1. FEJEZET: Kockák
Az alábbi feladatokkal való foglalkozás előtt, mellett nagyon ajánljuk Andrásfai Béla: Versenymatek gyerekeknek[29] könyvéből a ,,Térszemlélettel" fejezet példáinak megoldását. Sok érdekes kérdésre akadhatunk kockákról, gúlákról, poliéderekről a Matematika Határok Nélkül verseny feladatai között([43, hatweb]).
A kocka térfogata, felszíne
Feladat: 1.1.
Hány csúcsa, hány éle és hány lapja van a kockának?
Feladat: 1.2.
a) Egy kocka éle 5 cm. Határozzuk meg a kocka térfogatát és felszínét!
b) Adjuk meg az
a cm élű kocka térfogatát és felszínét!
Feladat: 1.3.
Határozzuk meg a kocka élének hosszát, ha tudjuk, hogy
a) felszíne
294 cm
2
!
b) térfogata
729 cm
3
!
Feladat: 1.4.
Határozzuk meg a kocka élének hosszát, ha tudjuk, hogy
a) felszíne
A cm
2
!
b) térfogata
V cm
3
!
Feladat: 1.5.
a) Fejezzük ki a
V cm
3
térfogatú kocka felszínét!
b) Fejezzük ki az
A cm
2
felszínű kocka térfogatát!
Feladat: 1.6.
a) Adjuk meg cm
3
-ben a
2 m oldalélű kocka térfogatát!
b) Adjuk meg cm
2
-ben a
2 m oldalélű kocka felszínét!
c) Adjuk meg az előbbi mennyiségeket mm
3
-ben illetve mm
2
-ben!
Feladat: 1.7.
a) Hány liter tej fér el egy
1,5 méter élhosszúságú kocka alakú tartályban?
b) Hány kg lenne egy 1 dm oldalélű tömör kocka aranyból (az arany sűrűsége:
19,3 g/cm
3
)?
c) Mekkora a felszíne egy
10,3818 kg tömegű vaskockának (a vas sűrűsége
7,8 g/cm
3
)?
Fúrjuk a kockát
Feladat: 1.8.
Egy 3 cm élű kocka mindegyik lapját 9 egybevágó kis négyzetre osztottuk fel. Mindegyik lapon kiválasztjuk a középső kis négyzetet és erre merőlegesen a szemközti lapig egy négyzetes oszlopot fúrunk ki a kockából. Mennyi lesz az így kapott ,,lyukas" test térfogata és felszíne?
Feladat: 1.9.
Egy 5 cm élű kocka mindegyik lapját 25 egybevágó kis négyzetre osztottuk fel. Mindegyik lapon kiválasztjuk az
1. ábrán látható négy kis négyzetet és ezekre merőlegesen a szemközti lapig egy-egy négyzetes oszlopot fúrunk ki a kockából. Mennyi lesz az így kapott ,,lyukas" test térfogata?
1. ábra
Daraboljuk a kockát
Feladat: 1.10.
Egy
105 cm élhosszúságú kocka egyik sarkában egy
5 cm oldalú kis kocka található (a kis kocka a nagy kocka része, egyik csúcsuk és három lapsíkjuk közös). A kis kocka teljes lapsíkjai milyen részekre osztják a nagy kockát?
Feladat: 1.11.
Egy kockát egyik lapjával párhuzamos síkokkal felszeletelünk. Hány síkkal kell szétvágni a kockát, ha azt akarjuk, hogy a keletkezett testek együttes felszíne a kocka felszínének a kétszerese legyen?
Feladat: 1.12.
1×1×1-es fehér kis kockákból egy
5×5×5-ös tömör nagy kockát állítottunk össze.
a) Hány kis kockára volt szükség?
A nagy kocka mind a hat lapját befestettük zöldre.
A kis kockák közül hánynak lett így
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
f) 2
g) 1
h) 0
oldala zöld?
Feladat: 1.13.
