3. FEJEZET: Háromszögek

Feladat: 3.1.
(Jugoszlávia, 81) Adott egy hegyesszögű, nem szabályos háromszög. Behúzzuk egyik csúcsából a magasságvonalát, egy másikból a súlyvonalát, a harmadikból a szögfelezőjét. Bizonyítsuk be, hogy e három egyenes által határolt háromszög nem szabályos!
 

Feladat: 3.2.
(Belgium, 77) Mutassuk meg, hogy ha az a, b, c pozitív számok olyanok, hogy bármely pozitív egész n-re az an , bn , cn hosszúságú olddalakból szerkeszthető háromszög, akkor ezek a háromszögek mind egyenlő szárúak!
 

Feladat: 3.3.
(Svájc, 82) Adjuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyhez található m pozitív egész szám, és az AB=33, AC=21, BC=n hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög AB, AC oldalain a D ill. az E pont úgy, hogy AD=DE=EC=m!
 

Feladat: 3.4.
(Zsűri, Magyarország, 79) Egy háromszög körülírt körének átmérője 6,25 egység és minden oldalának hossza - a, b és c is - egész szám. Határozzuk meg az összes ilyen a, b, c számhármast!
 

Feladat: 3.5.
(New York, 78) Az ABC, DEF háromszögek körülírt körének sugara egyenlő. Mutassuk meg, hogy kerületük pontosan akkor egyenlő, ha

sinA∠+sinB∠+sinC∠=sinD∠+sinE∠+sinF∠.

 

Feladat: 3.6.
(Jugoszlávia, 81) Mutassuk meg, hogy ha egy egyenes megfelezi a háromszög területét és kerületét is, akkor a háromszög beírt körének középpontja illeszkedik erre az egyenesre!
 

Feladat: 3.7.
(Ausztria, 83) Az ABC háromszög AB, AC, BC oldalain úgy vettük fel a C' , B' , A' pontokat, hogy az AA' , BB' , CC' egyenesek egy ponton mennek át. Az A'' , B'' , C'' pontokat úgy kaptuk, hogy A-t, B-t ill. C-t középpontosan tükröztük A' -ra, B' -re ill. C' -re. Igazoljuk, hogy az egyes háromszögek területe között az alábbi összefüggés áll fenn:

T A'' B'' C'' =3 TABC +4 T A' B' C' !

 

Feladat: 3.8.
(Ausztria, 71) Igazoljuk, hogy az ABC háromszög S súlypontjára

AB2 + BC2 + CA2 =3( OA2 + OB2 + OC2 )!

 

Feladat: 3.9.
(New York, 79) Igazoljuk, hogy ha a háromszög súlypontja megegyezik a háromszög határvonalának súlypontjával, akkor a háromszög szabályos!