3. FEJEZET: Városok Viadala, 2000--2009

Feladat: 3.1.
Lehet-e két szomszédos pozitív egész szorzata egyenlő két szomszédos páros pozitív szám szorzatával? V. Poizvolov, 3 pont
 

Feladat: 3.2.
Az ABCD négyszög területe 1, BC és AD párhuzamosak, arányuk 1:2. Legyen az AC átló felezőpontja K, a DK és AB egyenesek metszéspontja L. Határozzuk meg a BCKL négyszög területét. MG. Sonkin, 4 pont
 

Feladat: 3.3.
Egy n-szög alapú hasáb csúcsait három színnel színezzük úgy, hogy minden csúcs esetén az onnan kiinduló három él végpontjai három különböző színűek legyenek. (a) Igazoljuk, hogy ha n 3-mal osztható, akkor létezik ilyen színezés. (b) Bizonyítsuk be, hogy ha létezik megfelelő színezés, akkor n osztható 3-mal. A. Sapovalov, 2+3 pont
 

Feladat: 3.4.
Egy kocka csúcsaihoz írhatunk-e olyan pozitív egészeket, hogy minden él két végén levő szám közül egyik osztója legyen a másiknak, de más számpár esetén ez a tulajdonság ne teljesüljön? A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.5.
Az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja p. A PAB és PCD háromszögek területének összege egyenlő a PAD és PCD háromszögek területének összegével. Bizonyítsuk be, hogy P az AC, vagy BD átló felezőpontja. 3 pont
 

Feladat: 3.6.
Vegyünk egy kockát és két szemköztes oldalát jelöljük meg egy-egy pöttyel, másik két szemköztes oldalát jelöljük meg két-két pöttyel, a maradék két szemköztes oldalt jelöljük meg három-három pöttyel. Nyolc ilyen kockából építünk egy 2×2-es kockát. Az így kapott nagy kocka oldalain levő pöttyök száma lehet-e hat szomszédos szám? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 3.7.
Legyenek n és k pozitív egészek. Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget:

1k + 2k +..+ nk ≤ n2k -(n-1 )k nk -(n-1 )k .

L. Emeljanov, 4 pont
 

Feladat: 3.8.
(a) Létezik-e valós számoknak olyan végtelen sorozata, amelyben bármely 10 szomszédos elem összege pozitív, de minden n esetén az első 10n+1 szomszédos elem összege negatív? (b) Létezik-e ugyanilyen sorozat, amelynek tagjai egészek? AK. Tolpygo, 3+3 pont
 

Feladat: 3.9.
Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós megoldásait:

(x+1 )21 +(x+1 )20 (x-1)+(x+1 )19 (x-1 )2 +....+(x-1 )21 =0.

RM. Kuznec, 3 pont
 

Feladat: 3.10.
Egy négyszög két párhuzamos oldalának hossza egy-egy egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög egybevágó háromszögekre darabolható. A. Sapovalov, 3 pont
 

Feladat: 3.11.
Adott egy kör és a belsejében egy rögzített A pont. Határozzuk meg azon C pontok mértani helyét, amelyekre létezik ABCD téglalap úgy, hogy B és D a körön vannak. M. Panov, 6 pont
 

Feladat: 3.12.
Adok és Veszek elosztanak egymás között 100 pénzérmét. Minden lépésben Adok kiválaszt néhány érmét, majd Veszek eldönti, hogy ezeket melyikőjük kapja. Ezt a lépést ismételgetik mindaddig, amíg elfogy mind a 100, vagy valamelyikőjük már 9-szer kapott. Ez utóbbi esetben a megmaradt érmék mind a másikhoz kerülnek. Legfeljebb hány pénzérmét tud Adok megszerezni? A. Sapovalov, 7 pont
 

Feladat: 3.13.
Legfeljebb hágy huszár helyezhető el egy 5×5-ös sakktáblán úgy, hogy mindegyik pontosan kettőt támadjon? M. Gorelov, 7 pont
 

Feladat: 3.14.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző pontosan egyszer játszik egymás ellen. A győzelemért 1, a döntetlenért 0,5, a vereségért 0 pont jár. A bajnokság végén visszatekintve minden mérkőzés "meglepetés", amelynek nyertese összesen kevesebb pontot szerzett, mint ellenfele. Bizonyítsuk be, hogy a "meglepetés" partik száma biztosan kevesebb, mint a bajnokság összes mérkőzései számának háromnegyede. S. Tokarev, 10 pont
 

Feladat: 3.15.
Legyenek m és n relatív prím pozitív egészek. Legfeljebb mekkora lehet m+2000n és n+2000m legnagyobb közös osztója? S. Zlobin, 3 pont
 

Feladat: 3.16.
Az O középpontú kör AC és BD húrjainak metszéspontja K. Az AKB és CKD háromszögek köré írt körök középpontjai rendre M és N. Bizonyítsuk be, hogy OM=KN. A. Zaszlavszkij, 5 pont
 

