1. FEJEZET: Egyenlőtlenségek

Feladat: 1.1.
(NDK, 74). Melyik a nagyobb:

4+7-4-7-2       vagy       0?

 

Feladat: 1.2.
(Belgium, 79). Rakjuk nagyságrendi sorrendbe az
x=(a+b)(c+d),
 
y=(a+c)(b+d),
 
z=(a+d)(b+c)
számokat, ha tudjuk, hogy a<b<c<d!
 

Feladat: 1.3.
(Jugoszlávia, 76). Mutassuk meg, hogy ha három szám szorzata 1, és összegük nagyobb a reciprokösszegüknél, akkor a három szám közül pontosan egy olyan van, amely nagyobb 1-nél!
 

Feladat: 1.4.
(New York, 75). Az a, b tetszőleges, de egymástól különböző pozitív számok számtani közepét A= a+b 2 , mértani közepüket pedig B=ab jelöli. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségláncot:

B< (a-b )2 8(A-B) <A!

 

Feladat: 1.5.
(Jugoszlávia, 76). Mutassuk meg, hogy bármely 1-nél nagyobb számokból álló a, b, c számhármasra fennáll az

2( logb a a+b + logc b b+c + loga c c+a )≥ 9 a+b+c

egyenlőtlenség!
 

Feladat: 1.6.
(Ausztria, 71). Mutassuk meg, hogy bármely pozitív számokból álló a, b, c számhármasra teljesül az

a2 (b+c-a)+ b2 (c+a-b)+ a2 (a+b-c)+≤3abc

egyenlőtlenség
 

Feladat: 1.7.
(USA, 80). Igazoljuk, hogy ha a, b, c∈[0;1], akkor

a b+c+1 + b c+a+1 + c a+b+1 +(1-a)(1-b)(1-c)≤1!

 

Feladat: 1.8.
(Csehszlovákia, 59). Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számok kielégítik az

a+b+c>0,      ab+bc+ca>0,      abc>0

egyenlőtlenségeket, akkor a három valós szám mindegyike pozitív!
 

Feladat: 1.9.
(Belgium, 76). Igazoljuk, hogy bármely α valós számra fennáll az

sin(cosα)<cos(sinα)

egyenlőtlenség!
 

Feladat: 1.10.
(Balkániáda, 84). Igazoljuk, hogy ha az a1 , a2 , ... , an pozitív számok ( n≥2) összege 1, akkor

∑i=1 n ai 2- ai ≥ n 2n-1 .

 

Feladat: 1.11.
(NDK, 67; Anglia, 76). Igazoljuk, hogy ha a1 , a2 , ... , an mind pozitív számok és n≥2, akkor

∑i=1 n ai s- ai ≥ n n-1 ,       ahol       s= ∑i=1 n ai !

 

Feladat: 1.12.
(New York, 75). Igaz-e, hogy ha az a1 , a2 , …, an számok mind pozitívak és an+1 = a1 , akkor

∑i=1 n ( ai ai+1 )n ≥ ai+1 ai ?

 

Feladat: 1.13.
(Zsűri, Kanada, 82). Mutassuk meg, hogy ha az a, x pozitív valós számokra x≠1 és a<1, akkor

1- xa 1-x <(1+x )a-1 .

 

Feladat: 1.14.
(Zsűri, Szovjetunió, 82). Bizonyítsuk be, hogy ha az α, x1 , x2 , …, xn számokra

α≤1,       és       1≥ x1 ≥ x2 ≥…≥ xn >0,

akkor

(1+ x1 + x2 +…+ xn )α ≤1+ 1α-1 x1 α + 2α-1 x2 α +…+ nα-1 xn α !

 

Feladat: 1.15.
(Bulgária, 82). Igazoljuk, hogy ha 2≤n∈N és a1 ,…, an ∈[0;2], akkor

∑i=1 n ∑j=1 n| ai - aj |≤ n2 .

Mely a1 , … , an számok esetén van egyenlőség?
 

Feladat: 1.16.
(Jugoszlávia, 72). Mutassuk meg, hogy ha az M számra és az

a11 ,    a12 ,   …,    a1n , a21 ,    a22 ,   …,    a2n , ::⋱: an1 ,    an2 ,   …,    ann

számhalmazra minden x1 , …, xn ∈{-1;1} értékrendszer esetén fennáll az

∑j=1 n| aj1 x1 + aj2 x2 +…+ ajn xn |≤M

egyenlőtlenség, akkor teljesül az

| a11 |+| a11 |+…+| ann |≤M

egyenlőtlenség is!
 

Feladat: 1.17.
(Zsűri, USA, 82). Igazoljuk, hogy tetszőleges a1 , …, an valós számokhoz megadható olyan k∈{1;…;n} egész szám, hogy bármely 1≥ b1 ≥ b2 ≥…≥ bn ≥0 számokra fennálljon az

| ∑i=1 n bi ai |≤| ∑i=1 k ai |

egyenlőtlenség!
 

Feladat: 1.18.
(Bulgária, 84). Legyenek m, n tetszőleges pozitív egész számok, míg x1 , …, xn , y1 , …, yn olyan valós számok a [0;1] intervallumban, melyekre az xi + yi =1, ha i=1,…,n. Bizonyítsuk be, hogy

(1- x1 ·…· xn )m +(1- y1 m )·…·(1- yn m )≥1!

 

Feladat: 1.19.
(Zsűri, USA, 77). Mutassuk meg, hogy tetszőleges a≤b≤c≤d pozitív számokra teljesül az

ab bc cd da ≥ ba cb dc ad

egyenlőtlenség!
 

Feladat: 1.20.
(NDK, 80). Bizonyítsuk be, hogy ha n és k 1-nél nagyobb egész számok, akkor

∑j=2 nk 1 j >k ∑j=2 n 1 j !

 

Feladat: 1.21.
(Zsűri, Franciaország, 82). Mutassuk meg, hogy ha a1 , …, an pozitív számok, akkor

∑k=1 n a1 ·…· ak k≤e ∑k=1 n ak ,

ahol e a természetes alapú logaritmus alapja.
 

Feladat: 1.22.
(USA, 77). Rögzítsük a p, q pozitív számokat és legyenek α, β, γ, δ és ε tetszőleges számok az [p;q| intervallumban! Mutassuk meg, hogy

(α+β+γ+δ+ε)( 1 α + 1 β + 1 γ + 1 δ + 1 ε )≤25+6 ( p q - q p )2 !

Mely α, β, γ, δ, ε számokra áll fenn az egyenlőség?
 

Feladat: 1.23.
(NDK, 70). Igazoljuk, hogy bármely ??, b, c, d pozitív számokra teljesül az

abc+abd+acd+bcd 4 3≤ ab+ac+ad+bc+bd+cd 6

egyenlőtlenség! Mely ??, b, c, d számokra teljesül az egyenlőség?