Van 8 kis kockánk, mindegyiknek 1 cm az éle.
a) Hogyan színezzük ki a kis kockák lapjait, hogy azokból akár egy teljesen kék, akár egy teljesen zöld 2 cm élű kocka is összeállítható legyen?
b) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár zöld 3 cm élű kocka is összerakható legyen?
c) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár piros, akár zöld 3 cm élű kockát össze lehessen állítani?
Feladat: 1.14.
Egy kocka alakú sajtot
3×3×3 egyforma méretű kisebb kockára vágtak az oldalaival párhuzamos vágásokkal. A darabokat úgy kell elosztani 9 gyerek között, hogy mindenkinek ugyanannyi jusson, és mindenki adagján ugyanakkora héjas rész legyen.
Feladat: 1.15.
Két darab
1 cm
3
-es fakocka közül az egyiket szétvágtuk 125 kis kockára. Ezután ugyanolyan vastagon befestettük az összes kockát. Hányszor több festék kell a kis kockák befestéséhez, mint a nagyéhoz?
Feladat: 1.16.
Egy téglatest élei egész számú centiméter hosszúságúak, a felszíne
100 cm
2
. Egyik lapjának a területe az egész felszínnek a
2
25
-öd része. Mekkora a test térfogata?
Feladat: 1.17.
Hány olyan téglatest van, amelynek térfogata
2004 cm
3
és
a) oldalélei cm-ben mérve egész számok?
b) mindegyik oldallapjának területe cm
2
-ben mérve páros egész szám?
(Két külön feladat)
Feladat: 1.18.
Bence sok kis fehér egybevágó (ugyanakkora) kockából egy nagy tömör kockát állított össze, és annak mind a 6 oldalát pirosra festette.
Huncut Hugó szétszedte a nagy kockát kis kockákra és eltette azokat a kis kockákat, melyeknek három lapja is piros volt. Bence a megmaradt kockákból egy nagy tömör téglatestet állított össze és annak mind a 6 lapját kékre festette.
Huncut Hugó a téglatestet is szétszedte kis kockákra és eltette azokat a kis kockákat, amelynek legalább az egyik oldala kék volt. Bencének így 11 kis kockája maradt.
Hány kis kockából állt Bence nagy piros kockája? Ebből hánynak volt piros lapja?
Kiterítjük a kockát
Feladat: 1.19.
Az
1. ábrán egy kocka hálója, egy kiterített kocka látható. A képen összesen 14 csúcs és 19 él különböztethető meg. Mely csúcsok tartoznak a kocka ugyanazon csúcsához? Mely élek felelnek meg a kocka egyazon élének? Csoportosítsuk a csúcsokhoz írt római számokat! Csoportosítsuk az élek arab számait is!
1. ábra
Feladat: 1.20.
Az
1. ábrán egy kocka hálójának egy része látható. Egészítsük ki! (Hányféleképpen lehet?) Hány éle mentén vágtuk szét a kockát?
1. ábra
Feladat: 1.21.
Válasszuk ki az
1. ábrán, hogy az A, B, C, D jelű kockák közül melyiknek a palástja látható a bal oldalon!
1. ábra
Feladat: 1.22.
Egy 1 dm élű kockát 6 darab 1 dm
2
területű négyzet alakú papírral be tudunk burkolni egyrétűen és hézagtalanul úgy, hogy a papírdarabokat nem kell elvágni. Be lehet-e ugyanígy burkolni az 1 dm élű kockát 12 darab négyzet alakú 0,5 dm
2
területű papírlappal úgy, hogy itt sem kell vágni?
Feladat: 1.23.
Be lehet-e burkolni egy kocka felületét hézagtalanul és egyrétűen 6 olyan egybevágó kereszt alakú papírral, amelyik mindegyike 5 egybevágó négyzetből áll, és egy ,,kereszt" területe egyenlő egy kockalap területével? A papírlapokat szétvágni nem lehet, csak behajtani.
