege. Igaz-e, hogy n>4 esetén elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy továbbra is ugyanannyi legyen az összegük? A. Sapovalov, 4+4 pont
 

Feladat: 2.101.
Egy nagy sakktáblán 2n mezőt kijelöltünk úgy, hogy egy bástya be tudja járni az összes kijelölt mezőt anélkül, hogy a többi mező fölött elhaladna. Bizonyítsuk be, hogy a kijelölt mezők által alkotott alakzat felvágható n téglalapra. A. Sapovalov, 8 pont
 

Feladat: 2.102.
Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex 10n oldalú poliédernek legalább n oldalán ugyanannyi csúcs van. A. Kanel, 8 pont