Feladat: 3.17.
Peter egyszemélyes játékot játszik egy pakli kártyával. Némelyik lap felfele, a többi lefele néz. Péter akkor veszít, ha minden lap lefele néz. Amíg van a pakliban felfele néző lap addig a következőt teszi: kivesz a pakliból néhány egymás után következő lapot, amelyek közül az első és az utolsó felfele néz (ez a két lap lehet azonos is), majd a pakliba ezt az egész részt megfordítva visszateszi az eredeti helyére. Bizonyítsuk be, hogy Péter mindig veszt. A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.18.
Egy konvex poliéder minden csúcsának koordinátái egész számok, egyik éle sem párhuzamos valamely koordinátatengellyel. Tekintjük az x=m egyenletű egyeneseket, ahol m egész. Az ilyen egyeneseknek a poliéderrel vett metszeteit összeadjuk. Ugyanígy az y=n egyeneseknél, ahol n egész. Bizonyítsuk be, hogy ez a két összeg egyenlő. G. Galperin, 5 pont
 

Feladat: 3.19.
Mi a legnagyobb N szám, amelyre létezik N szomszédos pozitív egész úgy, hogy a k-adik egész jegyeinek összege osztható k-val minden 1≤k≤N esetén? S. Tokarev, 7 pont
 

Feladat: 3.20.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző pontosan egyszer játszik egymás ellen. A győzelemért 1, a döntetlenért 0,5, a vereségért 0 pont jár. A bajnokság végén visszatekintve minden mérkőzés "meglepetés", amelynek nyertese összesen kevesebb pontot szerzett, mint ellenfele. (a) Bizonyítsuk be, hogy a "meglepetés" partik száma biztosan kevesebb, mint a bajnokság összes mérkőzései számának háromnegyede. (b) Bizonyítsuk be, hogy háromnegyednél nem írhattunk volna kisebb számot. S. Tokarev, 6+6 pont
 

Feladat: 3.21.
Egy 4×4-es táblázat minden mezőjében van egy szám. Tetszőleges mező oldalszomszédos mezőin levő számok összege 1. Határozzuk meg a táblázatban levő 16 szám összegét. R. Zenodarov, 3 pont
 

Feladat: 3.22.
Az ABCD paralelogramma CD oldalának felezőpontja M, B merőleges vetülete az AM egyenesen H. Bizonyítsuk be, hogy BCH egyenlőszárú háromszög. M. Volcskevics, 3 pont
 

Feladat: 3.23.
a) 100 különböző számot írtak fel egy táblára. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük 8 szám úgy, hogy átlaguk a táblán található számok közül választott bármely 9 szám átlagától különbözik. b) 100 számot írtak fel egy táblára. Bármely 8 számhoz találunk a táblán 9 számot úgy, hogy a 8 szám átlaga és a 9 szám átlaga egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a táblán levő összes szám egyenlő. A. Sapovalov, 2+4 pont
 

Feladat: 3.24.
32 látszólag egyforma érme közül 30 valódi, 2 hamis. A valódi érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással megegyező, de a valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék két egyenlő súlyú csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4 méréssel? A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.25.
Az ABC háromszög köréírt körének AM és AN húrjai BC-t rendre K és L pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy ha KLMN húrnégyszög, akkor ABC egyenlőszárú háromszög. V. Zhgun, 3 pont
 

Feladat: 3.26.
Az a,b,c,d pozitív egészekre ad-bc>1. Bizonyítsuk be, hogy az a,b,c,d számok közül legalább egy nem osztható (ad-bc)-vel. A. Spivak, 3 pont
 

Feladat: 3.27.
Egy ötszög alapú, nem feltétlenül egyenes hasáb minden oldallapja bezár valamely szomszédos lapjával f nagyságú szöget. Mekkora lehet f? A Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 3.28.
2N látszólag egyforma érme közül 2N-2 valódi, 2 hamis. A valódi érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással megegyező, de a valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék két egyenlő súlyú csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4 méréssel, ha (a) N=16; (b) N=11? A. Sapovalov, 3+2 pont
 

Feladat: 3.29.
Egy n×n-es táblázat mezőibe különböző számokat írtunk. Minden sorban aláhúztuk a legkisebb számot és ezek mind különböző oszlopokba kerültek. Bekarikáztuk minden oszlopban a legkisebb számot és a bekarikázott számok mind különböző sorokba kerültek. Bizonyítsuk be, hogy az aláhúzott számok éppen a bekarikázottak. V. Klepcyn, 3 pont
 

Feladat: 3.30.
Az ABC háromszögben AB=AC. Az A csúcson keresztül párhuzamost húztunk BC-vel. Az ABC háromszögön kívül rajzoltunk egy kört, amely érinti ezt az egyenest, BC és AB egyeneseket, továbbá az ABC háromszög beírt körét. Ennek a körnek a sugara 1. Határozzuk meg az ABC háromszög beírt körének sugarát. RK. Gordin, 3 pont
 

Feladat: 3.31.
Az a,b,c,d pozitív egészek legkisebb közös többese a+b+c+d. Bizonyítsuk be, hogy a 3 és 5 közül legalább az egyik osztja abcd-t. V. Senderov, 4 pont
 

Feladat: 3.32.
Hányféleképpen jelölhető ki egy 8×8-as sakktáblán 31 mező úgy, hogy nincs két oldalszomszédos kijelölt mező? R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 3.33.
Egy kétkarú mérleg bal serpenyőjébe helyeztünk 1111 grammot. Ezek után egyesével teszünk mérősúlyokat a serpenyők valamelyikébe; először egy 1 grammost, majd mindig az előzőnek a kétszeresét. Néhány súly elhelyezése után egyensúlyba kerül a mérleg. A bal, vagy a jobb serpenyőbe került a 16 grammos súly? AV. Kalinin, 6 pont
 