Feladat: 1.24.
Egy
10 m
×10 m
×10m-es kocka alakú tartály egyik sarkában lakik egy pók. Felesége az ellenkező sarokban lakik. Gyerekeik az apupóktól a falon haladva
16 m-re, az anyupóktól
7 m-re laknak.
a) Készítsünk méretarányos ábrát (pl.
1:200-as arányban), szerkesszük meg a kicsinyített kocka palástján a gyerekek lehetséges helyét!
b) Hány gyerek lehet a pókcsaládban?
Feladat: 1.25.
Szerkesszük meg egy kocka felszínén azokat a pontokat, amelyek a kocka két átellenes csúcsától a kocka felszínén haladva egyenlő távolságra vannak!
Feladat: 1.26.
Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok
a) 1cm
× 3cm-es;
b) 1cm
× 4cm-es;
c) 1cm
× 5cm-es;
d) 1cm
× 6cm-es
piros papírszalag, amelyeket a kockára ragaszthatunk. Melyik típusú szalagokkal lehet úgy befedni a kockát, hogy minden lapja piros legyen, de sehol se legyen egynél több rétegben piros papír? (A papírokat behajtani szabad, de elvágni nem!)
Szakaszok és szögek
Feladat: 1.27.
Az
1. ábrán egy kocka látható. Határozzuk meg az alábbi szögeket!
a)
EBC∠
b)
EBD∠
a)
EBA∠
1. ábra
Feladat: 1.28.
Az
1. ábrán egy kocka látható. A
P,
Q,
R,
S pontok rendre az
AB,
CD,
HG,
CG élek felezőpontjai. Határozzuk meg az
a)
PQR∠
b)
PQG∠
c)
PQS∠
d)
PQC∠
szögek nagyságát!
1. ábra
Feladat: 1.29.
Adott a síkon az
a szakasz. Szerkesszünk olyan
b szakaszt, amely az
a oldalú kocka testátlójával egyenlő hosszú!
Szimmetriák
Feladat: 1.30.
Hány szimmetriasíkja van a kockának? Azaz hány olyan sík van, amelyre tükrözve a kockát önmagát kapjuk?
Feladat: 1.31.
Az
1. ábrán megbetűztük egy kocka csúcsait. Az
ABCD és
EFGH oldallapok középpontjait összekötő
t1
egyenes, az
AE,
CG oldalélek felezőpontjait összekötő
t2
egyenes és az
AG=
t3
testátló egyenese a kocka egy-egy forgástengelye (szimmetriatengelye).
A kocka melyik másik csúcsába kerülhet át a
B csúcs, ha
a)
t1
b)
t2
c)
t3
körül forgatjuk?
Mekkora szöggel kell forgatni
d)
t1
e)
t2
f)
t3
körül, hogy a kocka önmagára képződjék?
g) Összesen hány szimmetriatengelye van a kockának, azaz hány olyan egyenes van, ami körül (
360∘
és annak egész számú többszöröseitől különböző szöggel) a kocka önmagába forgatható?
h) Összesen hány olyan forgatás van, amely a kockát önmagára képezi (de nem minden pontot képez önmagára)?
i) A h)-ban szereplő forgatások között hány olyan van, amely az
A csúcsot a
i
1
)
B
i
2
)
C
i
3
)
G
csúcsba viszi?
j) Szeretnénk a
HB tengely körül önmagába forgatni a kockát, de csak a
t1
és
t3
tengelyek körüli forgatásokra van lehetőségünk. Elvégezhető-e ezekkel a kívánt forgatás?
1. ábra
Feladat: 1.32.
Készítsük el a kockát önmagára képező forgatások (lásd a
12.31. feladatot) szorzótábláját!
Színezések, kiralitás
Feladat: 1.33.
Hányféleképpen festhetünk be egy kockát feketére és fehérre (egy-egy lapon belül csak az egyik színt használhatjuk és az egymásba forgatható színezéseket nem különböztetjük meg)?
