2. FEJEZET: Egész rész

Feladat: 2.1.
(Ausztria, 73). Oldjuk meg az

1-|x+1|= [x]-x |x-1|

egyenletet!
 

Feladat: 2.2.
(Anglia, 75). Oldjuk meg a

[13]+[23]+…+[ x3 -13]=400

egyenletet a természetes számok halmazán!
 

Feladat: 2.3.
(Kanada, 81). Mutassuk meg, hogy az

[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345

egyenletnek nincs megoldása!
 

Feladat: 2.4.
(Svájc, 82). Az n természetes szám minden értékére adjuk meg az x2 -[ x2 ]= x2 egyenlet [1;n] intervallumba eső megoldásainak számát!
 

Feladat: 2.5.
(Ausztria, 74). Mutassuk meg, hogy minden n természetes számra fennáll az

[n+n+1]=[4n+2]

összefüggés!
 

Feladat: 2.6.
(Zsűri, Belgium, 79). Mely természetes számok nem állíthatók elő [n+n+ 1 2 ] alakban, ahol n természetes szám?
 

Feladat: 2.7.
(Jugoszlávia??, 83). Mutassuk meg, hogy az

a1 =2,       an+1 =[ 3 2 an ]      n∈N

összefüggésekkel definiált an sorozatban végtelen sok páros és végtelen sok páratlan szám van!
 

Feladat: 2.8.
(Ausztria-Lengyelország, 79). Keressük meg minden n∈N számhoz k∈ Z+ legnagyobb olyan értékét, amelyre a [(3+11 )2n-1 ] szám osztható 2k -nal!
 

Feladat: 2.9.
(Zsűri, ??, 79). Mutassuk meg, hogy minden n természetes szám esetén fennáll az

{n2}> 1 2n2

egyenlőtlenség, de minden ε>0 értékhez van olyan n természetes szám, amelyre

{n2}< 1+ε 2n2 .

 

Feladat: 2.10.
(USA?, 75). a) Mutassuk meg, hogy minden nemnegatív x, y számra fennáll az

[5x]+[5y]≥[3x+y]+[3y+x]

egyenlőtlenség! b) Igazoljuk, hogy a

(5m)!(5n)! m!n!(3m+n)!(3n+m)!

kifejezés értéke bármely m,n∈N szám esetén egész!
 

Feladat: 2.11.
(USA?, 81) Mutassuk meg, hogy az

[nx]≥ [x] 1 + [2x] 2 +…+ [nx] n

egyenlőtlenség bármely x≥0 és n∈N számra teljesül!
 

Feladat: 2.12.
(??, 83) Mutassuk meg, hogy ha az a, b, c számok olyanok, hogy minden n természetes számra teljesül az [na]+[nb]=[nc] összefüggés, akkor a és b legalább egyike egész!