Feladat: 3.34.
A Városok Viadala idei tavaszi második fordulójában a senior kategóriában 6 feladatot tűztek ki. Valamelyik országban minden feladatot éppen 1000 diák oldotta meg, de közülük senki sem oldotta meg mind a 6 feladatot. Legaláb hány induló volt ebben az országban a Városok Viadala idei tavaszi második fordulójában a senior kategóriában? R. Zenodarov, 7 pont
 

Feladat: 3.35.
Egy diáknak van 100 kártyája, rajtuk a számok 1-től 100-ig, továbbá nagyon sok kártyája + illetve = jelekkel. A számkártyák legfeljebb egyszeri használatával legfeljebb hány igaz egyenlőség rakható ki a kártyákkal? R. Zenodarov, 8 pont
 

Feladat: 3.36.
Az a,b,c,d pozitív egészek legkisebb közös többese a+b+c+d. Bizonyítsuk be, hogy a 3 és 5 közül legalább az egyik osztja abcd-t. V. Senderov, 3 pont
 

Feladat: 3.37.
Határozzuk meg a legnagyobb n számot, amelyre létezik olyan szabályos n-szög, melynek minden csúcsa egy kocka felületén helyezkedik el, de nem mind egy lapon. A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 3.38.
Az ABC háromszögben AB=c, BC=a, CA=b, a<b<c. Kijelöljük a B' és A' pontokat rendre a B és A kezdőpontú BC és AC félegyeneseken úgy, hogy BB'=AA'=c. Kijelöljük a C" és B" pontokat rendre a C és B kezdőpontú CA és BA félegyeneseken úgy, hogy CC"=BB"=a. Mekkora az A'B' és C"B" szakaszok aránya? R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 3.39.
Legyenek a1 , a2 ,..., an nem 0 egészek, amelyekre

a1 + 1 a2 + 1 a3 +⋱ 1 an + 1 x =x

teljesül mindazon x értékekre, amelyekre a bal oldal értelmezhető. (a) Bizonyítsuk be, hogy n páros. (b) Mi a legkisebb n, amelyhez léteznek ilyen a1 , a2 ,..., an számok? M. Skopenkov, 3+4 pont
 

Feladat: 3.40.
Egy m×n-es táblázat minden mezője fehér vagy fekete. Minden mezőre a sorában és oszlopában álló vele azonos színű mezők száma kisebb, mint a tőle különböző színű mezők száma. Bizonyítsuk be, hogy minden sorban és oszlopban a fehér és fekete mezők száma egyenlő. A. Sapovalov, 6 pont
 

Feladat: 3.41.
(a) Néhány 1 cm oldalú fekete négyzetet gombostűztünk rá egy fehér síkra egy tűvel, amelynek vastagsága 0,1 cm. A négyzetek együtt egyetlen fekete sokszöget alkotnak. Lehet-e ennek a sokszögnek a kerülete 1 km? (A tű nem érintheti egyetlen négyzetnek sem a kerületét.) (b) Oldjuk meg az előző feladatot, ha a tű vastagsága 0. (Egyetlen pontnak képzeljük.) (c) Néhány 1 cm oldalú fekete négyzetet helyeztünk egy fehér síkra. A négyzetek együtt fekete sokszöget alkotnak, de ebben lehet lyuk, vagy állhat több részből is. A fekete rész kerületének és területének aránya lehet-e több, mint 100000? magyar feladat, 5 pont
 

Feladat: 3.42.
Egy 4×4-es táblázat minden mezőjében van egy szám. Tetszőleges mező oldalszomszédos mezőin levő számok összege 1. Határozzuk meg a táblázatban levő 16 szám összegét. R. Zenodarov, 3 pont
 

Feladat: 3.43.
Az ABCD paralelogramma CD oldalának felezőpontja M, B merőleges vetülete az AM egyenesen H. Bizonyítsuk be, hogy BCH egyenlőszárú háromszög. M. Volcskevics, 3 pont
 

Feladat: 3.44.
a) 100 különböző számot írtak fel egy táblára. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük 8 szám úgy, hogy átlaguk a táblán található számok közül választott bármely 9 szám átlagától különbözik. b) 100 számot írtak fel egy táblára. Bármely 8 számhoz találunk a táblán 9 számot úgy, hogy a 8 szám átlaga és a 9 szám átlaga egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a táblán levő összes szám egyenlő. A. Sapovalov, 2+4 pont
 

Feladat: 3.45.
32 látszólag egyforma érme közül 30 valódi, 2 hamis. A valódi érmék súlya azonos. A hamis érmék súlya egymással megegyező, de a valóditól különböző. Hogyan oszthatóak az érmék két egyenlő súlyú csoportba egy kétkarú mérleggel legfeljebb 4 méréssel? A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.46.
A pozitív egész n szám helyettesíthető a×b-vel, ahol a,b pozitív egészek, a+b=n. Megkaphatjuk-e néhány ilyen helyettesítést követően a 22-ből indulva a 2001-et? V. Klepcyn, 3 pont
 

