4. FEJEZET: Sorozatok
Feladat: 4.1. (Jugoszlávia, 76).
Számoljuk ki az
a1
+
a2
+…+
a99
összeg pontos értékét, ahol
Feladat: 4.2. (Csehország, 72). Mutassuk meg, hogy megadható olyan
A és
B valósz szám, hogy az
|
a1
+
a2
+…+
an
=A·
tg
n+B·n
|
összefüggés minden
n természetes számra teljesüljön, ahol
Feladat: 4.3. (New York, 74). Legyen
|
an
=
1·3·5·…·(2n-1)
2·4·6·…·2n
, n∈N.
|
Adjuk meg a
limn→∞
an
határértéket!
Feladat: 4.4. (New York, 74). A pozitív számokból álló
a0
,
a1
,
… sorozatban
a0
-n kívül mindegyik elem az előző fele vagy gyöke. Lehetséges-e, hogy a sorozatnak a
(0;1) intervallumban van határértéke?
Feladat: 4.5. (USA, 80; Jugoszlávia, 81). Legfeljebb hány három tagból álló növő számtani sorozat lehet egy
n elemű számhalmazban? Adjuk meg a sorozatok maximális számát
n függvényében, explicit alakban!
Feladat: 4.6. (Jugoszlávia, 81). Vizsgáljuk azt az egész számokból álló sorozatot, amelynek első négy eleme, ebben a sorrendben,
1,
9,
8,
1 és minden további eleme az előző négy elem összegének utolsó számjegye! Lehet-e a sorozatban négy egymást követő elem
1,
2,
3 és
4 ebben a sorrendben?
Feladat: 4.7. (Ausztria-Lengyelország, 80).
A természetes számokból álló
a1
<
a2
<
a3
<… sorozatban
a1
=1 és
an+1
≤2n minden
n pozitív egész esetén. Mutassuk meg, hogy tetszőleges
k pozitív egészhez találhatók olyan
p,
q pozitív egészek, amelyekre
ap
-
aq
=n.
Feladat: 4.8. (Lengyelország, 79). Adottak az
A,
B pozitív egész számok, valamint egy, az
[1;AB] intervallumban található számokból álló
{
an
} sorozat. Mutassuk meg, hogy létezik olyan, az
[1;B] intervallumban található számokból álló
{
bn
} sorozat, hogy bármely pozitív egészekből álló
m,
n számpárra fennálljon az
am
an
≤B
bm
bn
egyenlőtlenség!
Feladat: 4.9. (Zsűri, Franciaország, 82). Mutassuk meg, hogy ha az
{
an
} és a
{
bn
} sorozat elemei is természetes számok, akkor van olyan
p,
q számpár, amelyre
ap
≤
aq
és
bp
≤
bq
!
Feladat: 4.10. (Peking, 64). Mutassuk meg, hogy ha a pozitív számokból álló
{
an
} sorozatban bármely
n pozitív egészre fennáll az
an
2
≤
an
-
an+1
egyenlőtlenség, akkor az
an
<
1
n
egyenlőtlenség is teljesül minden
n-re!
Feladat: 4.11. (???, Finnország, 80).
Az
a0
,
a1
, ... ,
an
sorozatot a következő szabályok definiálják:
|
a0
=
1
2
,
ak
=
ak-1
+
1
n
ak-1
2
(k=1, 2,…,n).
|
Mutassuk meg, hogy
1-
1
n
<
an
<1.
Feladat: 4.12. (Ausztria-Lengyelország, 80).
Mutassuk meg, hogy ha az
{
an
} számsorozatban bármely
m,
k pozitív egészre teljesül az
egyenlőtlenség, akkor bármely
p,
q pozitív egészre
|
|
ap
p
-
aq
q
|<
1
p
+
1
q
|
is fennáll!
Feladat: 4.13. (Lengyelország, 78).
Bármely
a1
∈R számból az
|
an+1
={
1
2
(
an
-
1
an
)
, ha
an
≠0,
0
, ha
an
=0
(n∈
N+
)
|
rekurzióval egy végtelen sorozat generálható. Mutassuk meg, hogy ebben a sorozatban minden esetben végtelen sok nempozitív szám található.
Feladat: 4.14. (Anglia, 80).
Adjuk meg az összes olyan
a0
∈R számot, amelyre az
an+1
=
2n
-3
an
(
n∈
N+
) szabállyal értelmezett sorozat monoton növő.
Feladat: 4.15. (Ausztria, 72; ??, 78). Mutassuk meg, hogy ha az
a1
,
a2
, ... , sorozat nullától különböző számokból áll, és van olyan
a szám, amelyre
|
a1
,
a2
∈Z,
a1
2
+
a2
2
+a
a1
a2
∈Z,
an+2
=
an+1
2
+a
an
|
minden
n pozitív egészre, akkor a sorozat elemei mind egész számok!
Feladat: 4.16. (Csehszlovákia, 68).
Mutassuk meg, hogy az
|
an
=
(2+3
)n
-(2-3
)n
23
(n∈Z)
|
sorozat mindegyik eleme egész szám! Határozzuk meg az összes olyan
n egész számot, amelyre
an
osztható
3-mal!
Feladat: 4.17. (Csehszlovákia, 78).
Mutassuk meg, hogy az
|
(3+5
)n
+(3-5
)n
4
-2 (n∈
N+
)
|
sorozat mindegyik eleme természetes szám és
n paritásától függően
5
m2
illetve
m2
(
m∈N) alakban írható!
Feladat: 4.18. (Zsűri, Anglia, 82).
Az
{
an
}, sorozatot az
a0
=0,
a1
=1 kezdeti értékek és az
|
ak+1
=2
ak
+(a-1)
ak-1
(k∈
N+
)
|
rekurzió definiálja, ahol az
a paraméter pozitív egész szám.
A rögzített
p0
>2 prímszámhoz adjuk meg az
a paraméter legkisebb olyan értékét, amelyre teljesül az alábbi két feltétel:
I.) Ha a
p prímszámra
p≤
p0
, akkor
ap
osztható
p-vel;
II.) Ha a
p prímszámra
p>
p0
, akkor
ap
nem osztható
p-vel!
Feladat: 4.19. (Anglia, 78).
Igazoljuk, hogy egy és csakis egy olyan egész számokból álló
{
an
} sorozat van, amelyre
|
a1
=1,
a2
>1,
an+1
3
+1=
an
an+2
(n∈
N+
).
|
Feladat: 4.20. (Csehszlovákia, 70).
Minden
p prímszámra határozzuk meg azoknak az
{
an
} sorozatoknak a számát, amelyek pozitív egészekből állnak és amelyekre minden
n pozitív egészre teljesül az alábbi összefüggés:
|
a0
a1
+
a0
a2
+…+
a0
an
+
p
an+1
=1!
|
Feladat: 4.21. (Anglia, 83).
Mutassuk meg, hogy az
a1
=
a2
=1 kezdeti feltételekkel és az
|
an+2
=
an+1
+
an
(n∈
N+
)
|
rekurzióval definiált sorozathoz (Fibonacci sorozat) egyféleképpen választhatók meg az
a,
b,
c pozitív egész számok úgy, hogy az
b<a,
c<a egyenlőtlenségek mellett minden
n pozitív egészre teljesüljön az is, hogy
an
-
nbcn
osztható
a-val!