Feladat: 1.34.
Dobókockának nevezünk egy kockát, ha lapjain az
1,
2,
3,
4,
5,
6 számok vagy az azokat jelképező pöttyök találhatók, minden lapon egy szám és az egymással szemköztes lapokon található számok összege minden lap-párnál
7.
Két dobókockán egyformának tekintünk, ha letehetők egy téglalap alakú asztalra úgy, hogy a két kockán alul található számok azonosak legyenek, a felül látható számok is egyformák és az asztal bármelyik oldaláról nézzük is mindig egyforma számot látunk a két kockán.
Hány különböző (nem egyforma) dobókocka létezik?
Feladat: 1.35.
Van négy
a) egyforma;
b) különböző (pld piros
kék
zöld és sárga)
kockánk. Ezeket oldallapjaik mentén egymáshoz ragaszthatjuk. Minden ragasztásnál az egyik kocka teljes oldallapja egy másik kocka teljes oldallapjához illeszkedik. Hányféle 1, 2, 3 illetve 4 kockából álló idomot tudunk így létrehozni?
Feladat: 1.36.
Rendelkezésünkre áll sok 1cm
× 1cm
× 1cm-es piros és kék kocka, amelyeket lapjaik mentén egymáshoz ragaszthatunk. Így hány különböző mintázatú 2cm
× 2cm
× 2cm-es kockát készíthetünk, ha nem tekintjük különbözőnek azokat, amelyek a térben egymásba mozgathatók?
Feladat: 1.37.
Van néhány egyforma kockánk, amelyek csúcsaira egy-egy pöttyöt teszünk: pirosat vagy kéket. Mindegyik csúcsra kerül egy pötty. Így hány különböző mintájú kocka készíthető, ha nem tekintjük különbözőnek azokat, amelyek a térben egymásba mozgathatók?
Számítások Pitagorasz tételével
Feladat: 1.38.
Adjuk meg az
a) 1
b) 5
c)
a
cm oldalélű kocka testálójának hosszát!
Feladat: 1.39.
Mekkora az oldaléle annak a kockának, melynek testátlója
a) 1
b) 5
c)
a
egység?
Feladat: 1.40.
Mekkora a testátlója annak a kockának, melynek lapátlója
a) 1
b) 5
c)
a
egység?
Feladat: 1.41.
Mekkora a testátlója annak a kockának, melynek lapátlója
a) 1
b) 5
c)
a
egység?
Feladat: 1.42.
Az
1. ábrán a
P és az
S pont a kocka
AB illetve
CG élének felezőpontja. Határozzuk meg az két pont távolságát
a) a térben;
b) a kocka felületén
ha a kocka éle
18 cm!
1. ábra
Feladat: 1.43.
Adjuk meg az
a) 1
b) 5
c)
a
cm oldalélű kocka beírt gömbjének (az oldallapok mindegyikét érintő gömbnek a) sugarát!
Feladat: 1.44.
Adjuk meg az
a) 1
b) 5
c)
a
cm oldalélű kocka körülírt gömbjének (a csúcsok mindegyikén áthaladó gömbnek a) sugarát!
Feladat: 1.45.
Adjuk meg az
a) 1
b) 5
c)
a
cm oldalélű kocka élérintő gömbjének (az oldalélek mindegyikét érintő gömbnek a) sugarát!
Feladat: 1.46.
1m
×1m
×1m-es kocka alakú kutyaól egyik alsó sarkában figyel egy pók. Egy légy a kutyól plafonjának közepén pihen. Elkaphatja-e a pók a legyet, ha a pók
0,25 m/s sebességgel szalad a falon, de a pók első mozdulata után
4 s-mal a légy elröpül?
Feladat: 1.47.
Határozzuk meg annak a kockának az élhosszát, amelynek a beírt gömbje 7 cm-rel kisebb sugarú, mint a körülírt gömbje!