Feladat: 3.47.
Az ABC háromszög AB,BC és CA oldalainak felezőpontjai rendre F,E és D. Ha a DE,EF és FD szakaszok valamelyike hosszabb, mint AD,BE és CF valamelyike, akkor bizonyítsuk be, hogy ABC tompaszögű háromszög. A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 3.48.
Egy boltban 20 kg sajt volt eladásra és a vevők sorban álltak sajtért. Az első tíz vevő mindegyikének vásárlása után a következőt kiáltotta az eladó: "Ha minden további ember az eddig vásárolt sajtok átlagát kéri, akkor még éppen 10 embert tudok kiszolgálni." Lehet, hogy minden alkalommal igazat mondott? Ha igen, akkor mennyi sajt maradt, miután az első tíz vevő már vásárolt? IG. Rybnikov, 4 pont
 

Feladat: 3.49.
Az asztalon van 5 egybevágó háromszög alakú papírlap. Mindegyiket eltolhatjuk önmagával párhuzamosan tetszőleges irányba, de nem forgathatjuk. (a) Igaz-e, hogy bármelyik letakarható a többi négy segítségével? (b) Bizonyítsuk be, hogy bármelyik lefedhető a többi négy segítségével, ha a háromszögek szabályosak. A. Sapovalov, 3 pont
 

Feladat: 3.50.
Egy 15×15-ös táblára 15 figurát helyeztünk úgy, hogy nincs kettő egy sorban vagy egy oszlopban. Minden figurát elmozdítunk: két mezőt vízszintesen és egy mezőt függőlegesen, vagy két mezőt függőlegesen és egy mezőt vízszintesen. Bizonyítsuk be, hogy ez után biztosan lesz olyan sor, vagy oszlop, amelyben két figura lesz. S. Berlov, 5 pont
 

Feladat: 3.51.
Egy busz 12 óra 20-kor indul 100 km-es útjára. A buszba helyezett számítógép 13, 14, 15, 16, 17 és 18 órakor a következőt jelzi: A busz egy óra múlva érkezik el céljához, feltéve, hogy az út hátra levő részében a busz átlagsebessége ugyanakkora lesz, mint az eddigi átlagsebesség. Lehetséges, hogy a számítógép nem téved? Ebben az esetben hány km-t tesz meg a busz 18 óráig? IG. Rybnikov, 3 pont
 

Feladat: 3.52.
Egy n jegyű szám köbe m jegyű. Lehet-e, hogy n+m=2001? G. Galperin, 4 pont
 

Feladat: 3.53.
Az ABC háromszög AB és BC oldalain van rendre X és Y. Az AY és CX szakaszok metszéspontja Z, AY=YC, AB=ZC. Bizonyítsuk be, hogy BXZY húrnégyszög. R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 3.54.
Egy 3×100-as táblára két játékos felváltva helyez el 2×1-es dominókat. Az első játékos mindig 1×2-es téglalapokra teszi, a második mindig 2×1-esekre. Az veszít, aki már nem tud tenni. Melyik játékos tud biztosan győzni? Mi a nyerő stratégia? V. Truskov, 5 pont
 

Feladat: 3.55.
Egy szabályos tetraéder éleinek hossza 1 centiméter. Felszínén 9 pontot jelöltünk ki. Bizonyítsuk be, hogy található ezen pontok között kettő, amelyek térbeli távolsága legfeljebb 5 milliméter. V. Proizvolov, 5 pont
 

Feladat: 3.56.
Egy vállalatnál az alkalmazottak 10%-a kapja a bérek 90%-át. A vállalat több ágazattal rendelkezik. Lehetséges-e, hogy minden ágazaton belül az alkalmazottak tetszőlegesen választott 10%-a legfeljebb az ágazatra jutó bérek 11%-át kapja? M. Vyalyi, 3 pont
 

Feladat: 3.57.
Három kupac kavicsunk van, ezekben 51, 49 és 5 kavics. Tetszőleges két kupacot egyesíthetünk. Ha egy kupacban páros sok kavics van, akkor két ugyanakkora kupacra bonthatjuk. Elérhető-e ilyen lépésekkel, hogy 105 darab kupacunk legyen, mindegyikben 1 kavics? V. Klepcyn, 5 pont
 

Feladat: 3.58.
A KMN∠ szögtartományban adott az A pont. KM és MN egy-egy pontja rendre B és C, CBM∠=ABK∠ és BCM∠=ACN∠. Bizonyítsuk be, hogy a BCM háromszög köré írt kör középpontja az AM egyenesen van. A. Zaszlavszkij, 5 pont
 

Feladat: 3.59.
Egy konvex sokszöget háromszögekre bontottunk egymást nem metsző átlóival. A sokszög minden csúcsához odaírjuk, hogy hány háromszögnek lett csúcsa. Az átlókat ezután letörlik, de a számokat látjuk. Ez alapján megállapítható-e, mely átlók szerepeltek a felbontásban? S. Zajcev, 5 pont
 

Feladat: 3.60.
Egy sakktáblán van egy fekete és egy fehér figura. Egy lépésban valamelyik figura átlép a saját mezőjével oldalszomszédos mezők közül az egyik üresre. A lépéseknek olyan sorozatát szeretnénk, hogy közben a két figurának a sakktáblán való összes lehetséges elhelyezkedése létrejöjjön. (a) Lehetséges ez, ha a figuráknak felváltva kell lépni? (b) Lehetséges ez, ha a figuráknak nem kell felváltva lépni? A. Sapovalov, 3+4 pont
 

Feladat: 3.61.
Az ABC háromszög magasságvonalai AD,BE és CF. Az AEF, BFD és CDE háromszögek magasságpontjai rendre K,M és N. Bizonyítsuk be, hogy KMN és DEF egybevágó háromszögek. A. Akopjan, 7 pont
 

Feladat: 3.62.
Aladár választ egy 9-nél nagyobb, 100-nál kisebb egész számot. Balambér szeretné ezt kitalálni, számokat tippelhet. Ha Balambér eltalálja Aladár számát, vagy az egyik jegyét eltalálja a másik jegyétől pedig csak egy számban tér el tippje, akkor Aladár azt mondja "forró", egyébként "hideg"-et mond. Például ha Aladár a 65-öt választotta, akkor forrót pontosan a következő tippek esetén mond: 65, 64, 66, 55, 75. (a) Bizonyítsuk be, hogy Balambérnak nem lehet olyan stratégiája, amellyel legfeljebb 18 tipp után biztosan kitalálhatná Aladár számát. (b) Keressünk olyan stratégiát, amivel legfeljebb 24 tippel mindig kitalálható Aladár száma. (c) Van olyan stratégia, amelyhez legfeljebb 22 tipp kell? 2+3+3 pont
 

Feladat: 3.63.
Keressünk olyan 2001 fokú P(x) polinomot, amelyre minden valós x számra P(x)+P(1-x)=1. 3 pont
 

Feladat: 3.64.
Egy legalább 5 fős osztályban minden tantárgyból vagy ëlégtelen", vagy "megfelelt" minősítést kap a diák. A diákok közül választott legalább 5 fős csoportot véve, a csoportbeli elégtelenek legalább 80%-át a csoport legfeljebb 20%-a kapta. Bizonyítsuk be, hogy az osztálybeli elégtelenek legalább 75%-át egyetlen diák kapta. M. Vyalyi, 5 pont
 

Feladat: 3.65.
Az ABC háromszög magasságvonalai AD,BE és CF. Az AEF, BFD és CDE háromszögek magasságpontjai rendre K,M és N. Bizonyítsuk be, hogy KMN és DEF egybevágó háromszögek. A. Akopjan, 7 pont
 

Feladat: 3.66.
Legyenek A és B két darab n×m-es táblázat, melyeknek minden mezőjében 0 vagy 1 áll. Mindkét táblázatban ugyanannyi 1-es található. Mindkét táblázat minden sorában a számok nem csökkennek balról jobbra és ugyanez igaz az oszlopokra fentről lefele. Minden 1≤k≤m esetén, a felső k sorban álló számok összege nem kisebb az A táblázatban, mint a B-ben. Bizonyítsuk be, hogy minden 1≤l≤n esetén, a bal szélső l oszlopban álló számok összege legalább annyi a B táblázatban, mint az A-ban. A. Kanel, 5 pont
 

Feladat: 3.67.
Egy körmérkőzéses sakkbajnokságon bármely két versenyző pontosan egyszer játszott egymással. Győzelemért 1, döntetlenért 0,5, vereségért 0 pont jár. Minden versenyző kiszámolja az általa legyőzött versenyzők pontjainak összegét és az őt legyőző versenyzők pontjainak összegét. (a) Lehetséges-e, hogy minden versenyző esetén az első szám nagyobb, mint a második? (b) Lehetséges-e, hogy minden versenyző esetén az első szám kisebb, mint a második? AK. Tolpygo, 4+4 pont
 

Feladat: 3.68.
Bizonyítsuk be, hogy megadható 2001 olyan poliéder, amelyekre teljesül: - semely háromnak nincs közös pontja, - bármely kettőnek van közös határpontja, viszont nincs közös belső pontja. A. Kanel, 8 pont
 

Feladat: 3.69.
Egy kör mentén van néhány doboz, bennük valahány kavics, akár 0 is lehet. Egy lépésben a következőt tehetjük: az egyik dobozból kivesszük az összes kavicsot és az óra járásával megegyező irányba indulva egyesével beletessszük őket a dobozokba. (a) Tegyük fel, hogy az első lépés után mindig azt a dobozt kell kiürítenünk, amelyikbe a legutolsó lépés utolsó kavicsa került. Bizonyítsuk be, hogy néhány lépés után az eredeti helyzetet kapjuk vissza. (b) Ha minden lépésben tetszőlegesen választhatunk dobozt, elérhető-e bármely kiindulási helyzetből az összes lehetséges elosztás valamilyen megfelelő lépéssorozattal? V. Gurovic, 4 pont
 

Feladat: 3.70.
Az ABCD négyszögben AD és BC párhuzamos, az AB szakasz egy pontja K. Párhuzamost húzunk A-n keresztül KC-vel és B-n keresztül KD-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a két vonal CD-n metszi egymást. V. Bugajenko, 4 pont
 

Feladat: 3.71.
Klotild összeszorozta az első n pozitív egész számot, Kázmér pedig összeszorozta az első m páros pozitív egész számot. Klotild és Kázmér így ugyanazt kapta eredményül. Bizonyítsuk be, hogy valamelyikük hibásan számolt. V. Senderov 4 pont
 

Feladat: 3.72.
Kolja megtudta, hogy négy azonosnak tűnő pénzérméje közül kettő hamis. Az is kiderült, hogy a valódi érmék súlya azonos, a hamisaké is egymással megegyező, viszont a hamisak könnyebbek. Egy kétkarú mérleggel, két méréssel megbizonyosodhat róla Kolja, hogy valóban két érméje hamis? N. Konstantinov 4 pont
 

Feladat: 3.73.
Egy kelet-nyugati hajózási útvonalon 10 vitorlás szeli a vizet. Közülük 5 indul keletről, 5 indul nyugatról. Minden hajó mindig ugyanazzal a sebességgel halad. Ha két hajó találkozik, akkor mindkettő megfordul és az ellenkező irányban folytatja útját. Hány ilyen forduló lesz mire az összes hajó kikötőbe ér? A. Nyikolajev 4 pont
 

Feladat: 3.74.
A síkon adott legalább négy pont. Ha a pontok bármelyikét letöröljük, a megmaradó ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus. Következik-e ebből, hogy a kiindulási ponthalmaz is tengelyesen szimmetrikus? A. Sapovalov 4 pont
 

Feladat: 3.75.
Egy ötszög valamely csúcsából merőlegest bocsátunk a szemközti oldalra, így kapjuk az ötszög magasságát. Ha egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával kötjük össze a mediánt kapjuk. Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy ötszög mind az öt magassága és mind az öt mediánja ugyanolyan hosszú, akkor az ötszög szabályos. R. Zenodarov, 4 pont
 

Feladat: 3.76.
Megadható 1000 szomszédos egész, amelyek között nincs prímszám, például: 1001!+2, 1001!+3, ..., 1001!+1001. Megadható 1000 szomszédos egész úgy, hogy köztük pontosan 5 prím legyen? V. Galperin, 4 pont
 

Feladat: 3.77.
Egy kelet-nyugati hajózási útvonalon 10 vitorlás szeli a vizet. Közülük 5 indul keletről, 5 indul nyugatról. Minden hajó mindig ugyanazzal a sebességgel halad, és eddig még nem találkozott szembe egymással semely két hajó. Ha két hajó találkozik, akkor mindkettő megfordul és az ellenkező irányban folytatja útját. Hány ilyen forduló lesz, mire az összes hajó kikötőbe ér? A. Nyikolajev 4 pont
 

Feladat: 3.78.
Egy torta teteje négyzet alakú és ezt olyan csokoládé háromszöglapok díszítik, amelyeknek páronként nincs közös pontja. Minden esetben felvágható a torta konvex darabokra úgy, hogy minden darabon pontosan egy csokiháromszög legyen? A. Kanel-Belov, 4 pont
 

Feladat: 3.79.
Egy 8×8-as sakktáblán három színes bástya áll. Bármely bástya elmozdítható a sorában és oszlopában egy üres mezőre, ha közben nem ugrik át másik bástyát. Kezdetben a bal alsó sarokban áll a fehér bástya, a közvetlenül fölötte és a jobb oldalán álló mezőn áll rendre a fekete és a vörös bástya. Célunk, hogy néhány lépés múlva a fehér bástya a jobb felső sarokban legyen, a közvetlenül bal oldalán álló és alatta levő mezőre kerüljön rendre a fekete és a vörös bástya. Eljuthatunk-e a célhoz, ha közben végig minden bástyát támadja valamelyik másik? A. Sapovalov, 4 pont
 

Feladat: 3.80.
Megadható-e 100 pozitív egész a1 < a2 <...< a100 úgy, hogy minden 1<k<100 esetén ak-1 és ak legnagyobb közös osztója nagyobb legyen, mint ak és ak+1 legnagyobb közös osztója? A. Sapovalov 4 pont
 

Feladat: 3.81.
Egy kört 2n ívre oszt 2n pontja, n>2. Az ívek hossza három féle lehet, szomszédos ívek hossza különböző. A 2n pontot felváltva pirosra és kékre színeztük. Bizonyítsuk be, hogy az így kialakult kék és piros n-szögek kerülete és területe is ugyanakkora. V. Proizvolov 5 pont
 

Feladat: 3.82.
Egy (n-2)×n -es tábla minden sorában az 1, 2, ..., n számok állnak, n>2. Minden oszlopon belül a számok különbözőek. Bizonyítsuk be, hogy ez a táblázat kiegészíthető egy n×n -es táblázattá úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban az 1,2,...,n számok szerepeljenek. S. Mikhajlov 5 pont
 

Feladat: 3.83.
Egy szabályos (2n+1) szöget egymást nem metsző átlóival háromszögekre bontunk, n>1. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett háromszögek közül legalább három egyenlő szárú. R. Zenodarov 5 pont
 

Feladat: 3.84.
Sándor egy 8×8-as sakktábla valamely mezőjére helyez egy bástyát. Ezek után egyesével helyez fel további bástyákat. Minden éppen elhelyezett bástya a korábbiak közül páratlan sokat támad közvetlenül. Legfeljebb hány bástyát tehet a táblára Sándor? A. Sapovalov 6 pont
 

Feladat: 3.85.
Néhány szám áll egymás után sorban. Róbert kiválaszt két olyan szomszédos számot, melyek közül a bal oldali a nagyobb, kicseréli őket és mindkettőt megszorozza kettővel. Bizonyítsuk be, hogy Róbert véges sok ilyen műveletet végezhet egymás után. A. Sapovalov 8 pont
 

Feladat: 3.86.
Tudjuk, hogy 2333 egy 101 jegyű szám, melynek első jegye 1. Hány olyan 2k alakú szám van, amelynek az első jegye 4, ha 1≤k≤332? G. Galperin 8 pont
 

Feladat: 3.87.
Adott a síkon két háromszög, az egyik csúcsai pirosak, a másiké kékek. Az O pont mindkét háromszög belsejében van úgy, hogy az O pont távolsága a legtávolabbi piros ponttól is kisebb, mint a legközelebbi kék ponttól. Lehetséges-e, hogy a piros és kék pontok mind egy körön legyenek? P. Kozelnyikov, 4 pont
 

Feladat: 3.88.
Megadható-e 100 pozitív egész a1 < a2 <...< a100 úgy, hogy minden 1<k<100 esetén ak-1 és ak legkisebb közös többszöröse nagyobb legyen, mint ak és ak+1 legkisebb közös többszöröse? A. Sapovalov 4 pont
 

Feladat: 3.89.
Egy 8×8-as táblázat mezőiben állnak az 1, 2, 3, ..., 64. Szomszédos számok oldalszomszédos mezőkön helyezkednek el. Az egy átlóban elhelyezkedő számok összegének mi a lehetséges legkisebb értéke? A. Sapovalov, 6 pont
 

Feladat: 3.90.
Legyen F1 egy tetszőleges konvex négyszög. k≥2 esetén úgy kapjuk Fk -t Fk-1 -ből, hogy szétvágjuk egy átlója mentén, majd az egyik részt megfordítjuk és újra összeragasztjuk a darabokat. Legfeljebb hány páronként nem hasonló négyszög lehet az { Fk } sorozatban? I. Tokareva, 6 pont
 

Feladat: 3.91.
Legyenek a és d pozitív egészek. Tetszőleges pozitív egész n esetén a+nd néhány egymás utáni jegye éppen n. Bizonyítsuk be, hogy d 10-nek valamely hatványa. A. Sapovalov, 7 pont
 

Feladat: 3.92.
Egy sorban egymás mellett áll 23 doboz. Minden 1≤k≤23 esetén van olyan doboz, amelyben éppen k golyó van. Egy lépésben megduplázhatjuk egy dobozban a benne levő golyók számát úgy, hogy egy olyan dobozból vesszük ki a golyókat, amelyben több van. Bármely kezdő helyzetből indulva elérhető, hogy a k-dik dobozban éppen k golyó legyen? R. Zenodarov, 7 pont
 

Feladat: 3.93.
Egy háromszög csúcsainak koordinátái: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ). Bármely h és k egészekre, nem lehet mindkettő 0, a háromszögnek nincs közös pontja az ( x1 +h, y1 +k), ( x2 +h, y2 +k), ( x3 +h, y3 +k) csúcsú háromszöggel. (a) Lehet-e a háromszög területe 1 2 -nél nagyobb? (b) Legfeljebb mekkora lehet a háromszög területe? E. Cserepanov, 3+6 pont
 

Feladat: 3.94.
Adott két pozitív egész a<b. Egyértelműen meghatározható-e a és b, ha tudjuk, hogy egy 49×51-es és egy 99×101-es tábla is lefedhető a×b méretű téglalapokkal? S. Doricsenkó 4 pont
 

Feladat: 3.95.
Van-e olyan háromszög, amely felvágható 4 konvex sokszögre: egy-egy 3, 4, 5, és 6 szögre? A. Zaszlavszkij 5 pont
 

Feladat: 3.96.
Legyenek x és y pozitív egészek. Tudjuk, hogy x2 +xy+ y2 osztható 10-zel. Bizonyítsuk be, hogy osztható 100-zal is. V. Proizvolov 5 pont
 

Feladat: 3.97.
Az ABCD négyszög minden oldala érint egy kört. Az érintési pontok az AB, BC, CD, DA oldalakon rendre K, L, M és N. Legyen S a KM és LN szakaszok metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy ha SKBL húrnégyszög, akkor SNDM is húrnégyszög. A. Akopjan 5 pont
 

Feladat: 3.98.
(a) Adott 128 érme, súlyuk kétféle lehet, mindkettő fajtából 64 van. Hogyan választható ki két különböző súlyú érme egy kétkarú mérleggel, ha legfeljebb 7-szer mérhetünk? (b) Adott 8 érme, súlyuk kétféle lehet, mindkettő fajtából 4 van. Hogyan választható ki két különböző súlyú érme egy kétkarú mérleggel, ha legfeljebb 2-szer mérhetünk? A. Sapovalov 3+3 pont
 

Feladat: 3.99.
Legyenek x és y pozitív egészek. Tudjuk, hogy x2 +xy+ y2 osztható 10-zel. Bizonyítsuk be, hogy osztható 100-zal is. V. Proizvolov 4 pont
 

Feladat: 3.100.
Az ABC és A'B'C' háromszögek egybevágóak, de ellentétes körüljárásúak. Bizonyítsuk be, hogy az AA', BB' és CC' szakaszok felezőpontjai egy egyenesen vannak. V. Bugajenko, 5 pont
 

Feladat: 3.101.
Van 6 különböző súlyú sajtunk. Bármely kettő közül tudjuk, melyik a könnyebb. Ismert, hogy valamely három sajt összesen ugyanolyan súlyú, mint a másik három. Hogyan választható ki ez a két hármas csoport, ha egy kétkarú mérleggel kétszer mérhetünk? A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.102.
Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasábot szeretnénk egymást nem fedő, különböző méretű szabályos háromszögekkel becsomagolni. A hasáb élei mentén a háromszögeket meghajthatjuk. L. Emelianov, 6 pont
 

Feladat: 3.103.
Legyenek a,b,c egy háromszög oldalai. Bizonyítsuk be, hogy

a3 + b3 +3abc> c3 .

V. Senderov, 4 pont
 

Feladat: 3.104.
Egy 23×23-as táblán a következő játékot játszuk. A kezdő játékosnak két fehér figurája van, amelyek kezdetben a bal alsó és jobb felső sarokban vannak. A második játékosnak két fekete figurája van, amelyek kezdetben a jobb alsó és bal felső sarokban vannak. A játékosok felváltva lépnek. Minden lépésben a soron következő játékos a saját figurái közül valamelyiket az éppen elfoglalt mezőjének valamely üres oldalszomszédjára tolhatja. A kezdő játékos nyer, ha két figurája oldalszomszédos mezőkre kerül. Megakadályozhatja-e a második játékos, hogy az első győzzön? E. Zinin, P. Kozelnyikov, 4 pont
 

Feladat: 3.105.
Az ABCD konvex négyszög BC és CD oldalainak felezőpontjai rendre E és F. Az AE, AF és EF szakaszok ABCD-t négy háromszögre vágják, ezek területeinek mérőszámai szomszédos pozitív egészek. Határozzuk meg, legfeljebb mekkora lehet a BAD háromszög területe. S. Sesztakov, 6 pont
 

Feladat: 3.106.
Egymás mellett sorakozik n lámpa, néhány világít. Percenként a világító lámpák elalszanak és azok az eddig nem égő lámpák, amelyeknek pontosan egy szomszédjuk égett, kigyulladnak. Mely n esetén létezik olyan helyzet, ahonnan indulva mindig égni fog legalább egy lámpa? A. Gorbacsov, 7 pont
 

Feladat: 3.107.
Egy hegyesszögű háromszöget egy egyenes két részre vág, ezek nem feltétlenül háromszögek. Az egyik darabot újra szétvágjuk egy egyenes mentén és így tovább. Néháy vágás után észrevettük, hogy minden darabunk háromszög. Lehet-e mindegyik tompaszögű? G. Galperin, 7 pont
 

Feladat: 3.108.
Pozitív egészek szigorúan monoton növekedő sorozatában a 2002-dik elemtől kezdve minden elem osztója az előtte levő elemek összegének. Bizonyítsuk be, hogy valahonnan kezdve minden elem éppen az őt megelőző elemek összege. A. Sapovalov, 7 pont
 

Feladat: 3.109.
Néhány dominót láncban elhelyeztünk a szokásos szabályok szerint. Minden lépésben a lánc egy olyan részletét megfordíthatjuk, amelynek első és utolsó száma azonos. Bizonyítsuk be, hogy ha két lánc ugyanazokból a dominókból áll és a végeiken ugyanazok a számok vannak, akkor a fent leírt lépések sorozatával egyik a másikká alakítható. A. Sapovalov, 8 pont
 

Feladat: 3.110.
Az ABC háromszögben tg α, tg β és tg γ egészek. Határozzuk meg, mekkora az értékük? A. Zaszlavszkij, 4 pont
 

Feladat: 3.111.
Az y= x3 függvény grafikonján van az A pont, az y= x3 +|x|+1 függvény grafikonján van a B pont. Lehet-e AB≤ 1 100 ? A. Spivak, A. Hacsaturjan, 4 pont
 

Feladat: 3.112.
Pozitív egészek szigorúan monoton növekedő sorozatában a 2002-dik elemtől kezdve minden elem osztója az előtte levő elemek összegének. Bizonyítsuk be, hogy valahonnan kezdve minden elem éppen az őt megelőző elemek összege. A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.113.
Egy előadás nézői egyetlen sorban ülnek, minden szék foglalt, de senki sem a saját helyén ül. Egy rendező megkérhet két egymás mellett ülő embert, hogy cseréljenek helyet, ha egyikőjük sem ül a saját helyén. Minden kiindulási helyzetből elérhető ilyen cserékkel, hogy a nézők a saját helyükre kerüljenek? A. Sapovalov, 5 pont
 

Feladat: 3.114.
A hegyesszögű ABC háromszög magasságai AA', BB' és CC'. Legyenek OA , OB és OC rendre az AB'C', BA'C', és CA'B' háromszögek beírt köreinek középpontjai. Az ABC háromszög beírt köre az AB, BC és CA oldalakat rendre a TC , TA és TB pontokban érinti. Bizonyítsuk be, hogy a TA OC TB OA TC OB hatszög szabályos. L. Emeljanov, 6 pont
 

Feladat: 3.115.
Egy pakli kártya 52 lapját elrendeztük egy 13×4-es táblázatban. Bizonyítsuk be, hogy azonos figurák azonos sorban vannak, ha a táblázat bármely két oldalszomszédos mezőjében álló kártyák vagy színben, vagy figurában megegyeznek. A. Sapovalov, 7 pont
 

Feladat: 3.116.
Vannak-e olyan a és b irracionális számok, a>1, b>1, amelyekre ⌊ am ⌋=⌊ bn ⌋ nem teljesülhet pozitív egész m és n számok esetén? V. Senderov, A. Spivak, 8 pont